3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений

Для построения итерационного решения уравнения Ланжевена, потенциал U представляют в виде суммы линейной части Ьф, нелинейного взаимодействия У[ф) и регулярной внешней силы f(x):

^ = Ьф(х) + А У[ф(х)\ + /(*) + ф). (3.30)

Случайная сила предполагается однородной по пространственной и временной координатам и имеет нулевое среднее значение:

(ф)ф)) = D(x - х'), (ф)) = 0. (3.31)

В операторной форме решение уравнения (3.30) может быть символически записано с помощью функции Грина Go:

ф = д0[ХУ[ф] + / + л], (3.32)

А ^ А

где GQ = dt - L, может быть разложена в степенной ряд по А - формальному малому параметру разложения

Ф = Фо + Хфі + А2 фі + —

Как в квантовой теории поля, так и в статистических задачах, среднее значение решения (ф) получается путем применения теоремы Вика при усреднении по гауссовой случайной силе г]. Полная функция Грина G(x,x'), такая что

ф(х) = [ G{x, x')f(x')dx', t > t',

67 определяющая усредненный по случайной силе 77 отклик системы на регулярную силу /, также раскладывается в ряд по Л

G = G0 + AG1 + A2G2 + ....

Для определенности, рассмотрим уравнение Кардара-Паризи-Занга (КПЗ) - частный случай уравнения Ланжевена, описывающий локальный рост границы фаз в флуктуирующей среде [98,198]:

^=иАф + ^(Щ)2 + г1. (3.33)

Переменная ф(Ь, х) в уравнении КПЗ (3.33) имеет смысл высоты локального профиля растущей границы относительно среднего уровня, и - коэффициента по-верхностного натяжения границы фаз. Рост границы раздела происходит за счет осаждения случайным образом движущихся частиц на растущую границу раздела. Скорости и координаты частиц некоррелированы, поэтому приближение дельта-коррелированной как по пространственному, так и по временному аргументу случайной силы является для задачи о росте границы раздела достаточно обоснованной

ШФ')) = D05d+1(x - х'), (ф)) = 0. . (3.34)

Тем не менее, в некоторых работах, например [40], используется случайная сила, учитывающая конечный радиус корреляции; сама схема вычислений при этом существенно не меняется.

Для итерационного решения уравнения КПЗ (3.33) удобно использовать преобразование Фурье. Подставляя

(гтг)^1

в (3.32) получим формальное решение (3.35)

т = Go(k)

где

т-ІІ^ЛЬ-чЖяЖк-д)

G0(k) = 1

-гк0 + ик2'

Уравнение (3.35) решается рекурсивно, в каждом порядке теории возмущений по А, путем усреднения по парным корреляторам случайной силы

(№)№)) = DfaWb + b),

68

Рис. 3.1: Диаграммная техника для итерационного решения уравнения Кардара- Паризи-Занга

вычисляются вклады соответствующего порядка в функцию отклика и корреляционную функцию. Первые нетривиальные вклады теории возмущений для функции отклика G^fc), парной корреляционной функции случайной силы D2(A;) и потенциала взаимодействия V для уравнения КПЗ показаны на рис. 3.1. Каждой вершине на диаграмме отвечает множитель — кі — fc2)kik2 , каждой ли

нии со стрелкой - функция отклика Go(k), а каждой линии с кружком - эф-фективный парный коррелятор поля ф в нулевом порядке теории возмущений - Go (к) DQ (к) Go (- к).

Аналитическое выражение для однопетлевого вклада в функцию отклика приведено ниже

ед = GS(fc) J • (k - q)\Go(q)\2Do(q)Go(k - q)(-k • q). (3.36)

Множитель 4 перед соответствующей диаграммой, возникающий вследствии четырех возможных способов усреднения по парным корреляторам случайной си-лы, сокращается с двумя вершинными факторами А/2. Интеграл (3.36), очевидно, расходится при больших значениях импульса q.

При описании систем в флуктурирующей среде обычно представляет интерес исследование их крупномасштабного и долговременного поведения. Это означает, что определенную информацию можно получить исследуя асимптотику функций отклика и корреляционных функций при малых импульсах. В стоха-стических задачах исследование длинноволновой асимптотики удобно проводить введя максимальный импульс А, называемый также импульсом обрезания, и по-следовательно интегрируя по сферическим оболочкам в импульсном пространстве, учитывая на каждом шаге лишь влияние более высокочастотных мод на менее высокочастотные. Такой метод вычислений лежит в основе динамической ренормализационной группы [111, 61].

69 Однопетлевой вклад в функцию отклика (3.36), после симметризации по петлевым импульсам q —» q + к/2, принимает вид

(?(fc) = Go(fc) + G20(fc)A2/0A^roo(q2-Ґ)(q-k + Ґ)x

X G0(l-q)\G0(l-q)\2D0(l + q).

Этот интеграл легко вычисляется в d измерениях путем перехода к сферическим координатам, k- q = kq cos в. В главном порядке по малому параметру x = k/q- рассматривается длинноволновое приближение - асимптотика функции отклика в однопетлевом приближении имеет вид [40]

G( 0, k) = Go (0, к) + Gq(0, к)^А;2 jf* %'-y2A)(g)d~28+/l(g), (3.38)

где Kd = Sd/(2n)d, Sd - площадь единичной сферы в fi(q) = Точно

таким же образом вычисляется и однопетлевой вклад в парную корреляционную функцию D(k) [40]:

D{k) = D0{k)

+ Ґ/(^r[(f+q)-(!-q)J2|^o(| + q)|2|Go(|-q)|2x (3.39) x D0(l + q)D0(l-q).

Заметим, что в однопетлевом приближении О (А2) вклад в вершинную функцию Г отсутствует.

К расходящемуся при больших q интегралу (3.38) обычно применяют какой- либо метод регуляризации. В простейшем случае динамической ренормализационной группы [111] выполняется интегрирование по тонкой сферической оболочке в импульсном пространстве e~lA < |q| < Л с последующим масштабированием координат и полей

х' = Є~1х, і! = e~zlt, ф' = е~х1ф.

Изменение масштаба координат в импульсном пространстве должно компенсировать потерянные при интегрировании по большим импульсам степени свободы.

Для дельта-коррелированной случайной силы с D(q) = DQ = const, после интегрирования по сферической оболочке e~lA < |q| < Л, система уравнений,

70 определяющая зависимость от масштаба имеет вид [98]: du 1І

2 -d

= v

z- 2 + KdX

8 d z-d-2X + Kd\2-

(3.40)

™ = D dl

dF

— = X[x + z — 2], где Л2 = \2Do/v3 - эффективная безразмерная константа связи, значение которой управляет динамикой роста границы фаз.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений:

  1. Глава 6 Стохастические интегралы. Стохастические уравнения.
  2. §7. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.
  3. 3.3 Многомасштабная стохастическая динамика 3.3.1 Уравнение Ланжевена
  4. 17) Метод Фурье решения начально-краевых задач для однородного волнового уравнения (уравнение теплопроводности) с однородными краевыми условиями.
  5. 4. Проекционные методыОбширный класс методов приближенного решения уравнений вида Аи = / использует следующий ПОДХОД: решение ищется В виде UN = = где коэффициенты а, определяются из условия равенства
  6. 6.5. Примеры решений показательных уравнений
  7. 6.6. Примеры решений логарифмических уравнений
  8. Решение дифференциальных уравнений.
  9. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
  10. 6.7. Решение систем показательных и логарифмических уравнений
  11. Решение произвольных систем линейных уравнений.