Ускорение точки


Как отмечено ранее, только равномерное прямолинейное движение может протекать со скоростью, модуль и направление которой не изменяются во времени. Напомним, что скорость векторная величина и считается переменной, если изменяется модуль и направление, как вместе, так и по отдельности.
Для характеристики быстроты изменения вектора скорости ? вводится специальная векторная величина - ускорение, обозначаемая чаще всего буквой ?.
Ускорением называется вектор ^, численно равный первой производной по времени t от скорости п или второй производной по времени радиус-вектора по времени
dV
м
d2r
a = ¦
dt dt2
Вектор ускорения, так же как вектор скорости можно представить в координатной форме
а = axi + ayj + azk
при этом

dy. dt2;
dVy
dt
dvx
dt
ax =¦
ay =¦
= dz = d z z dt dt2


R
n


О
M
Если точка движется в плоскости, то вектор ускорения тоже располагается в этой плоскости. В отличие от вектора скорости, направление вектора ускорения определить в рамках кинематики невозможно, т.к. его направление зависит от системы действующих сил, которые в кинематике не рассматриваются. Однако направление вектора ускорения можно определить, используя особое его разложения по взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 1.11).
О О              Пусть точка движется по круговой траек-
Рис. 1.11. Составляющие ускорения тории радиуса R с центром в точке О и занимает в начальный момент времени положение М. Совместим с начальным положением точки взаимно перпендикулярные базисные векторы пи ^,первый из них направлен перпендикулярно вектору скорости, а второй - совпадает с вектором скорости по направлению. В этом случае вектор ускорения можно разложить на две составляющие
a = an + a T
векторная величина an = ann называется нормальным ускорением, a = a т
тангенциальное или касательное ускорение.
Нормальное ускорение характеризует, как быстро меняется по направлению вектор скорости. Тангенциальное ускорение показывает быстроту изменения модуля скорости.
Рассмотрим бесконечно малое перемещение ds, произошедшее за промежуток
времени dt, которому соответствует угловой поворот на dа
ds vdt
dа = — =              .

R R
Так как вектор скорости совпадает по направлению с базисным вектором т, то уместно записать следующее соотношение: v = vT , следовательно
-              d / dv _ dT
a              = —(vt) = —т + v—              •
dt4              ' dt dt
С другой стороны, изменение направления вектора т можно выразить через изменение угла поворота da
dT = da _ = v ^
dt = dt n = R n
Совместим далее уравнение суммы составляющих ускорения
м
- dv ^ v2 -


Рис. 1.12. Вектор ускорения
a = —т+              n.
dt R
Из уравнения, в частности, следует, что при ускоренном движении (dv/dt) gt; 0 вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости (рис. 1.12).
При замедленном движении (dv/dt) lt; 0 вектор g противоположен по направлению вектору скорости.
при равномер-
Движение точки считается равнопеременным, если за равные промежутки времени модуль скорости изменяется на одинаковую величину, в этом случае a = const . Для равноускоренного движения характерно, что a т = const gt; 0 , для равнозамедленного - a т = const lt; 0
ном движении aT = 0.
Модуль полного ускорения на основании уравнения ввиду перпендикулярности составляющих определится очевидным соотношением

Г v2 ї2
4
an+a 2
+
a = a
V R J
Г dv ї
V dt J

Угол ф между вектором ускорения an вектором т острый, что говорит об ускоренном движении. Если движение будет замедленным, то угол ф будет тупым.
Обращаем внимание ещё раз на уравнение
a = dv
a = dt'
Ускорение отлично от нуля во всех случаях, когда изменяется вектор скорости, как по модулю, так и по направлению. В частности, это обстоятельство позволяет утверждать, что всякое криволинейное движение, включая движение с постоянной по модулю скоростью по круговой траектории, является ускоренным.
Если точка с постоянной по модулю скоростью движется по окружности, то тангенциальное (касательное) ускорение будет нулевым, а нормальное ускорение нулю не равно, т.е.
aт = 0; а Ф 0 ;
<< | >>
Источник: Исаков Александр Яковлевич. Основы              современного естествознания. Часть 2. Классический пе риод естествознания. Лекции для студентов экономических направлений: Петро- павловск-Камчатский: КамчатГТУ,2012. - 274 с.. 2012

Еще по теме Ускорение точки:

  1. §1.26. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ
  2. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. Связь угловых и линейных величин
  3. §1.18. ГРАФИКИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ И ПРОЕКЦИИ УСКОРЕНИЯ И МОДУЛЯ И ПРОЕКЦИИ СКОРОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  4. § 1.15. УСКОРЕНИЕ
  5. § 1.27. ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ, НОРМАЛЬНОЕ И ПОЛНОЕ УСКОРЕНИЯ
  6. §1.16. ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  7. §1.20. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  8. § 2.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ УСКОРЕНИЕМ И СИЛОЙ
  9. § 1.17. СКОРОСТЬ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  10. Ускорение ритма истории
  11. § 4.3. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ДВИЖУЩИЕСЯ ПРЯМОЛИНЕЙНО С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  12. § 1.7. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ. ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ
  13. Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
  14. §1.19. ЗАВИСИМОСТЬ КООРДИНАТИ РАДИУСА-ВЕКТОРА ОТ ВРЕМЕНИПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  15. § 7. УСКОРЕННОЕ РАЗВИТИЕ НАУКИ
  16. Усиление и ускорение социальных эпидемий
  17. § 1.21. ГРАФИКИ ЗАВИСИМОСТИ КООРДИНАТ ОТ ВРЕМЕНИПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
  18. Методы ускорения темпов возведения зданий
  19. 28.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ УСКОРЕНИЯ ТЕМПОВ РОСТА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА
  20. Влияние внешней и внутренней среды организации на ускорение изменений