Движение тела, брошенного под углом к горизонту


Этот тип движения возбуждал у наших предков наибольший интерес, потому что был связан с желанием «удлинять» свои руки за счёт камней, палок, копий, стрел, ядер, снарядов, ракет и т.п. движущихся в поле земного тяготения предметов.
В большинство своём, эти устремления были связаны с неотвратимым желанием умерщвлять представителей животного мира. Соплеменники были отнюдь не исключением.
Проблема пропитания, власти и территорий во все времена решалась далеко не дипломатическими методами. Экспериментальные исследования движения тел, брошенных под углом к горизонту, начались за долго до возникновения первых научных потуг что-либо описать и посчитать.
Война, как это ни может показаться странным, со времён австралопитеков и до настоящего продвинутого времени была, есть, и к сожалению, будет одним из основных приводных ремней научно-технического прогресса.
Самые передовые научно-технические достижения цивилизации людской всегда были связаны с милитаристическими устремлениями. В этом смысле рассматриваемому далее типу движения, можно сказать, «повезло», оно постоянно находилось на острие «прогресса». Достаточно упомянуть ещё раз такие имена как Аристотель, Архимед, Леонардо да Винчи, Коперник, Г алилей, Ньютон, Наполеон Бонапарт, чтобы проникнуться исторической значимостью этого типа движения.
Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом а к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли.


Существенно отметить, движение протекает при постоянном по модулю и направлению ускорении ? Это даёт возможность разложить криволинейное движение на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной оси т.к. gx = 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения (рис. 1.14).
Движение исследуемой точки относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С - равнозамедленное, а из точки С в точку В - равноускоренное с ускорением свободного падения ?
В начальный момент времени при t = 0 имеем: х0 = 0, у0 = 0, v0x = v0•cosа, v0y = v0•sinа, ax = 0, ay
= - g.
Для проекций скорости в любой момент времени, например в п , , . „ л              ,
г              Рис. 1.14. Тело, брошенное под углом а к горизонту
точке М, движения можно записать следующие уравнения:
jvx (t) = v0 cos «s [Vy (t ) = V0 sin а- gt.
Модуль вектора скорости определится как:
|V 4vj! cos2 а + (v0 sin а - gt)2 = ^vj; cos2 а + (v^ sin2 а - 2v0 sin аgt + g2t2)              ,
1-І              I 2i              2              ¦              2              і              ¦              2              2
v = Vvo(cos a + sin aj-2v0gtsina + gt              .
Положение вектора скорости определим, используя свойства прямоугольного треугольника, построенного на векторе скорости и его проекциях

tgP =
v0 sin a - gt
, ж в = arctg

vx
Уравнения движения запишем, используя особенности равномерного перемещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали
x(t) = v0 tcos a, y(t) = v01 sin a - —
Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим при условии равенству нулю с этой тоске скорости: vy = 0
v0 sin a
v0 sin a- gtC = 0, ж tC =—10              .
g
Определим далее полное время полёта
т=2tC=Ащ-.
g
При подстановке времени полёта т в уравнение координаты получим максимальную дальность броска
= 2v0 sin a cos a = v0 sin 2a
xmax              .
g              g
Из последнего уравнения, в частности, следует, что при прочих равных условиях максимальная дальность броска будет иметь место при a = 450, т.к.
в этом случае 2a = п/2, sin 2a = 1.
Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени в уравнение вертикальной координат
2 • 2
v0 sin a g v0 sin a
у max = v0 sin a“                                          ,
2 • 2 v0 sin a
g 2 g2
y max
°g
Уравнение траектории получается при исключении времени из уравнений движения. Из первого уравнения x
t =              ,
v0 cos a
при подстановке этого значения t во второе уравнение, получим
x g x2              g              2
y = v0sin a                                                        2- = xtga - —2              2-              x              .
v0 cos a 2 v0 cos a              2v0 cos a
ввести обозначения: tga = a, gj (2v°cos° a)= b , то уравнение траектории примет более классифицируемый вид
y = ax-bx2 .
Рассмотрим пример бомбометания фронтового штурмовика по наземной цели.

Фронтовой бомбардировщик пикирует по прямой, составляющий угол a = 45 с горизонтом. В целях безопасности экипажа бомбы должны покидать самолёт на минимальной высоте полёта 1000 м. На каком расстоянии от цели необходимо начать бомбометание при скорости пикирования 850 км/час?
  1. В начальный момент времени сбрасываемая бомба имеет скорость бомбардировщика, которую можно представить двумя составляющими.

Вертикальная составляющая характеризует свободное падение бомбы до поверхности земли, горизонтальная составляющая скорости постоянна по модулю и определяет перемещение вдоль оси Ох.
  1. Запишем кинематические уравнения, определяющие движение бомбы
  1. vx = vcos a;
  2. vy = vsin a + gt;
  3. x = vtcos a;

, ,              gt2
  1. y = vtsin a+——.

Решение
3. Из четвёртого уравнения системы определим время полёта бомбы до цели t1
и . .              at?              .2              vsira.              2H _
H = vt,Sinx^^-L; ^ t2+              t,              =              0              .
2              g              g
g g
4. Третье уравнение системы даёт возможность определить искомое расстояние
v2cos/sira Г1              ‘              Л
v2sir2 a + 2H
L = vt,cosu
2g \
g
Ещё один актуальный для автомобилистов пример.
Между сдвоенными шинами грузового автомобиля застрял камень на расстоянии 0,8 R от центра колеса радиусом R = 1м. При скорости автомобиля 72 км/час камень покидает колесо. На каком минимальном расстоянии от грузовика должен двигаться легковой автомобиль, чтобы в него камень не попал?



vsira
ti =
+
2gH
v2sirfc
s 1335
1+
-1
  1. Камень будем считать телом, брошенным под углом a к горизонту, причём наиболее далеко булыжник полетит, когда этот угол будет составлять 450 к горизонту, потому что

V;sir2a
Xmax =~^~g              .
  1. Линейная скорость камня в начальной точке его полёта определится как

v0 = —Q8R = 0,8vc = 16 /              .
0 R              c
  1. Безопасное расстояние до легкового автомобиля в этом случае будет равно

162
Xmin = -6 = 256 .
<< | >>
Источник: Исаков Александр Яковлевич. Основы              современного естествознания. Часть 2. Классический пе риод естествознания. Лекции для студентов экономических направлений: Петро- павловск-Камчатский: КамчатГТУ,2012. - 274 с.. 2012

Еще по теме Движение тела, брошенного под углом к горизонту:

  1. § 1.24. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ
  2. Теорема 28. Четвертое правило. Если тело А (см. фиг. 1) находится в совершенном покое и немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость, никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в противоположном направлении и удержит при этом свое движение неизменным.
  3. Теорема 39. Что способствует сохранению того способа движения и покоя, какой имеют части человеческого тела по отношению друг к другу, то хорошо; и наоборот — дурно то, что заставляет части человеческого тела принимать иной способ движения и покоя относительно друг друга.
  4. 56. Частицы жидких тел обладают движениями, направленными во все стороны; достаточно малейшей силы, чтобы привести в движение окруженные ими твердые тела  
  5. Теорема 29. Все, что душа познает под формой вечности, она познает не вследствие того, что представляет настоящее действительное (актуальное) существование тела, но вследствие того, что представляет сущность тела под формой вечности.
  6. Теорема 25. Второе правило. Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А (см. фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними, то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с равной скоростью.
  7. § 7.8. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  8. Теорема 26 Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости, именно В вдвое больше А (см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В, а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в противоположном направлении и каждое удержит прежнюю скорость.
  9. §1.1. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА И ТОЧКИ
  10. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  11. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
  12. § 7.7. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  13. Лемма 1. Тела различаются между собой по своему движению и покою, скорости и медленности, а не по субстанции.
  14. Теорема 22. Однако в боге необходимо существует идея, выражающая сущность того или другого человеческого тела под формой вечности.
  15. Теорема 25. Идея какого бы то ни было состояния человеческого тела не заключает в себе адекватного познания внешнего тела.
  16. Теорема 1 Если даже отнять от тела твердость, вес и другие чувственные свойства, то, несмотря на это, природа тела останется не нарушенной.
  17. Теорема 27. Идея какого бы то ни было состояния человеческого тела не заключает в себе адекватного познания самого человеческого тела.
  18. Теорема 29. Пятое правило. Если покоящееся тело А (см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет часть своего движения на А, а именно столько, что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью (см. § 50, ч. II «Начал»).
  19. Теорема 27. Третье правило. Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А, то не только А отразится в противоположном направлении, но и В перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
  20. § 7.3. ЦЕНТР МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА. ИМПУЛЬС ТВЕРДОГО ТЕЛА