7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование 7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp

В предыдущих параграфах мы рассматривали триангуляцию компактного мно-гообразия, двумерной сферы, как способ локализации точек физического пространства с помощью самоподобной системы окрестностей. Привлечение же р- адической геометрии к такому разбиению позволяет надеяться на возможность построения теории поля с самого начала не содержащей УФ расходимостей за счет использования меры, отличной от евклидовой. Ключевым моментом в этом построении является факт самоподобия. Следовательно, возникает вопрос об общей структуре вейвлет преобразования на сфере.

На сколько нам известно, существует только два способа определить непрерывное вейвлет преобразование на компактном многообразии. Первая возможность связана с периодизацией собственных частот на окружности [86]. Обобщая эту процедуру до S2, S3 и сфер высших размерностей, мы получаем вложения базиса вейвлет разложения в некоторый (ортогональный) базис в евклидовом пространстве, обычно связанный с тригонометрическими функциями. Так, вместо двумерной сферы S2 с координатами (в, ф), часто рассматривается каноническое отображение (U,p), задаваемое в полярных координатах произведением двух единичных интервалов [49]:

Такой подход локально обеспечивает самосогласованную интерполяцию функций определенных на сфере, но не позволяет воспроизвести топологические свойства сферы. Другой подход, который, возможно, является более предпочтительным для физических моделей на компактных многообразиях, используемых в физике

160

высоких энергий, включает трансляции сферы Sn ( т.е. вращения) и модуляции в касательном расслоении [169].

Чтобы прояснить ситуацию, напомним, что базисная система вейвлетов, по отношению к которой выполняется разложение, состоит из масштабированных и сдвинутых копий одной и той же функции - материнского вейвлета. Чтобы одновременно иметь и 27г-периодичность и трансляционную инвариантность, в качестве базисного вейвлета обычно выбирается система тригонометрических функций. Так, в пространстве двух измерений

f(x + 2тг, у) = f(x, у); f(x, у + 2тг) = /(х, у).

Такой базис соответствует топологии двумерного тора Т2 = R2/Z2, но никак не сферы: сферу невозможно покрыть прямоугольной решеткой. (По этой причине на сфере невозможно глобально определить преобразование Фурье.)

Таким образом, существуют два способа решить проблему построения непрерывного вейвлет-преобразования на сфере. Первый способ заключается в исполь-зовании сплайнов (см., например , [49] и ссылки там же), и таким образом свести проблему к некоторой задаче в прямоугольной постановке, неизбежно теряя при этом информацию о свойствах анализируемой функции, принадлежащей пространству L?(Sn). Второй способ построения, направленный на одновременное получение информации как о трансляционных, так и о масштабных свойствах анализируемой функции, заключается во введении на сфере оконного преобразования Фурье, см. (1.1), т.е. разложение по трансляциям на сфере (вращениям) в присутствии модулирующей функции. Трансляции на сфере Sn задаются группой вращений 5'0(п+1), а модуляции задаются некоторым вектором q, при-надлежащим касательному расслоению SO(n + 1) х 1" [169]. Таким образом, в каждой точке сферы Sn локально определено преобразование Фурье, которое не чувствует глобальных топологических свойств сферы, но, благодаря векторному параметру q, задающему модуляцию, чувствительно к локальным свойствам анализируемых функций.

Локальное разложение Фурье на сфере есть, фактически, частный случай вейвлет-разложения, когда группа G представляет собой евклидову группу Е(п) = SO(n) х Rn, представление которой реализовано в виде локального разложения Фурье

[U(f, q)f](A) = ехр(гА • g)/(f_1A), (7.26)

где г 6 SO(n); q Є К™-1.

Для получения коэффициентов вейвлет-разложения на касательном расслоении сферы S11"1 берется плоское сечение представления

161 (7.26); например, в двух измерениях имеем представление на касательном расслоении сферы S2

W)(?,g) = Jехр(гА(а,р) • g)V5(A(a,/5))/(r1A(a,/3)) smadad(3, (7.27)

где an (3- углы Эйлера. Как видно, ни один из двух представленных выше подходов не позволяет обеспечить сохранение информации о топологических свойства сферы одновременно с учетом свойств анализируемой функции по отношению к масштабным преобразованиям. Следовательно, необходимы новые методы построения вейвлет-преобразования на сфере, не использующие касательное расслоение.

В работе автора [8] было предложено использовать описанное в параграфе 7.4.2 разбиение сферы - или, более точно, р-адической сферы - для построения вейвлет-преобразования. Основная идея этого построения состоит в обобщении непрерывного вейвлет-преобразования (1.12), являющегося разложением по представлениям аффинной группы (1.6), на р-адическую аффинную группу

Gp : х' = ах + b, a,x,be Qp, а ф 0. (7.28)

Групповой закон композиции для группы аффинных преобразований (7.28) имеет тот же вид, что и для обычной аффинной группы, действующей над полем вещественных чисел

(а, Ъ) о (а', Ь') = (аа', аЬ' + Ъ). (7.29)

Поскольку в поле Qp определена мера Хаара (7.10) и определено интегрирование, с нормировкой на единицу в кольце р-адических целых fZp dx = 1, то на аффинной группе (7.28) существует, единственная с точностью до нормировки, левоинвариантная мера Хаара

. dadb „лЧ

d/iL(a,6) = —. (7.30

Hp

В левоинвариантности легко убедиться непосредственной подстановкой закона композиции (7.29) в (7.30):

, , , ,, \a\pda'\a\pdtf da'dti

іН{а.а,аЬ+Ь)= ^ =

Таким образом, мы имеем возможность построить аналог непрерывного вейвлет- преобразования (1.12,1.13) в пространстве функций р-адического аргумента.

162

Естественным образом определив скалярное произведение комплекснознач- ных функций на Qp

что задает Ь2-норму ||/||2 = {/,/), мы получаем непосредственное обобщение непрерывного вейвлет-преобразования (1.12,1.13) на случай квадратично интегрируемых функций над Qp:

Определяя вейвлет-преобразование над Qp, здесь мы следуем работе [17] (а не работе [8], где был впервые построен р-адические аналог непрерывного вейвлет- преобразования), не вводя в нормировки множитель - это потребовало бы квадратичного расширения поля Qp. Возможно также, что из физических соображений связанных с геометрической интерпретацией р-адических координат на компактном многообразии, см. параграф 7.4.2, более удобно было бы ограничить область интегрирования в выражениях (7.31,7.32) кольцом р-адических целых чисел Zp. Константа нормировки Сф определяется таким же выражением (1.3), как и для обычного вейвлет-преобразования, но левоинвариантной мерой \a\~2dadb определенной на р-адической аффинной группе.

Заметим, что в некотором смысле аналогичное построение было выполнено С. Козыревым в работе [216]. А именно, был построен р-адический аналог комплекснозначного вейвлета Морле. Это построение было произведено с использованием аддитивной группы характеров (7.12) поля Qp, используемой в р-адическом преобразовании Фурье. Вейвлеты Козырева имеют следующий вид (7.33)
¦PI
Ф) = Х(Р-1*)П(ЫР). ZEQ, где П(-) - характеристическая функция единичного интервала в R. Вейвлеты (7.33) являются собственными функциями псевдодифференциального оператора Владимирова [227]:

(7.34) где dy - мера Хаара на Qp.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование 7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp:

  1. 7.6.2 р-адическое вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара
  2. 3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике 3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности
  3. Глава 1.Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании
  4. 3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования
  5. 1.4 Спектральная форма вейвлет-преобразования
  6. 4.3.1 Вейвлет-преобразование изображения
  7. 1.1 Об истории вейвлет-преобразования
  8. 4.1 Дискретное вейвлет-преобразование
  9. 3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций
  10. 8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков