Скорость точки


Проще всего определить скорость, имеющую по обыкновению смысл направления и величины, когда точка движется прямолинейно и равномерно, не суетясь и не рыская, так сказать. В этом простейшем случае нужно величину пути поделить на время этого путешествия и получить значение скорости

= S т ’
м
с

Вопрос с направлением вектора скорости тоже решается запросто, потому что вариантов нет. Вектор скорости будет направлен в сторону движения. Если точка движется по криволинейной траектории, то скорость нельзя считать постоянной, потому что, даже, если модуль скорости сохраняет своё значение за всё время движения, то направление вектора скорости изменяется (рис. 1.10).


Представим некоторую точку, совершающую криволинейное движение по произвольной криволинейной траектории АВ.
В некоторый момент времени точка занимает положение М, определяемое радиус- вектором ~г. В момент времени ti = t + At, т.е. через промежуток времени At, исследуемая точка перемещается в положение М1, характеризуемое радиус-вектором ~г- Вектор Air представляет собой перемещение за промежуток времени At = (t1 - t).
Отношение вектора перемещения точки к величине промежутка времени, за которое совершается это перемещение, называется вектором средней скорости за данный промежуток времени
_ Ar Г м Ар = —,              —
At _ с
Как видно из уравнения значение вектора средней скорости за промежуток времени At будет зависеть от величины этого промежутка времени. Естественно предположить, что чем меньше будет величина At, тем адекватнее вектор средней скорости будет характеризовать изменение вектора перемещения за единицу времени в течение промежутка At.
При движении точки по двум последовательным одинаковым участкам с соответствующими скоростями v1 и v2 средняя скорость определяется как
= s = s = 2v1v2
ср t1 +12              0,5s + 0,5s              v1 + v2
v1              v2
Когда половину всего времени точка движется со скоростью v1 , а вторую половину времени со скоростью v2, то средняя скорость определяется как
= s1 + s2 = v1 - 0,5t + v2 - 0,5t = v1 + v2
v ср = t = t =              2              .

v = lim(v„)= lim Ar = ® . r,
At^A ср/ At^0 At dt
Предел, к которому стремится вектор средней скорости, при At ж 0 называется вектором мгновенной скорости или вектором скорости в данный момент. При анализе движения часто мгновенную скорость называют просто - скоростью. Математически процесс определения мгновенной скорости представляется следующим образом
м с
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора этой точки по времени. Исходя из геометрического смысла производной, вектор скорости направлен всегда по касательной к траектории в данной точке в сторону движения.
Вектор средней скорости, как видно из рис. 1.10 совпадает по направлению с хордой ММ1. При At ж 0 точка М1 перемещается в сторону М, так что хорда трансформируется в касательную.
Следует иметь в виду, что
dr ф djr|.
dt dt
Так, например, если точка движется по круговой траектории, то модуль её радиус-вектора остаётся постоянным во всё время движения (рис. 1.9), в то время как направление радиус-вектора меняется, т.е.
-dr
v = Ф 0.
dt
Если уравнения движения точки заданы в координатной форме, то радиус- вектор точки будет связан со своими проекциями следующим уравнением
r = xi + yj + zk ,
где , /j, k} единичные векторы, направление которых совпадает с осями координат (рис. 1.10), а их модуль равен единице измерения соответствующей величины, в данном случае они измеряются в метрах.
Проекции вектора мгновенной скорости определяться уравнениями:
dx              dy              dz
vx = — . x,              vy              = — . y,              vz = — . z              .
dt              dt              dt
Вектор мгновенной скорости представится следующим образом:
-              -              -              -              dx              -              dy              -              dz-
v = vxi + vyj + vzk . — і + — j +— k x y z dt dt dt
<< | >>
Источник: Исаков Александр Яковлевич. Основы              современного естествознания. Часть 2. Классический пе риод естествознания. Лекции для студентов экономических направлений: Петро- павловск-Камчатский: КамчатГТУ,2012. - 274 с.. 2012

Еще по теме Скорость точки:

  1. Скорость произвольной точки звена манипулятора
  2. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. Связь угловых и линейных величин
  3. Теорема 27. Третье правило. Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А, то не только А отразится в противоположном направлении, но и В перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
  4. Теорема 31. Седьмое правило. Если В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В, следуя за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если при этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка величины А, то В перенесет на А столько своего движения, что после этого оба тела будут двигаться с равной скоростью и в том же направлении. Ио если бы излишек величины А был больше излишка скорости В, то В было бы отражено телом А в противоположном направлении, но удержало бы при э
  5. Теорема 24. Первое правило. Если два тела, например А и В (см. фиг. 1), вполне равны друг другу и движутся друг к другу с равной скоростью, то при встрече их каждое отразится в противоположную сторону, не теряя своей скорости.
  6. Теорема 26 Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости, именно В вдвое больше А (см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В, а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в противоположном направлении и каждое удержит прежнюю скорость.
  7. Теорема 21 Если тело А вдвое больше тела В и движется с такой же скоростью, то тело А будет иметь вдвое больше движения, чем В, или вдвое больше силы, чтобы удержать равную с В скорость (см. фиг. 1).
  8. Теорема 36 Если бы тело, например наша рука, могла двигаться по любому направлению с равным движением, нисколько не противодействуя другим телам и не встречая противодействия со стороны других тел, то в пространстве, по которому она движется, необходимо будет двигаться столько же тел в одном направлении, сколько во всяком другом, со скоростью, равной скорости руки.
  9. Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
  10. §1.12. СКОРОСТЬ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
  11. § 4.10. СКОРОСТЬ ЗВУКА
  12. СКОРОСТЬ
  13. § 1.17. СКОРОСТЬ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ