5.2 Квантовое измерение

Состояние элементарного квантового объекта может быть представлено вектором состояния в гильбертовом пространстве состояний:

і і 118 Измерение, проведенное над квантовой системой находящейся в состоянии \ф), с вероятностью |с;|2 приводит к коллапсу вектора состояния к одному из чистых состояний | фі).

Это так называемая фон Неймановская редукция волновой функции.

Физически, процесс измерения осуществляется с помощью измерительного прибора - системы, эволюция которой также подчиняется законам квантовой механики. Таким образом, для того чтобы получить информацию о состоянии квантовой системы, или изменить это состояние заранее предопределенным образом, необходимо воздействие на комбинированную систему S + B, где "В" означает буфер, или измерительный прибор. Под измерением понимается такое взаимо-действие между системой S и прибором В, при котором квантовое состояние В меняется в соответствии с состоянием S, т.е. происходит запись информации о состоянии системы S в состояние системы В.

Пусть система S изначально находится в состоянии

\Ф) = сі\фі) + СІІФІ), (5.1)

и пусть начальное состояние прибора описывается вектором |Фо). Пусть отклик прибора на начальные состояния системы определяется следующими правилами перехода

фх : Фо-^Фі

ф2 : Ф0 -* Фа,

тогда процесс измерения представляет собой квантовый переход

Ф = (сМ + с2|0і))|Фо) - Ф' = сгіфг)^) + с2|&)|Ф2). (5.2)

Конечное состояние |Ф'} комбинированной системы S+B представляет собой пе-репутанное состояние, т.е. оно не может быть представлено в виде произведения чистого состояния системы на чистое состояние прибора.

Состояние составной системы S+B описывается теперь матрицей плотности PSD, а не вектором состояния:

Ps = TrB(pSB)• (5.3)

Взяв след матрицы плотности pse = п0 состояниям измерительного при

бора В, получим:

Ps = \сі\2\фі)(фі\ + |с2|2|02)<&| + (Фі|Ф2)с2с;|<ШіІ + (^ФіМФіШ (5.4)

119

Как видно из выражения (5.4), редукция квантовой суперпозиции состояний в смесь состояний имеет место лишь в том случае, если различные состояния измерительного прибора В взаимно ортогональны: (Ф2ІФ1) = 0.

Состояние составной системы S + В также может быть некоторым образом измерено с помощью измерительного прибора Bi, и т.д.. Цепочка измерений заканчивается тогда, когда состояние последнего, макроскопического, прибора Вдг измеряется классическим, а не квантовым образом. Обычно, все измерительные приборы, буферы и другие вспомогательные устройства, взаимодействующие с квантовой системой, в совокупности понимаются как окружение системы.

Если мы измеряем состояние единичной квантовой системы, результат из-мерения зависит как от состояния системы до измерения, так и от состояния окружения.

Волновая функция составной системы содержит произведения всевозможных чистых состояний системы на состояния окружения

= \Ф№). (5-5)

ij

Здесь {!;)}. - ПОЛНЫЙ набор векторов СОСТОЯНИЯ системы, (|0i)}. - полный набор векторов состояния окружения, т.е. того что остается от Вселенной после исключения из нее исследуемой системы. В этом случае (5.5) дает наиболее общее выражение для волновой функции "системы 8 окружения".

Дія широкого круга задач необходимо знать только состояния системы и их эволюцию со временем. В этом случае, при проведении измерений над системой можно считать, что волновая функция системы представляет собой линейную комбинацию различных состояний системы с весами, зависящими от окружения. Это означает, что операторы физических наблюдаемых связанных с исследуемой системой должны действовать лишь на вектора \ф):

А\фі)Щ = (А\фі))Щ. Среднее значение наблюдаемой А при этом определяется выражением

(А) = ШФ) = = Тг(рА), (5.6)

где

РІ'І =

о

- матрица плотности. (Вектора состояния окружения предполагаются ортого-нальными (0i\9j) = 5ij.)

120 Матрица плотности річ является эрмитовой, и обычно представляется в диагональной форме

Собственные значения матрицы плотности представляют собой вероятности найти систему в соответствующем г-м состоянии: Trp = Yhi^i — 1. Таким образом, для каждой из подсистем, вместо наличия волновой функции "которая полностью определяет состояние этой подсистемы", мы имеем вероятностное описание микросистемы в терминах матрицы плотности р, полученной путем усреднения по состояниям окружения, называемого макро-системой.

Слова микросистема и макросистема здесь и далее используются для обозначения части и целого, а не для различения квантового и классического. Мы имеем ввиду иерархическую организацию материи: любой физический объект можно охарактеризовать цепочкой окрестностей, или сущностей, которые включают данный объект. Так, кварк находится внутри нуклона, нуклон является частью ядра, ядро является частью атома - и так вплоть до масштаба галактик и всей Вселенной. Слова микросистема и макросистема используются для частичного упорядочения этой цепочки окрестностей. Если система А является частью системы В, то А называется микросистемой по отношению к системе В, а В называется макросистемой по отношению к А. Формальные свойства такого частичного упорядочения были недавно рассмотрены в работе [46].

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 5.2 Квантовое измерение:

  1. Квантовая Вселенная и квантовый мозг. По следам античного принципа единства микрокосма и макрокосма
  2. 13. Квантовая механика
  3. 2.3 Квантовая механика
  4. Измерения. Погрешности измерений
  5. Конструирование эталона измерения - шкалы Поиск эталона измерения
  6. 5.1 Иерархические системы и квантовая инфор-мация
  7. Копенгагенская интерпретация квантовой механики.
  8. Философия квантовой теории
  9. 2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа
  10.   2.1.3. Квантовая механика и объективность научного знания  
  11. 7.5.2 Дискретные симметрии и квантовая гравитация
  12. Квантовая модель атома
  13. 14. Этапы развития квантовой механики