3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами

Имея ввиду возможность предельного перехода случайной силы к белому шуму при суммировании вкладов всех масштабных компонент и используя рассмотренную ранее масштабно-зависимую силу (3.28), выберем случайную силу в виде

<7/(аіЛЖа2, h)) = Сф{2^)ш5м{кх + - a2)D(a2, k2),

(ii(a,k)) = 0; (3.47)

множитель ai5(ai — a2) соответствует Ь1-нормировке вейвлет-преобразования.

При усреднении по гауссовой случайной силе (3.47) линейный по А член в уравнении (3.46) вклада не даст: (rj) = 0. Первый нетривиальный вклад - одно- петлевое приближение - имеет порядок О (А2). Подстановка нулевого приближения

й^(а,к) = G0(k)fj(a,k)

в правую часть уравнения (3.46) и усреднение по случайной силе (3.47) проводится точно таким же образом, как и при обычном итерационном решении, использующем преобразование Фурье, см. рис. 3.1. Техническое отличие состоит лишь в том, что на каждой диаграммной линии теперь появляется множитель ¦ф(ак), а каждое интегрирование по импульсам теперь сопровождается интегрированием по соответствующему масштабу:

[ dd+% [ dd+1kj dat

J {2ir)d+l J (2ir)d+1 a; ' { }

73

а2

Рис. 3.2: Однопетлевой вклад в функцию отклика для уравнения КПЗ

Однако коррелятор случайной силы г] теперь может зависеть от масштабов обеих входящих линий {fj(ai,ki)fj(a2,k2)) = D(ai,fci,02,^2).

Рассмотрим однопетлевой вклад в функцию отклика G, следующий из уравнения (3.46). Учитывая, что

r)(a, к) = i/j(ak)rj(k), й(а, к) = ij)(ak)u(k),

мы можем рассматривать полную функцию отклика G(k) как функцию отклика для фурье-компонент

й{к) = G(k)rj(k) = (G0{k) + А 2ед + 0(Х4))т](к).

(Это возможно лишь тогда, когда вершина взаимодействия - в нашем случае |(Vu)2 - не зависит от масштаба а.) В однопетлевом приближении получим

/

rfd+lи

Ji-JiAMkxC k - k1)|Co(A;1)|2kk1Go(A: - h) + 0( А4).

(3.49)

Величина

Д(*0 = С;1 J ^|^(ak)|2D(a,k) (3.50)

возникает вследствие конкретного выбора корреляционной функции случайной силы. Использованный коррелятор силы (3.47) содержит множитель J(ai — аг), оставляющий лишь одинаковые масштабы на обеих линиях входящих в коррелятор силы, см. рис. 3.2. Таким образом величина А(к) имеет смысл эффективной корреляционной функции случайной СИЛЫ TJ.

Аналогичным образом, для парной корреляционной функции C(ai, кі, аг, кг) = Рис. 3.3: Однопетлевой вклад в парную корреляционную для уравнения КПЗ

(й(аі,кі)й(а2,к2)), подставляя в качестве и его итерационное выражение

х ki(k - к1)ц(аь кх)й(а2, к - к{) ^y+i ^ ^ (3'51)

и используя в правой части нулевое приближение U = GQT], получим

Л2

C(auki,a2,k2) = G0{ki)(rj{au ki)fj(a2, k2))G0{k2) + — G0(fci)Go(fc2) x ^(aiki)^(a2k2) f dd+1k3 da3da5 ~ . ~

x ц J щг+I--^(a3k3)0(a5(k1 - ВД) X

x (кз(кі-кз)С?о(А:зЖаз, h)G0{ki - k3)fj(a5, Ь-кзЩа^) x x ^(аб(к2—k4))k4(k2—k4)Go(A;4)7)(a4,A;4)Go(fc2—^4)77(06, fcj)).

Учитывая два возможных варианта усреднения по случайной силе (две топологически эквивалентные диаграммы), после подстановки коррелятора (3.47) и ин-тегрирования по внутренним линиям, см. рис. 3.3, получим однопетлевой вклад в парный коррелятор

C(ai,ki,a2,k2) = C0(ai,ki,a2,k2) + X2C2(ai,ki,a2,k2) + 0(А4),

где

СгК^Л) = Sd+\h+k2)^ |С0(А:і)|2^(а1к1)^(-а2к1) (3.52)

Х / ^Ж^о(А;з)|2|Со(А;1-Ы|2[кз(к1-кз)]2Д(А;з)Д^1-Ы

Для не зависящего от масштаба коррелятора силы, после интегрирования (3.50), выражения (3.49,3.52) сводятся к известному результату[98].

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами:

  1. 3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе
  2. Осознание масштабных реальностей в парадигме регресса
  3. Масштабный аспект: социально-пространственный и временной континуумы
  4. 3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой
  5. Структурные компоненты профессионального психологического мышления Интеллектуальные компоненты профессионального психологического мышления
  6. Метод главных компонент
  7. 2.5 Метод главных компонент.
  8. РЕЛЯЦИОННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
  9. СЛОЖЕНИЯ СО СВЯЗАННЫМИ ОПОРНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
  10. 2.1.2. Компоненты лексического значения
  11. СЛОЖЕНИЯ СО СВЯЗАННЫМИ ОПОРНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
  12. А.              Репрезентируемый компонент
  13. Лекция 19. Компоненты микроэлектроники
  14. § 41. Положение осложняющего компонента в высказывании