Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси


Твёрдые тела это объёкты, размеры и форма которых в процессе движения не изменяются. В отличие от материальной точки твёрдые тела имеют геометрические размеры, т.е. их масса занимает некоторый объём в пространстве.
Если при движении твёрдого тела две его точки остаются неподвижными, то такое движение называется вращением вокруг неподвижной оси. Прямая, проходящая через эти точки, считается осью вращения. Все прочие частицы тела, не лежащие на оси вращения, будут описывать плоские траектории в виде концентрических окружностей, центры которых лежат на оси вращения.


Рассмотрим произвольное сечение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, пусть выбранное сечение будет перпендикулярно оси вращения.
Движения рассматриваемого тела, за счёт наложенных внешними причинами ограничений сводятся только к возможности поворота вокруг оси z (рис. 1.17).
Таким образом, все точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся по круговым траекториям. Вращение считается положительным в случае, когда оно наблюдается со стороны положительного направления оси z происходящим против движения часовой Рис. 1. 17. Вращение твёрдого тела стрелки и отрицательным - по направлению движения часовой стрелки. Естественно, что это условность. Выбор направления движения никак не влияет на его объективные кинематические характеристики.
Пусть некоторая точка М, лежащая на периферии выбранного сечения твёрдого тела в начальный момент времени находится в положении 1 (рис. 1.18), через промежуток времени At точка, повернувшись на угол A9, займёт положение 2, при этом одновременно с углом поворота перемещение точки будет характеризоваться линейной величиной Ar. За время At точка пройдёт криволинейный путь As.
При движении по круговой траектории модуль радиус-вектора точки |-1 не будет изменять своего значения, переменной во времени величиной будет только направление радиус-вектора.

Другими словами, радиус вектор будет являться функцией времени. Как показано ранее, движение точки в плоскости должно характеризоваться двумя скалярными уравнениями, связывающими координаты и время


Рис. 1.18. Кинематические параметры вращения
k = f1(t X
lry = f2 (t).
Поскольку |r| = const , положение точки на
круговой траектории может быть однозначно охарактеризовано значением угла поворота, в этом случае уравнение движения можно записать так
Ф = f (t).
Записанное уравнение называется уравнением вращательного движения. Как известно, угловая координата ф измеряется в радианах, при этом один оборот соответствует 2 п радиан или 3600. Если тело или точка сделали N оборотов вокруг неподвижной оси, то угловой путь определится как
Ф = 2nN .
Измерение пройденного пути в радианах, делает необходимым введения понятия угловой скорости, т.е. величины, характеризующей быстроту изменения угла поворота во времени.
По аналогии с уравнением средней скорости среднюю угловую скорость юср можно найти следующим образом
Аф
®Ср =
рад _ -1 — с
с
At ’
Если промежуток рассматриваемого времени устремить к нулю, то это позволит перейти к бесконечно малым величинам (бесконечно близкое расположение точек 1 и 2 на рис. 1.18) и получить уравнение для модуля мгновенной угловой скорости, такая процедура уже проделывалась при введении понятия линейной скорости
,.
Аф dф ю = lim = — = ф .
At^° At              dt
Угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота тела по времени.
Значение угловой скорости может быть как положительной величиной, так и отрицательной, в зависимости от того, возрастает или убывает угол поворота в рассматриваемом интервале времени. При вращении против часовой стрелки относительно положительного направления оси z

ю =              gt;              0,
dt
в противном случае
lt;^ф              г\
ю = — lt; 0.
dt
Знак угловой скорости показывает, в какую сторону в данный момент времени вращается тело вокруг неподвижной оси.
Движение произвольной точки, принадлежащей вращающемуся телу, носит периодический характер, т.к., сделав полный оборот, точка снова возвращается через определённое время в исходное положение. Это даёт основание ввести в рассмотрение такие понятия, как период Т и частоту вращения n
2п
ю = 2nn = —,
T
частота вращения измеряется в оборотах в секунду, период - в секундах.
Записанное выше соотношение называется уравнением равнопеременного (s = const) вращательного движения, начинающегося при некотором значении ф0.
Как было отмечено ранее, угловому перемещению точки, принадлежащей плоскости вращающегося тела соответствуют вполне определённые линейные перемещения, что даёт основания установить взаимосвязь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками.
Пусть в начальный момент времени при t = 0 точка находилась в положении А, за малый промежуток времени At точка повернулась на угол Аср, пройдя од/              новременно              отрезок дуги длиной s (рис. 1.19). При


Рис. 1.19. Ускорение точки при вращении
достаточной малости углового перемещения
s = ^ф .
Среднее значение линейной скорости точки на перемещении s представим следующим образом
As              Aф              dф              і і
vm = — s r—, ^ v = r— = r ю              .
At              At              dt
Линейная скорость произвольной точки, принадлежащей вращающемуся телу, равна произведению угловой скорости тела на кратчайшее расстояние от данной точки до оси вращения.
Уравнение средней скорости позволяет установить два важных кинематических свойства вращательного движения.
Угловая скорость вех точек принадлежащих вращающемуся телу одинакова.
Линейная скорость точек вращающегося тела зависит от их расположения относительно оси вращения, чем дальше от оси вращения расположена данная точка, тем её линейная скорость будет, при прочих равных условиях, выше.


Рис. 1.20. Распределение линейных скоростей
На рис. 1.20 показано распределение линейных скоростей точек в сечении вращающегося вокруг неподвижной оси твёрдого тела.
Из уравнения Эйлера
|v| = юг ,
Можно видеть, что скорость всех точек, составляющих ось вращения, будет равна нулю. Это даёт основание более строго сформулировать определение оси вращения.
Осью вращения движущегося твёрдого тела называется геометрическое место точек, скорость которых равна нулю.
<< | >>
Источник: Исаков Александр Яковлевич. Основы              современного естествознания. Часть 2. Классический пе риод естествознания. Лекции для студентов экономических направлений: Петро- павловск-Камчатский: КамчатГТУ,2012. - 274 с.. 2012

Еще по теме Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси:

  1. § 7.7. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  2. Матрица поворота вокруг произвольной оси
  3. Теорема 28. Четвертое правило. Если тело А (см. фиг. 1) находится в совершенном покое и немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость, никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в противоположном направлении и удержит при этом свое движение неизменным.
  4. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. Связь угловых и линейных величин
  5. Уравнения движения манипулятора с вращательными сочленениями
  6. § 5. Вращательное движение твердых тел
  7. Глава 3. Изменение личностно-психологических особенностей людей под влиянием движения Земли по орбите вокруг Солнца и Луны вокруг Земли
  8. МАГИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
  9. § 7.8. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  10. Теорема 39. Что способствует сохранению того способа движения и покоя, какой имеют части человеческого тела по отношению друг к другу, то хорошо; и наоборот — дурно то, что заставляет части человеческого тела принимать иной способ движения и покоя относительно друг друга.
  11. 56. Частицы жидких тел обладают движениями, направленными во все стороны; достаточно малейшей силы, чтобы привести в движение окруженные ими твердые тела  
  12. Теорема 25. Второе правило. Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А (см. фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними, то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с равной скоростью.
  13. Теорема 26 Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости, именно В вдвое больше А (см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В, а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в противоположном направлении и каждое удержит прежнюю скорость.
  14. §1.1. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА И ТОЧКИ
  15. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  16. § 1.24. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ
  17. 4. Тепло и движение частей тела возникают в теле, мысли же – в душе
  18. 38. Пример движений тела, сопровождающих страсти и совершенно не зависящих от души
  19. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
  20. Лемма 1. Тела различаются между собой по своему движению и покою, скорости и медленности, а не по субстанции.