Элементы квантовой механики


Несмотря на несомненные успехи электронной теории в совокупности с классической электродинамикой и классической механикой к концу XIX в. в физике обозначился ряд проблем, которые в рамках классических представлений не получили внятного объяснения. К таким проблемам следует отнести:
  • Удельные теплоёмкости при измерениях оказались ниже значений, предсказываемых молекулярно-кинетической теорией;
  • Устойчивость атомов, которые не должны быть устойчивыми по причине непрерывного излучения электромагнитных волн вследствие ускоренного движения электронов по орбитам;
  • Законы фотоэффекта не соответствовали представлениям электронной теории;
  • Законы излучения абсолютно чёрного тела противоречили волновой классической теории;
  • Явление радиоактивности не могло быть объяснено с позиций классической физики.

Излучение телами электромагнитных волн. Всем известно, что тела, нагретые до высоких температур, начинают излучать электромагнитные волны в видимом диапазоне длин волн. При относительно низких температурах некоторые вещества светятся при люминесценции или под влиянием падающих электронов.
При спектральных исследованиях было обнаружено, что излучаемые электромагнитные волны имеют разные амплитуды и длины волн, т.е. излучение имеет вполне определённый спектр. Напомним, что между частотой f, периодом Т, скоростью распространения с и длиной волны имеют место соотношения
f = -1; Х = cT; c = fX; ю = 2nf,
T
где с « 3 • 108 м/с - скорость света в вакууме. Видимый свет имеет длины волн в диапазоне от Хкр « 760 нм до Хфиол « 380 нм. На рис. 3.38 приведена шкала электромагнитного излучения для волн обнаруженных к настоящему времени.

0,01 нм 0,1 нм 1 нм 10 нм 100 нм 1 мкм 10 мкм 100 мкм 1 мм 1 см 10 см 1м Юм 10"3 10'2 КГ1 10° 101 10s 103 104 105 10е 107 10s 109 10“
I нм

ЗЛО20 ЗЛО® 1 ЗЛО17] 1 310“] ]з-10м 1 3 10“
УФ ! ик
Рентгеновское | II излучение 1 j и

1 V, Гц
310ю 3 ¦ 10® Радиоволны

1 ** / ч
Гамма-излучение | / Ч
4 400 нм ПЖ ¦ І~ 780 нм іФ С Г 3 Ж О К,
, Видимый свет 1
Оптический диапазон



Рис. 3.38. Шкала электромагнитных волн
Как было показано ранее, спектры электромагнитного излучения могут быть сплошными и линейчатыми.
Сплошные спектры, в большинстве своём, излучаются веществами, находящимися в твёрдом или жидком состоянии, при относительно больших температурах. Сплошной спектр имеет место при резком торможении электронов у антикатода рентгеновских трубок.
Линейчатые спектры испускаются веществами в газообразном или парообразном состоянии, их можно обнаружить при относительно низких температурах.
Электронная классическая теория объясняет возникновение излучения колебаниями электронов под действием различных внешних причин, причём период колебаний представляется в соответствие с этой теорией уравнением
T—2“Ч
где me - масса электрона, b - коэффициент квазиупругой силы. Поскольку массы электронов в классической физике принимаются постоянными me « 1-10 - 30 кг, то разные длины испускаемых волн можно объяснить только различными значениями коэффициента b.
В иных линейчатых спектрах обнаружено до 105 отдельных спектральных линий, а в случае сплошных спектров, разговор о неком наборе значений b теряет всякий смысл. Если бы в конце XIX в. было бы известно строение атомов, то можно было бы в соответствие с особенностями строения атомов скорректировать теорию, но происходило всё наоборот. О строении атомов приходилось судить по спектрам, которые они испускали.


Рис. 3.39. Модель абсолютно-чёрного тела
Первые затруднения классической теории начались при объяснении излучения абсолютно-чёрного тела. На рис. 3.39 приведен внешний вид одного из вариантов такого тела.
Массивная сфера с толстыми теплоизолированными стенками имеет малое отверстие. Если в это отверстие направить луч света, то он многократно отразившись от внутренней поверхности наружу не выйдет.
Если внутрь сферы поместить небольшое раскалённое тело, то его излучение будет происходить только через отверстие. В соответствие с законом Кирхгофа спектр излучения должен совпадать со спектром испускания.
Таким образом, свечение тела, находящегося внутри сферы должно определяться только температурой. В модели приведенной на рис. 3.39 электрическим током нагревается тонкий слой внутренней поверхности, излучение выходит за пределы сферы только через отверстие. Первые опыты по изучению спектра абсолютно-чёрного тела были проведены Луммером и Прингсгеймом, получился довольно обескураживающий результат.
Проведенные спектроскопические исследования позволили установить следующие закономерности излучения:
  • Спектр излучения абсолютно черного тела является сплошным, т.е. в спектре представлен непрерывный ряд различных длин волн;
  • Распределение энергии в спектре излучения зависит от длины волны. С увеличением длины волны спектральная плотность энергии увеличивается, достигает отчетливо выраженного максимума при некоторой длине волны Xmax а затем уменьшается;

• С повышением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн.
Принято считать, что теоретические исследования теплового излучения начались работами Кирхгофа в 1859 г. после открытия им закона теплового излучения. Именно Кирхгоф предложил концепцию абсолютно-чёрного тела и описал его модель. Оказалось, что тепловое излучение является наиболее распространённым видом электромагнитных волн.
Тепловое излучение является следствием уменьшения внутренней энергии тела и наблюдается при любой температуре отличной от 0 0К. Следуя закону сохранения энергии, тепловое излучение должно приводить к уменьшению внутренней энергии, т.е. к охлаждению излучающего тела, если к нему не подводится энергия извне.
При поглощении телом электромагнитных волн его внутренняя энергия возрастает, что приводит к увеличению температуры. Постоянное испускание и поглощение электромагнитной энергии приводит к тому, что устанавливается динамическое равновесие между двумя этими процессами.
Излучение удобно характеризовать его энергией W и потоком излучения Фе, который определяется энергией, излучаемый за единицу времени
^ w
Ф e =— ,
т
Чтобы сравнивать излучающие способности тел различной площади вводят понятие энергетической светимости Re, которая определяется как отношение потока излучения к площади излучающей поверхности
' Вт"
Ф
Re =—, s
Приведенные выше характеристики являются по сути своей интегральными, по ним невозможно судить о спектральном составе излучения. В этой связи, в рассмотрение вводится ещё одна величина - спектральная плотность энергетической светимости rX или гш, которую иногда называют лучеиспускательной способностью. Спектральная плотность представляет собой отношение энергетической светимости dR к ширине волнового или частотного диапазона
dRe
Г =              —
X,T              dX              .
Энергетическая светимость в таком случае может быть определена интегралом
со
R. = r
j rx,TdX .
0
Из повседневного опыта известно, что если нагревать твердое тело, то оно вначале краснеет, а с повышением температуры свечение тела становится все более белым. Это свидетельствует о том, что максимум интенсивности теплового излучения по мере повышения температуры тела смещается к фиолетовому концу спектра, т.е. к его коротковолновой части. Длина волны Xmax в спектре излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, определяется законом смещения Вина:
X = -
max т ^
где постоянная Вина b = 2,9-10 - 3 м-К.
Австрийский физик И. Стефан, анализировавший полученные экспериментальные данные, и Л. Больцман, исходивший из общих термодинамических соображений, установили зависимость энергетической светимости черного тела от температуры. Согласно закону Стефана - Болъцмана.
тс
Re =j rxdX = стТ4,
0
т.е. энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. Коэффициент пропорциональности а называется постоянной Стефана - Больцмана а = 5,6-10 - 8 Вт-м _ 2-К-4.
Введём далее пространственную характеристику излучения - плотность энергии излучения, т.е. количество излучённой телом энергии в единице объёма [40]
u = j и Дга = j u xdX,
где величины u Mdra и u XdX являются объёмной плотностью энергии, приходящейся на интервал циклических частот от га до га + dra или диапазон длин волн от X до X + dX, величины ura и uX называются спектральными плотностями лучистой энергии.
Если анализу подлежит один и тот же диапазон излучения, то u XdX = u radra .
X              га
Так как
2пс
X=
га
то
dX = dra X га
знак минус, в данном случае, означает, что с ростом частоты длина волны уменьшается. Считая величины dX и dlt;a положительными можно записать следующие соотношения
га              X
uX = — u„; uга = — uX.
X г. га * га              X
X              га
Исторически так сложилось, что теоретики имеют обыкновение пользоваться величиной ult;o, а экспериментаторы предпочитают - uX, что, в общем-то, на суть рассматриваемых вопросов влияния не оказывает. Основной задачей теории теплового излучения являлось определение зависимости величины плотности энергии излучения от частоты или длины волны при различных температурах.
Теоретическое определение функции u га(га,Т) в рамках классической волновой теории было выполнено в 1900 г. лордом Рэлеем, а затем развито Джинсом. Эти знаменитые волновики применили к излучению абсолютно-чёрного тела теорему классической статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы, в соответствие с этой теоремой, приходится в среднем кинетическая энергия
amp; = ¦2kBT,
где kB « 1,4-10 - 23 Дж/К - постоянная Больцмана. Если рассматриваются колебательные степени свободы, то необходимо учитывать и потенциальную энергию, обусловленную действием квазиупругой силы. На каждую колебательную степень свободы, таким образом, приходится энергия
amp; = квт.
Таким образом в классическом представлении задача об излучении сводилась к определению функции иа(А,Т) или ию(ю,Т), что было возможным при правильном определении числа степеней свободы колеблющихся электронов.
Формула Рэлея - Джинса, полученная на основании волновых представлений, имела вид

u а =
квТ
п2с3
j A2dA = да.


Вид функции иА показан на рис. 3.40 пунктирной линией.
По теории знаменитых специалистов в волновой механике получалось, что тепловое равновесие между веществом и излучением невозможно.
Приравнивание в возможностях всех степеней свободы приводило к тому, что вся энергия излучения абсолютночёрного тела должна была концентрироваться в ультрафиолетовом диапазоне длин волн.
Эренфест это назвал ультрафиолетовой катастрофой.
Дело в том что по теории Рэ- Рис. 3.40. Спектр излучения абсолютно-чёрного тела
лея - Джинса излучение в полости имеет бесконечное число степеней свободы, а вещество вполне конечное.


Рис. 3.41. Макс Планк
Спектроскопические экспериментальные исследования излучения абсолютночёрного тела выявили совершенно отличные от теоретического вида функции и (A,T), на рис. 3.40 они показаны сплошными цветными линиями, соответствующими различным температурам излучающего тела от Т = 3500 0К до Т = 5500 0К. Почувствуйте, как говорится, разницу между правдивым экспериментом и надуманной теорией.
Когда задачу об излучении абсолютно чёрного тела поручили решать юному Максу Планку, желавшему попробовать свои силы в теоретической физике, то он тоже решил применить теорему об энергетической равнозначности степеней свободы.
Но Планк был более математик, чем физик и по первости решил поступить бесхитростно, чисто по студенчески. Он проанализировал поведение простейшего гармонического осциллятора, квазиупруго связанного с ядром электрона, находящегося в полости с равновесным излучением.
При действии хаотически меняющегося электромагнитного поля электрон должен совершать колебания с хаотически меняющимися амплитудами и фазами, излучая и поглощая энергию электромагнитных волн.
Энергия такого осциллятора тоже должна совершать беспорядочные флуктуации вокруг среднего значения lt; в gt; . У Планка получилось уравнение, идеологически совпадающее с формулой Рэлея - Джинса
•ю
lt; в gt; 2
У =
п2с3
Убедившись в бесперспективности традиционных подходов, Планк, не заботясь о физическом смысле, начал подгонять формулу излучения под данные эксперимента. Получились уравнения для классической физики довольно странноватого вида
Йю3              1

и ю =
(
п2с3
-1
exp
Йю
кД

1
8nhc

и, =-
А5
-1
exp
hc
AkBT

Странность этого уравнение заключалась в том, что оно содержало некую постоянную величину Й = h/2n« 1-10-34 Дж - с , (h « 6,6-10 - 34 Дж-с). Это означало, что обычный гармонический осциллятор мог излучать энергию только порциями.
Позже Планк нашёл теоретическое обоснование своему уравнению. Он высказал гипотезу о том, что электромагнитная энергия излучается и поглощается не непрерывно, а порциями, названными квантами.
Согласно этой гипотезе энергия гармонического осциллятора могла принимать только фиксированные значения, отличающиеся на величину
Bf = hf = hv .
где h « 6,6-10 - Дж-с - постоянная Планка, f, v - частота. Таким образом, обмен энергией резонирующего электрона происходит порциями lt;в gt;= nhv , т.е. квантовыми скачками. Такое смелое утверждение требовало совершенно по новому объяснить связь между излучаемой энергией и колебаниями осциллятора, в частности электрона на резерфордовской орбите.


Возможны два варианта. Во-первых, можно предположить, что резонатор во время колебаний вообще не излучает энергии, а только в некоторый момент времени генерирует электромагнитную волну частотой v, в этом случае закон сохранения энергии для излучающих атомных структур не исполняется, во-вторых, можно допустить что существуют определённые уровни энергии (разрешённые уровни) на которых может присутствовать электрон и при перескоках с одного энергетического уровня на другой происходит излучение энергии. Вторая точка зрения оказалась прагматичней и в дальнейшем она нашла теоретическое обоснование и экспериментальное подтверждение.
Квантовую гипотезу Планка к фотоэффекту, открытому в 1872 г. русским физиком Александром Григорьевичем Столетовым, применил Генрих Герц.
В его экспериментах свет наддал на цезиевый металлический катод (рис. 3.43), помещённый в откачанную стеклянную колбу с кварцевым окном. При падении на катод света в цепи начинал протекать ток, законы изменения которого и подлежали исследованию.              Рис. 3.42. А.Г. Столетов

Герц, следом за Столетовым, установил, что


Рис. 3.43. Установка для исследования фотоэффекта
интенсивность света влияет лишь на количество вылетающих электронов, а их скорость, вопреки здравому классическому смыслу, зависит исключительно от частоты падающего света. Герц справедливо предположил, что кинетическая энергия вылетающего электрона равна
W = ^ = h~.
2
Таким образом, при фотоэффекте изменение энергии атомной системы связано с частотой падающей световой волны соотношением h~ = W1 - W2.
Альберт Эйнштейн, ознакомившись с работами Герца, оформил полученные им результаты в виде закона своего имени
+ A.
hv = mA
2

где А - работа выхода электрона из металла.
Процессы перехода электрона из одного состояния в другое при излучении и поглощении энергии теоретически проанализировал Нильс Бор. Бор ввёл в рассмотрение, так называемое, условие частот, которое разрешало атому излучать или поглощать энергию только в определённом квантовом состоянии. Применяя условие частот к гармоническому осциллятору можно видеть, что при их переходе из одного энергетического состояния W1 = n1hv в состояние, в другое с энерги- можно записать AW = (n1 - n2 )hv .


ей W2 = n2hv
Рис. 3.44. Нильс Бор

Изменение энергии с частотой в этом случае по Бору записывается следующим уравнением
hv = (n1 - n2 )hv .
Трактовка последней формулы с позиций классической волновой теории, когда излучаемая частота совпадает с частотой собственных колебаний осциллятора, приводит к результату
n1 - n2 = 1,
или в противном случае необходимо предположить, что излучаемая частота отличается от собственной частоты рассматриваемой колебательной системы, в этом случае излучение не монохроматично. Для устранения этого противоречия теоретикам квантовых представлениий пришлось ввести принцип соответствия, регулирующий частоту переходов между состояниями.
Величину постоянной Планка экспериментально определил Роберт Милликен.
<< | >>
Источник: Исаков3 Александр Яковлевич. Основы              современного              естествознания. Часть 3. Естествознание но вого времени. Лекции для студентов экономических направлений: Петропав- ловск-Камчатский: КамчатГТУ,2012. - 336 с.. 2012

Еще по теме Элементы квантовой механики:

  1. 13. Квантовая механика
  2. 2.3 Квантовая механика
  3. Копенгагенская интерпретация квантовой механики.
  4.   2.1.3. Квантовая механика и объективность научного знания  
  5. 14. Этапы развития квантовой механики
  6. ГЛАВА 5. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (НКМ)
  7. Дальнейшее обобщение нерелятивистской квантовой механики.
  8. ОТ МЕХАНИКИ ГАЛИЛЕЯ ДО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
  9. 2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики
  10. Теория относительности, квантовая механика и начало атомного века
  11. От падения камня до расширяющейся Вселеннойи квантовой механики
  12. Проблема проверки нерелятивистской квантовой механики.
  13. Глава 5.Квантовая механика иерархических систем
  14. Полуклассическая модель атома П. Бора (старая квантовая механика).
  15. ЧАСТЬ II. ОТ МЕХАНИКИ ГАЛИЛЕЯ ДО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
  16. §4.1. СИСТЕМЫ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
  17. Механика.Задачи и предмет механики.