2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики

В квантовой механике эволюция вектора состояния во времени определяется из уравнения Шредингера (2.30). Точное решение уравнения Шредингера возможно лишь для очень простых систем, рассматриваемых в классических курсах квантовой механики, см.

например [218]. В случае систем с бесконечным числом степеней свободы, прямое построение функции Грина (2.36) невозможно - вместо этого используют различные пертурбативные и численные методы.

Под квантовой теорией поля (КТП), в общем случае, понимают описание квантовых систем с бесконечными числом степеней свободы. Первоначально, КТП возникла как попытка квантового описания электромагнитного поля - квантовая электродинамика (КЭД). Классическое электромагнитное поле пред-ставляет собой систему с бесконечным - а вернее сказать, зависящим от точки, т.е. континуальным, - числом степеней свободы. Динамика электромагнитного поля описывается уравнениями Максвелла, имеющими волновые решения, а гамильтониан и лагранжиан электромагнитного поля могут быть представлены в виде интеграла от пространственной плотности энергии (функции Лагранжа, соответственно). Поэтому, уравнения Максвелла, определяющие динамику электромагнитного поля, могут быть получены минимизацией интеграла от плотности функции Лагранжа по пространственной области и временному интервалу, на котором рассматривается эволюция.

(2.37)

При этом, для получения релятивистски инвариантной теории, необходимо чтобы лагранжиан С(ф, дцф) был инвариантен относительно преобразований Лоренца. Кроме того, как выяснилось сначала в КЭД, а затем и при описании других физических полей, лагранжиан должен быть инвариантен относительно групп симметрии, связанных с внутренними степенями свободы, ответственными за данное взаимодействие - т.е. быть инвариантным относительно калибровочных преобразований.

Основываясь на этих достаточно общих принципах и используя разложение экспоненты ехр (j^M) в ряд, были построены пертурбативные разложения для вычисления матричных элементов перехода в КЭД, КХД и других полевых мо-

39

В общем виде, функционал действия поля, определенного в некоторой пространственно временной области D, записывается как интеграл делях. Однако, обобщение квантово-механического интеграла по траекториям

на случай континуального лагранжиана L = f dxЈ(ф и разложении экспоненты в ряд, порядок действия полевых операторов ф(х) и ф(х'), отвечающих различным точкам х^х' пространственно-временного континуума Мі, не безразличен, а должен быть согласован с принципом причинности так, чтобы будущее зависело от прошлого, но не наоборот.

Удовлетворение этих требований привело к появлению объектов весьма сингулярной природы, существующих в пространстве обобщенных функций определенных в пространстве Минковского R3.

Наличие мнимого множителя в экспоненте не позволяет рассматривать "меру" Фейнмана еъ^иф как вероятностную меру, определяющую вклад конкретной траектории в вероятность перехода начальной полевой конфигурации ф(0, х Є R3) в конечную ф(Ь,х Є R3). Существует, однако, простой прием, позволяющий перейти от корректно не определенной "меры" Фейнмана к корректно определенной мере Винера. Ведя комплексное время т = х4 = id, получим так называемую евклидову теорию поля, интегрирование в которой проводится по четырехмерному пространству с координатами (id, х\,х2,х2), которое формально имеет структуру евклидова пространства R4.

Производящий функционал евклидовой теории поля

(2.38) имеет положительно определенную меру. Евклидово действие Se[4>] получается из действия обычной теории, определенной в пространстве Минковского, путем перехода к евклидовым координатам. Скажем, для простейшей модели свободного нейтрального скалярного поля, описываемого в пространстве Минковского действием

переход к евклидовым координатам приводит к евклидову действию

(2.39)

Бе[ф]=\ L d*xE ({дтф)2+[Вф)2+т2ф^

40 РОССИЙСКАЯ ¦¦

г. * ГОСУДАРСТВЕННАЯ

В общем случае, когда лагранжиан системы имеет вид I БИБЛИОТЕКА р?

i=E где первый член представляет собой кинетическую энергию системы, а второй - потенциальную, переход к евклидовым координатам влечет за собой изменение знака лишь кинетического члена, оставляя потенциальный член без изменения. Это означает, что лагранжиану обычной теории L = К — U, будет соответствовать гамильтониан —H = —K — U в евклидовой теории. Каждая полевая конфигурация Ф(хе) будет давать вклад пропорциональный е~и^Т>ф, что в точности соответствует каноническому ансамблю в классической статистической механике [210].

В обычной теории поля с производящим функционалом

W[J) = J е*3[Ф]+1І*ї 3***Ъф (2.40)

матричные элементы составных операторов вычисляются путем взятия соответствующих вариационных производных от производящего функционала (2.40): (2.41)

j=о

in5J(x\). ,.8J(xn) Такая же производная от евклидова функционала (2.38) представляет собой п-й статистический момент случайной функции ф(хЄRd, •), вычисляемый для канонического ансамбля - постоянная Планка h играет при этом роль температуры кТ.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики:

  1. 2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа
  2. 7.4 р-адическая квантовая теория поля 7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля
  3. Теория относительности, квантовая механика и начало атомного века
  4. Глава 2.Случайные процессы и квантовая теория поля
  5. §4.1. СИСТЕМЫ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
  6. 13. Квантовая механика
  7. 2.3 Квантовая механика
  8. Копенгагенская интерпретация квантовой механики.
  9.   2.1.3. Квантовая механика и объективность научного знания  
  10. 14. Этапы развития квантовой механики
  11. ОТ МЕХАНИКИ ГАЛИЛЕЯ ДО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
  12. Дальнейшее обобщение нерелятивистской квантовой механики.
  13. Диалектика и квантовая механика Dialectics and quantum mechanics
  14. ГЛАВА 5. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (НКМ)
  15. Элементы квантовой механики
  16. От падения камня до расширяющейся Вселеннойи квантовой механики
  17. Механика.Задачи и предмет механики.