3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам

Диссипация энергии на единицу массы, обусловленная кинематической вязкостью, определяется из уравнений Навье-Стокса

= —V J u(x)Au{x)ddx=v J ddx{Vu)2.

Подставляя вейвлет-разложение поля скорости (3.67) в это выражение, получим

/

_, , , \ /, % /, sda\ddh\ da2ddb2 ,„ „_х

П(йі,а2,Ьі - Ь2)и01(&1)иаа(йй) , (3.99)

fli а2

где

2

> -

- связность вейвлет-коэффициентов для оператора Лапласа, отвечающего вязкой диссипации.

В символическом виде, вклад флуктуаций поля скорости масштаба щ в среднюю диссипацию энергии на единицу массы может быть записан как

Є = f иаі(хі)иа.{х^^%, (3.100)

ij J

где Vij - кинематическая вязкость между масштабами а,{ и Oj. Ввиду хорошей локализации анализирующей функции ф как в реальном пространстве, так и в пространстве волновых векторов, "вейвлет-анализатор" тем сильнее реагирует на взаимодействие различных масштабных компонент, чем ближе их масштабы. В

94 таком приближении, взаимодействие компонент с сильно различающимися масштабами |log(ai/a2)| 1 можно не учитывать. Отметим, что для ортогональных вейвлетов Добеши, используемых в численном моделировании гидродинамической турбулентности, коэффициенты связности для оператора Лапласа были вычислены в [103].

Для качественного исследования зависимости коэффициентов связности от отношения масштабов взаимодействующих масштабных компонент (аі/аг)» рассмотрим семейство вейвлетов, являющихся производными гауссиана (3.95), ранее использованных при аналитических исследованиях уравнения Навье-Стокса в работах [104, 105]. Для этих вейвлетов коэффициент связности (3.100) можно легко вычислить аналитически: . (3.101)

Г2(п) v ; dan+: ad/2 ij-ru2

Основной вклад в вязкую диссипацию энергии дают компоненты с совпадающими или близкими координатными аргументами х = by —b2 ~ 0. В этом пределе (для простоты выписаны выражения для одномерного случая d=l) имеем следующее асимптотическое поведение коэффициентов связности:

Вводя отношение t = изучим поведение вязкой связности П в зависимости от отношения масштабов I:

/ \ 2n+1

График зависимости fi„(ai,O2,0) от отношения масштабов t = длЯ ТрЄХ ПЄр_ вых вейвлетов семейства (3.95) (п = 1,2,3) представлен на рис. 3.6. Как видно из графика, независимо от номера вейвлета (п), вязкая диссипация максимальна при совпадении масштабов (t « 1). По этой причине, в случае использования для разложения поля скорости дискретного вейвлет-преобразования вместо непрерывного, достаточно оставить два главных члена в диссипации энергии -

95

Рис. 3.6: График функции aa^/+ta) (їщ) 2 для гауссовых вейвлетов с ті = 1,2,3, определяющей зависимость вязкой диссипации от отношения масштабов.

член, с взаимодействием равных масштабов, и следующий за ним член с взаимо-действием соседних (отличающихся на единицу) масштабов:

* ~ ~4< J <1хф{(х)Аф1(х) - 2u[-\l j йхфІ~1(х)АфІ1(х) + .... (3.102)

Первый член - это обычная вязкая диссипация, второй представляет собой аналог Крейчнановского взаимодействия близких масштабов.

Перенос энергии между соседними масштабами также может быть рассмотрен путем вейвлет-преобразования нелинейного члена (uV)u в уравнениях Навье- Стокса.

По аналогии с каскадной передачей энергии по вейвлетам [228], ограни-чимся дискретным вейвлет-преобразованием с бинарным шагом по масштабу, а0= І;

и(х) = ?иІФІ(х) + Error term, ф{(х) = . (3.103)

Без ограничения общности, можно положить шаг дискретизации по пространственной координате равным единице, Ьо = 1. Применяя вейвлет-преобразование

96 к описанию гидродинамической турбулентности, мы не имеем никаких априорных аргументов в пользу выбора ортогональных вейвлетов фі, как это делается, например, при численном решении уравнения Навье-Стокса с использованием вейвлетов [146, 150]. В нашем подходе, вполне достаточно потребовать, чтобы система базисных функций г{Рк образовывала фрейм, т.е. V/ Є L2(R), ЗЛ > 0, В < оо, так что

^11/112<ЕКМ)12<5|1/112- jfc

В случае если А = В, фрейм называется жестким фреймом.

Предполагая что базисные функции образуют фрейм, и рассматривая гидродинамику несжимаемой жидкости, перепишем систему уравнений Навье- Стокса в виде

+- + (3.104)

Мы используем греческие буквы для координатных индексов и опускаем выделение векторных полей жирным шрифтом, там, где это не приводит к неоднозначности. Суммирование по повторяющимся индексам также подразумевается. Таким образом, компонентные поля являются функциями лишь от времени ul° = иІа(О» и мы имеем дело с типичным случаем каскадной модели.

Выведем теперь соотношения для передачи энергии между j-й и, следующей за ней, более мелкомасштабной компонентой. Определим энергию пуль

саций j-го масштаба следующим образом

Щ = \ Km = f ddxii(x)il(x). (3.105)

afc J

Мы подразумеваем единичную нормировку базисных функций f ddx\ip(x)\2 = 1. Вклад нелинейного члена уравнения Навье-Стокса в изменение энергии пульсаций j-го масштаба со временем составит

Щ = -Ш?и1?4а j ^хф1(хШх)Щр.. (3.106)

Для ортогональных вейвлетов, наиболее часто применяемых при численном решении уравнения Навье-Стокса [146], в изменение энергии дадут вклад только члены с совпадающими масштабами г = I = j в правой части уравнения (3.106). Поток энергии от пульсаций j-го масштаба к следующему (j+l)-My масштабу

97

пропорционален |iiJ|3/(бооо)» как и следует из феноменологической теории Колмогорова [214]. В более общем случае не ортогональных базисных функций, дает вклад следующий член в правой части уравнения (3.106), который пропорционален iiJ+1uJ+1uJ. Этот член можно интерпретировать как материальную производную и>Щи>+1)2 от средней энергии мелкомасштабных флуктуаций ^^ , переносимых по течению крупномасштабными флуктуациями иК

Переносные члены аналогичные (3.106) рассматривались Меневю [116] при разложении уравнения Навье-Стокса по ортогональным вейвлетам. Они могут быть получены непосредственно из компонентных уравнений путем умножения (3.80) на йаі(к) с последующим интегрированием. В (а, к) представлении это приводит к следующему выражению для перекачки энергии между масштабами

t(a,k) = {?) I(3-107) приведенному в работе [116].

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам:

  1. 3.2.2 Распределение энергии по масштабам
  2. 1.2.1 Масштаби топографічних карт. Числовий, лінійний масштаби. Величини масштабу. Визначення відстаней на карті з використанням лінійного і числового масштабів
  3. §3.11. ПЕРЕДАЧА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
  4. ПРОИЗВОДСТВО, ПЕРЕДАЧА, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
  5. 2.6 Трехфазный ток. Генерация, передача, распределение и потребление электрической энергии
  6. Отдача от масштаба [эффект масштаба] (долгосрочный период)
  7. 1.2.2 Поперечний масштаб. Визначення відстаней із використанням поперечного масштабу
  8. § 5.6. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ -Плотность энергии излучения
  9. §5.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
  10. Глава 6. Механизм перевода энергии космических эфирных вихрей в энергию живого организма
  11. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы. Интеграл энергии
  12. § 1. Энергия, энергетика и право I. Энергия
  13. §1.18. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ