Основные законы постоянного тока


Для большого класса проводящих веществ, в частности для металлов, плотность электрического тока j пропорциональна напряжённости электрического поля E . Это обстоятельство составляет один из важных законов электродинамики, хотя он, по большому счёту и не рассматривается как фундаментальный. Он весьма значим для практических целей. Математически закон представляется следующим образом              r              r
j = хЕ,
где X - постоянная величина для данного проводника, именуемая удельной проводимостью.
Уравнение выражает собой закон Ома в дифференциальной форме. Удельная проводимость зависит от физических свойств проводника, а так же от внешних условий, таких как температура, давление и др. Величина обратная удельной проводимости называется удельным сопротивлением
1
р=г
1
Закон Ома в интегральной форме получается при наличии разности потенциалов между отдельными его участками. Рассмотрим электрическую схему, изображённую на рис. 1.72.
Она состоит из цилиндрического проводника постоянного сечения с высоким удельным сопротивлением, например из вольфрама, аккумуляторной батареи, амперметра и чувстви-              Рис. 172. К выводу закона Ома в
интегральной форме
тельного вольтметра, служащего для измерения разности потенциалов.
Включив схему и перемещая скользящий контакт вдоль проводника из положения 1 в положение 2, обнаружим, что показания вольтметра увеличиваются по закону
i = kU.
Если длину проводника обозначить через l, а напряжённость электрического поля в нём - Е, то можно записать следующее уравнение
E = - гїф              ф2 - Ф1              Ф1 -ф2 = U
dl              l              l l'
При возникновении в проводнике тока он будет течь от большего потенциала ф1 к меньшему потенциалу ф2. Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо поддерживать на его концах разность потенциалов, т.е. условие возникновения электрического тока определится как
Аф = ф1 - ф2 Ф 0 .
Условие может быть обеспечено наличием замкнутой цепи, в которую последовательно с проводником включён источник тока. При разомкнутой цепи на отрицательных клеммах источника имеется избыток электронов, а на положительных - недостаток.
Внутри источника действуют, так называемые сторонние силы, механического, химического, биологического и теплового типа, которые обеспечивают разделение зарядов.
Перемещение зарядов в замкнутой цепи осуществляется за счёт сил не электростатического происхождения, работа которых, как известно, по замкнутому контуру всегда должна быть равной нулю. Перемещение по проводнику носителей заряда (электронов или ионов) осуществляется за счёт работы, производимой сторонними силами.
Эта работа определяется в виде суммы работы, совершаемой против сил электрического поля внутри источника тока (АИст), а так же работы против сил сопротивления среды источника (АВнутр)
А = А + А
Стор              Ист              Внутр'
Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называется отношение работы сторонних сил к величине заряда, перемещаемого вдоль всей цепи, включая и источник тока
А              А + А
s = Стор = Ист              Внутр
qq
Работа против сил электрического поля определится как
АИст = -(ф1 -ф2 ) .
В режиме холостого хода, когда клеммы источника разомкнуты АВнутр = 0, поэтому
s = ф1 - ф2 .
Под действием силы Кулна свободные носители заряда, в частности - электроны, должны двигаться с ускорением              r
a = еЁ
me ’
т. е. скорость зарядов должна вроде как возрастать со временем, как и плотность тока              r
J = pu = pat.
Однако движение зарядов в проводнике происходит не в пустом пространстве. Движущиеся электроны в классическом представлении, являясь частицами, обременёнными массой покоя, при своём перемещении сталкиваются с элементами кристаллической решётки, в частности с ионами, которые более массивны и обладают большими размерами.
Поэтому в уравнении плотности тока вместо неопределённого времени t, должно рассматриваться время между столкновениями отдельно взятого электрона и ионами т. Уравнение скорости в этом случае уместно представить так
— eEx u =              .
me
Таким образом, скорость электрона за время т будет увеличиваться до некоторого максимума, затем при столкновении с ионом она становится равной нулю, в этой связи, в среднем скорость движения зарядов по проводнику принимается постоянной.
На участке проводника dl напряжённость электрического поля связана с потенциалом стандартным уравнением
dф = -Edl = - ^.
Величина подынтегрального выражения не зависит от силы тока и разности потенциалов на концах проводника, оно определяется физическими свойствами металла и его геометрическими характеристиками. Оно называется электрическим сопротивлением



Проинтегрируем далее уравнение по длине проводника от точки 1 до точки 2 (рис. 1.72)


Умножим и разделим правую часть уравнения на площадь поперечного сечения проводника S
Электрическое сопротивление проводника R прямо пропорционально удельному сопротивлению материала проводника р, длине проводника l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения.
Подставим далее значение сопротивления в уравнение разности потенциалов, получим:
U = iR.
Это уравнение называют законом Ома в интегральной форме. Если рассматривается цепь постоянного тока, то закон Ома принято записывать в следующем виде


Электрическое сопротивление измеряется в Омах и производных единицах
1Ом = — = —
1А А
На практике используются единицы большего достоинства, килоомы (1 кОм = 103 Ом) и мегомы (1 МОм = 106 Ом). Разберёмся далее, что следует подразумевать под понятием «скорость движения носителей заряда» в свете того, что их очень много и движутся они весьма разнообразно.
В отсутствии электрического поля электроны, как отмечалось выше, имеют спонтанные скорости хаотического теплового движения. При действии поля у электронов появляется, так называемая, дрейфовая скорость и. Именно эта скорость в классической интерпретации определяет электрический ток.
В гидромеханике, например, при рассмотрении количества жидкости истекающей из трубы, не существенно, как движется отдельно взятая частица воды. Важно знать скорость струи и площадь её поперечного сечения.
Таким образом, величина и является дрейфовой скоростью электрона в присутствии поля. Концентрация электронов проводимости в металлах имеет порядок ne = 1028 -1029 м - 3, средняя длина свободного пробега по порядку величины совпадает с расстояниями между узлами кристалла (А) = 10-10 м. Уподобив электроны
атомам идеального газа, можно оценить скорость их теплового движения, получим:
(v)2              3, T              ft              |3kBT
me
^ = 4 kBT; ^ (v) = J—r-
2 2 ‘B              t e
где (v) - средняя квадратичная скорость электронов, me - масса электрона,
kB ф 1,4 -10-23 Дж/К - постоянная Больцмана. Например, для Т = 300 К
І3 -1,4 -10-23 - 300              м
М фл :              -              ф 1,12 -103 -.
х 1 V              1 -10-30              с
щадью поперечного сечения 1 мм2 = 1-10 6м2. Если по проводнику течёт ток силой
Определим далее величину дрейфовой скорости в медном проводнике с пло-
дью поперечного сечения 1 мм
1 А, то его плотность будет равна
j=1=10-4.
J р              2
S м
Концентрацию свободных электронов определим через плотность меди р Ф 8,9 -103 кг/м3 и её молярную массу р = 63,5 -10-3 кг/моль , приняв во внимание, что у меди один валентный электрон, который и экспортируется каждым атомом в нестройные ряды электронного газа. Количество вещества, как известно, определяется в виде отношения v = р/р, умножив которое на величину числа Авогадро
Na Ф 6 -1023моль-1, получим число атомов в единице объёма, т.е. концентрацию свободных электронов
= Na Рф 6 -10”-8,9;10 ф 8.10*4.
e A р              63,5 -10-3              м3
Дрейфовая скорость в этом случае равна:
u = j ф 110              19              ф              7,8-10-5 м = 28—.
nee 8 -1028 -1,6 -10-19              с              час
Результат несколько обескураживающий. Дрейфовая скорость свободных электронов на восемь порядков меньше скорости теплового движения. Даже если на несколько порядков увеличить плотность тока, что может, в конечном счёте, привести к тепловому разрушению целостности проводника, то всё рано, скорость теплового движения будет существенно превосходить дрейфовую скорость.
Электрон в электрическом поле испытывает действие кулоновской силы F = eE и приобретает ускорение, поэтому, строго говоря, в течение времени пробега скорость электрона увеличивается, а при столкновении с ионом обращается в нуль. За время т = lt; X gt;/lt; v gt; , т.е. за время между двумя соударениями дрейфовая скорость от нулевого значения возрастёт до
eET
Umax = aT = ¦
me
Средняя величина дрейфовой скорости, при этом, будет рана
umax eE lt; X gt;
lt; u gt;= —ma^ =              .
2              2me              lt; v gt;
Подставим значение средней скорости дрейфа в уравнение плотности тока
. nee2 lt; X gt; j = —              E,
2me lt; v gt;
комбинация величин, являющихся коэффициентом пропорциональности между плотностью тока и напряжённостью электрического поля является электропроводностью или проводимостью
J = XE.
Таким образом, снова приходим к уравнению закона Ома в дифференциальной форме.
Полученные выше результаты не следует рассматривать как безусловное количественное подтверждение теории. Некоторые положения классической теории электропроводности металлов не согласуются с экспериментальными результатами, о трудностях этой, несомненно, передовой для своего времени, теории разговор впереди.
Как это следует из уравнений, работа
против сил поля внутри источника (рис.

I
7!


1.73), тока выражается через падение напряжения на внешнем сопротивлении R              ;
Аист-ЧЕgt;              1              і
В замкнутой цепи работа против сил сопротивления среды источника АВнутр обуславливает падение напряжения внутри самого источника
АВнутр qU Внутр ,
т. е. можно считать, что источник обладает внутренним сопротивлением г.
Падение напряжения на источнике можно тогда записать на основании закона Ома следующим образом:
U = Ir
Внутр
ЭДС источника в такой постановке вопроса можно представить в виде суммы падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во внешней цепи
s = Ir + U = Ir + IR,
откуда следует
I = ——.
R + r
Последнее уравнение является математическим выражением закона Ома для замкнутой цепи, содержащей источник тока.
В предыдущем подразделе были показаны некоторые применения конденсаторов, как накопителей электрической энергии. Познакомившись с основными законами постоянного тока, разберёмся с особенностями процессов накопления энергии, это особенно важно при использовании конденсаторов различного рода импульсных устройств типа фотовспышки.


Для зарядки и разрядки конденсатора может использоваться цепь, схема которой приведена на рис. 1.74. Если переключатель поставить в положение 1, то конденсатор С начнёт заряжаться от источника с ЭДС s через сопротивление цепи R, включающее и внутреннее сопротивление источника.
Начиная с момента времени, соответствующего замыканию переключателя в цепи возникнет электрический ток, зависящий от времени i(t), переносящий положительный заряд на левую пластину конденсатора q(t). Падение напряжения на конденсаторе, с одной стороны, можно представить как разность между ЭДС источника и напряжением на нагрузке, с другой стороны, как отношение доставленного заряда к величине ёмкости конденсатора
s-iR = A C
Рассматривая процесс зарядки конденсатора с позиций закона сохранения заряда, изменение заряда конденсатора может протекать только при наличии тока i, поэтому
i=dq.
dt
Совместим два последних уравнения
r^m+М=s.
dq
dt C
но
dt              C
тогда
U = s - Ri,
где i - мгновенное значение силы тока, U - падение напряжения на конденсаторе. С другой стороны,
М -s-JMr,^ rJm. + М =s.
C dt              dt              C
Преобразуем последнее уравнение к виду более удобному для интегрирования
RCdq = sC q              dq              = dt
dt =S - Q, q - Cs =-RP
f_d^_ rjl, ln(q - Cs)=—l— + K,
Jq - Cs              J RC              V              ' RC
где К - произвольная постоянная интегрирования.
Определим К по начальным условиям, т. е. при t = 0, q = 0
ln(- Cs)= K,
и подставим значение К в предыдущее уравнение
ln(q- Cs)-ln(- Cs)=- R^
или, после преобразования
Inl 1 -q              t
ln( 1 -              ,
CsJ              RC
Избавимся далее от логарифма в левой части
1 -X=exp(--L),
Cs              v              RCJ
и решим полученное уравнение относительно искомой величины q(t) заряда конденсатора
q(t) = Cs
1 - e Rlt;
vJ
Получим зависимость зарядного тока в функции времени, для чего достаточно продифференцировать полученное уравнение заряда по времени

t
RC
dq
dt R
Изменение напряжения на конденсаторе будет протекать в соответствии с уравнением
s
= — e
u(t )=Mp -
Величина RC = т[Ом - Ф = (В/А)-(Кд/в) = Кд/(Кд/с) = с] - называется постоянной времени. Постоянная времени характеризует промежуток времени, за который заряд на конденсаторе достигает (1 - e-1) или 63% своего максимального значения, т.е. 0,63Cs. Значение т, таким образом, характеризует скорость зарядки конденсатора.
Из (1.170) следует, что заряд может достичь своего максимального значения Q = Cs ,только через бесконечно большое время. Рассмотрим динамические особенности процесса на конкретном примере.
Пусть цепь составлена из последовательного соединения конденсатора ёмкостью С = 2 мкФ, резистора сопротивлением R = 1,5 кОм, и источника тока с ЭДС s = 12В. Определим постоянную времени и установим зависимость заряда и напряжения на конденсаторе от времени.
  1. Определим постоянную времени заданной цепи

т = RC = 1,5 -103 - 2 -10-6 = 3 -10-3 с.
  1. Максимальная величина заряда конденсатора определится из соотношения

Qmax = Cs = 2 -10-6 -12 = 2,4 -10-5 Кл = 25мкКл .
  1. Определим зависимость заряда, напряжения и зарядного тока от времени

t
Q(t) = 2,4 -10-5(1 - e т),
( t Л
i(t ) = 8-10
U(t ) = 12
i(t )=
(              _L?
1 - e RC
3
1 - eт

І10'А
q-10'Кл


Рис. 1.75. Зависимость от времени величины заряда конденсатора
4. Представим расчетные данные для заряда конденсатора и протекающего по нему тока в виде соответствующих графиков (рис. 1.75).
Как и следовало ожидать, кривые имеют экспоненциальный вид, т.е. заряд конденсатора и сила тока асимптотически приближаются к своим экстремальным значениям.
Если заряженный конденсатор отсоединить от источника, т. е. перевести переключатель в положение 2 (рис.1.74) и замкнуть на сопротивление, то, описанные выше процессы, начнут протекать в обратной по-
следовательности. Уравнение перепишется при условии s = 0
dqR + Q = 0.
C
dt

т. е. сила тока в цепи и заряд конденсатора убывают во времени по экспоненциальному закону, с той же постоянной времени.


t
q(t)= -maxe RC,
Решение этого уравнения для заряда и силы тока будут иметь вид
Время разряда конденсатора можно существенно сократить, если использовать в качестве разрядного, сопротивление малой величины. В импульсной лампе фотовспышки сопротивление разрядного промежутка составляет десятые доли Ома, в то время как зарядная цепь обладает во много раз большим сопротивлением.
Если на концах неподвижного проводника имеется разность потенциалов U = (ф2 - ф1), то электрический заряд Aq, перемещаясь из точки 2 с большим потенциалом, в точку 1, с меньшим потенциалом (рис. 1.73) теряет часть своей энергии на преодоление сопротивления


Заряд можно выразить через силу тока и время
I = ^, ^ dq = Idt, dt
энергия с учётом этого запишется так
dW = IUdt.
Вполне резонен вопрос: «Куда девается эта энергия?». В кинетическую энергию она явно не переходит, т. к. никаких движений в макроскопическом варианте не возникает.
В неподвижном проводнике движущиеся носители заряда сталкиваются с ионами металла и, отдавая им энергию, повышают тем самым температуру проводника. Это было замечено и экспериментально, что всякий проводник, по которому течёт ток, имеет температуру выше окружающей среды.
Другими словами, носители заряда, получая энергию от электрического поля, часть её расходуют на нагревание проводника, таким образом, работа, производимая при перемещении заряда, имеет вполне определённый тепловой эквивалент


Если сила тока и разность потенциалом во времени не меняются, то уравнение упрощается
2 U2
AQ = IUAt = I2RAt = At.
R
Уравнение выражает собой закон Джоуля - Ленца. Этот закон установлен был в 1841г. Дж. Джоулем и в 1842 г. независимо, Эмилем Христофоровичем Ленцем, профессором Петербургского университета.
Закону можно придать иное математическое выражение, если ввести в рассмотрение параметры сопротивления и плотность тока для проводника конечной длинны
5Q = I2pR —dt = pj2sd1dt, s
Q = PRJ2Vdt,
где V - объём проводника, pR - удельное сопротивление.
Рассмотрим пример применения закона Джоуля - Ленца при замыкании обкладок конденсатора ёмкостью С, заряженного до разности потенциалов U на сопротивление R. Определим количество выделившегося при этом тепла.
Запишем уравнение количества тепла в следующем виде
Q = J IUdt = J i2 (t )Rdt.
e RC =-
q = _ЦІ J -? U2 RC CU
R J
Подставим зависимость силы тока от времени
R '              R              2              2
Анализ последнего уравнения показывает, что вся электрическая энергия, запасённая в конденсаторе, переходит в тепло. Тепловая мощность (энергия, выделяемая в единицу времени) при этом определится как
N = AQ = IU = I2R = —.
At              R
Определим далее мощность, выделяемую в единице объёма проводника, т.е. плотность теплового потока в проводнике длиной l и площадью поперечного сечения S.
Разность потенциалов на концах проводника можно выразить через напряжённость поля U = El, а его сопротивление R- через удельное сопротивление
R =Р1 = ±,
S              XS
откуда следует, что
N = — = E212 — = VXE2.
R              1
Плотность тепловой мощности запишется следующим образом:
та = N = XE2 = j - E .
V
Следует заметить, что вопрос о выделении тепла в проводниках неоднозначен. Чаще всего с тепловыделениями борются всеми известными способами, потому как выделение тепла в проводнике при протекании по нему тока оборачивается прямыми убытками.
В ряде радиотехнических устройств используются даже посеребренные медные проводники, а в ряде, особо ответственных цепях, даже позолоченные. За повышение энтропии окружающего пространства приходится платить реальные деньги.
Но есть случаи, когда тепловыделение нужно максимизировать, например, при изготовлении различных нагревательных элементов. Для этого используют специально созданные проводники с высоким удельным сопротивлением.
<< | >>
Источник: Исаков3 Александр Яковлевич. Основы              современного              естествознания. Часть 3. Естествознание но вого времени. Лекции для студентов экономических направлений: Петропав- ловск-Камчатский: КамчатГТУ,2012. - 336 с.. 2012

Еще по теме Основные законы постоянного тока:

  1. § 2.7. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА. ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА
  2. § 2.9. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
  3. § 2.2. ПЛОТНОСТЬ ТОКА. СИЛА ТОКА
  4. 2.2 Постоянный электрический ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
  5. § 5.6. ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ И ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ
  6. §2. Постоянная рента Статья 589. Получатель постоянной ренты
  7. 1. 3. а. Иерархия законов и актов, к ним приравненных, по Основным Законам изд. 1906 г.
  8. § 1.2. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ЭЛЕКТРОСТАТИКИ - ЗАКОН КУЛОНА
  9. Конституційний закон на зміну і доповнення основного закону про імперське представництво 21 грудня 1867 p., а також законів 2 квітня 1873 p. і 12 листопада 1886 p. (14червня 1896 р.).
  10. § 5.8. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКА
  11. § 3.4. ВЫПРЯМЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
  12. § 2.6. РЕЗИСТОР В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА