7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в мате-матической физике

В физических экспериментах мы никогда непосредственно не имеем дело с вещественными числами, т.е. с бесконечными десятичными дробями. Результаты любых физических действий, производимых при измерении, всегда выражаются лишь рациональными числами.

Расширение поля рациональных чисел Q до поля вещественных чисел R происходит лишь тогда, когда мы строим математическую модель исследуемого явления посредством аппарата дифференциальных уравнений.

С аналитической точки зрения расширение поля рациональных чисел до поля вещественных чисел связано с понятием нормы, соответствующим геометрическому понятию расстояния. Наиболее общие свойства нормы, т.е. функции |гг|, следующие.

Определение 1 Неотрицательная функция \ • определенная на некотором

142 кольце Q, называется нормой, если

|х| > 0, причем )а;| = О «-> х = О

\ху\ = \х\\у\

\х + у\<\х\ + \у\ для любых х,у Є Q.

Наиболее известной функцией, используемой в качестве нормы является абсо-лютное значение | • | - поле вещественных чисел определено именно как замыкание поля рациональных чисел по этой норме: Q —> R. Этим, однако, не исчерпываются все возможности. Согласно теореме Островского [139], с точностью до эквивалентности, существует ровно две возможности расширения поля рациональных чисел, по обычной норме | • | и по р-адической норме | • |р:

(7.1)

р-Адическая норма | • |р определена следующим образом. Пусть р ф 1 - простое число. Любое вещественное число х Є Q, отличное от нуля, может быть однозначно представлено в виде

* = ~Р\ (7.2)

п

где т, и п - целые числа не делящиеся на р Ф 1; 7 - целое число. Представление (7.2) позволяет определить в поле Q норму m „

-Р1 п

\х\р =

=V, |0|/='0, (7.3)

р

отличную от стандартной нормы | • |. Алгебраическое замыкание поля Q относительно нормы ) • |р есть поле р-адических чисел Qp.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в мате-матической физике:

  1. 1.5.1 Построение доверительного интервала для мате-матического ожидания, если дисперсия а заранее известна. Таблица стандартного нормального распределения.
  2. Понятие Нормы. Норма и Вариант. Стилистическое варьирование и колебание нормы. Причины нарушения нормы литературного языка
  3. § 2. Кризисъ физики въ концЄ XIX вЄка: физика энергетическая.
  4. 2. Социальные нормы как одно из средств социального регулирования. Понятие и признаки социальных норм. Виды социальных норм: нормы морали, обычаи, корпоративные и религиозные нормы, юридические нормы (позитивного права).
  5. § 4. Втором архимедова форма метода исчерпывания2'.
  6. § 3. Первая архимедова форма метода исчерпывания.
  7.   2.1. Философские проблемы физики 2.1.1. Место физики в системе наук  
  8. 7.5 О возможной связи неархимедовой геометрии с анизотропией реликтового излучения 7.5.1 Фрактальная геометрия распределения массы во Все-ленной
  9. 2. СТРУКТУРА ЮРИДИЧЕСКОЙ НОРМЫ. СООТНОШЕНИЕ НОРМЫ ПРАВА И СТАТЬИ НОР-МАТИВНОГО АКТА
  10. Структура правовой нормы. Соотношение нормы права и статьи нормативного акт
  11. СОЦИАЛЬНЫЕ НОРМЫ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ТЕХНИЧЕСКИЕ НОРМЫ
  12. Между физикой и метафизикой Between physics and metaphysics
  13. Физика и математика
  14. Изучение физики в школе