2.2 Случайные процессы и СДУ

Некоторые понятия теории вероятности Кратко напомним основные понятия, связанные с теорией случайных процессов. Вероятностное пространство - это тройка (fl,U, ц), где Г2 - множество, Ы - заданная сг-алгебра подмножеств множества 17, а /І - мера на ГІ, нормированная на единицу /х(Гі) = 1.

Случайная величина -это измеримое отображение вероятностного пространства (Q.,U,/і) в измеримое пространство (X, X) или, другими словами, измеримая функция на Q. Случайный процесс - это семейство случайных величин, зависящих от некоторого параметра t, принимающего значение на произвольном множестве, обычно называемым индексным множеством; другими словами, случайный процесс есть отображение индексного множества в пространство измеримых функций на О. В физических приложениях индекс t часто имеет смысл времени и принимает значения на вещественной оси R. В обозначениях случайного процесса индексный параметр часто указывается в виде индекса у случайной величины 1

Распределение случайной величины определенной на Г2, это вероятностная мера на вещественной оси R, которая на борелевских множествах В Є R принимает значения равные мере их прообразов в П:

Л*(В) = КГ'т = є пш є в}. (2.1)

Траекторией (выборочной реализацией) случайного процесса Јt(u>) называют - уже не случайную - функцию Јt(o>o), где щ Є SI - фиксированное событие.

Условной вероятностью события А, при условии, что событие В произошло, называют величину

= А,Вєи,ц(В)ї 0. (2.2)

Математическим ожиданием величины А, зависящей от случайной величины называют значение интеграла

(А)с= f \nt{d\)= f Х(ш)ц(<Ь)= f Xdy. = ЕА, (2.3)

Jr Jn J

если интеграл существует. При этом дифференциал вероятностной меры принято также называть плотностью вероятности. Нижний индекс у угловых скобок мы используем для обозначения усреднения по реализациям случайной величины

или случайного процесса. Аналогично (2.3) определяются и другие моменты случайной величины:

(АП)? = J X dpi, n > 0.

Наиболее важным из них является дисперсия

DA = У"(А-ЕА)2^. (2.4)

Фурье-образ вероятностной меры

Ф(г) = [ e^(d\) = (е*\ (2.5)

J R

называют характеристическим функционалом (ХФ) случайной величины f. Любой момент случайной величины может быть получен путем дифференцирования характеристического функционала: <А"> - шт

(2.6)

1=0 Вероятность попадания случайной величины ? в полубесконечный интервал -оо < f < z может быть формально представлена в виде интеграла

P(z) = Г 6{z - = (Ф - (2.7)

J-оо

а плотность вероятности p(z) = P'(z), соответственно, определяется производной от выражения (2.7):

/

оо

Ф - = <Ф - 0>с. (2-8)

•оо

Величину — ?) принято называть индикаторной функцией случайной величины Если рассматривается не случайная величина, а случайный процесс, то индикаторной функцией принято называть величину

Совместная плотность вероятности для набора значений Zj(tj) определяется интегралом от произведения индикаторных функций:

С п

p(zi(ti),...,zn(tn))= / = (2.10)

31

Если а < ti < ... < tn < Ь представляет собой разбиение временного интервала [а, 6), то в непрерывном пределе

max (f j+1 — ti) —> 0, n —» oo

0выражение (2.10) определяет плотность вероятности траекторий случайного процесса. Бесконечное произведение мер в каждый из моментов времени

принято называть мерой функционального интегрирования, а сам интеграл - функциональным х.

В терминах функционального интеграла, путем взятия бесконечного произведения, обобщаются понятия индикаторной функции (2.9) и характеристического функционала (2.5). В последнем случае мы получаем функционал, зависящий от функционального аргумента, по которому производится функциональное дифференцирование

(2.11) Используя (2.11), можно определить гауссовы случайные процессы, как процессы, ХФ которых имеет вид

B(tta) = (tm*)h№) = 0

(2.12) Одним из наиболее важных в физических приложениях случайных процессов является винеровский случайный процесс, представляющий собой математическую идеализацию броуновского движения микрочастиц, когда приращения координаты частицы в различные моменты времени никак не связаны между собой. Процесс называют винеровским (u>t(-) - по имени Винера), если:

1. Для любых t0_, независимы.

2. Случайная величина ut — us>s/ \ 1 (»«-»«)' p(Wt - Ш,) = . . е - s)

3. Траектории ut непрерывны.

Второе из свойств винеровского процесса означает, что среднеквадратичное смещение винеровской частицы пропорционально Vcft, а не dt, как это имеет место для дифференцируемых процессов, описывающих эволюцию классических динамических систем.

В этой связи отметим, что понятие непрерывности, используемое в дифференциальной геометрии, непосредственно не переносится на случайные процессы, приращение которых пропорционально не первой, а другой степени приращения аргумента. Непрерывность случайного процесса должна быть определена в терминах вероятностной меры. Различают несколько типов непрерывности:

случайный процесс непрерывен в среднем квадратичном, если

ШпЕК,-б|2 = 0;

5—*t

случайный процесс непрерывен по вероятности, если Vf, Ve > О

limP[|&-6|>Ј] = 0;

s—Н

случайный процесс непрерывен по почти наверное, если Ш

Р( {Уии = би}) = 1.

Классическая механика В классической механике траектория динамической системы может быть определена путем интегрирования уравнений движения, если известны все обобщенные координаты q и скорости q в начальный момент времени t = to. Траектория q = q(t), являющаяся решением уравнений движения, реализует минимум функционала действия

S[q}= Г L(q,q, t)dt, (2.13)

Jti

33 где L(q, q, t) - функция Лагранжа. Варьирование действия (Щ = 0) приводит к лагранжевой форме уравнений движения

d dL dL „

лаГаТ0" (2Д4)

Решение уравнений Лагранжа (2.14) q = q(t), с начальными условиями q(Q) = qo,q(0) = VQ, определяет непрерывную и дифференцируемую траекторию, на которой функционал действия (2.13) минимален.

Если, в силу сложности физической задачи, не существует явного способа построить функцию Лагранжа для исследуемой динамической системы, используют различные ad hoc приемы и записывают уравнения движения в виде

q = f(q,q,t). (2.15)

Если функция Лагранжа, или, соответственно, обобщенная сила f(q, q, t), не зависит явно от времени, а зависит лишь от координат и скоростей самой системы, динамическая система называется автономной.

В практически важном случае замкнутых систем, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени f, эволюцию динамической системы удобно описывать в терминах гамильтоновых переменных - обобщенных координат q и импульсов р. Переход к гамильтонову описанию осуществляется с помощью преобразования Лежандра

H{q,p,t) = Y,Viі

В новых переменных эволюция динамической системы определяется уравнениями Гамильтона

дн • дН

= Рі = ~~дїі (2Л7) с начальными условиями q(to) = qa,p(to) = Ро, и представляет собой движение точки в 2п фазовом пространстве с координатами (quPi),i = 1,...,п, где п - размерность системы.

Эволюция произвольной наблюдаемой, зависящей от точки фазового пространства Bt(q,p) — B(q(t),p(t)) определяется оператором Лиувилля Dh-

= (,18>

Уравнение Лиувилля (2.18) допускает формальное решение

Bt(q,p)=(e^D»B)(q,p). (2.19)

34

В отличие от динамических систем общего вида (2.15), эволюция гамильто- новых систем (2.17), сохраняет объем в фазовом пространстве д^ущі) = область фазового пространства XQ, произвольным образом выбранная в момент времени to, под действием оператора Лиувилля переходит за время t — to в область Xt, имеющую тот же самый фазовый объем - меру Лиувилля

М*о)=/ dfi= f d/i = /i(Aо), j xq J xt і

Если динамическая система в момент времени to находилась в области X фазового пространства, то вероятность ее попадания в область В в момент времени t есть

P{B,t\Xb,k) = n{BnXt) P(Xo,to) ц(Хо) ¦ }

Таким образом, классическое описание динамических систем, в частности га- мильтоновых систем, может быть сведено к описанию измеримых функций на фазовом пространстве, что является задачей функционального анализа.

Стохастические дифференциальные уравнения Реальные физические системы всегда взаимодействуют с внешним окружением, они, следовательно, не могут быть автономны, и их эволюция зависит от внешних степеней свободы, не относящихся к динамической системе. В простейшем, хотя и не столь часто встречающемся, случае зависимость от внешних степеней свободы может быть реализована в виде явной зависимости функции Лагранжа от времени. В более общем случае мы получим эволюционные уравнения, параметрически зависящие от внешних степеней свободы f, не относящихся к исследуемой динамической системе.

<7 = /(?,..., О- (2-22)

Поскольку эволюция внешних по отношению к системе степеней свободы в общем случае не известна, мы приходим к системе уравнений параметрически зависящих от случайных величин или процессов Решения построенных таким образом уравнений (2.22), следовательно, тоже будут случайны. Уравнения, содержащие зависимость от случайных процессов и параметров называют стоха-стическими дифференциальными уравнениями (СДУ).

Правая часть СДУ (2.22) может быть представлена в виде суммы регулярной части и члена, зависящего от случайного процесса. В простейшем случае мы имеем дело с мультипликативной зависимостью от случайного процесса

q = M+g{q)&- (2-23)

35 Произведя формальное интегрирование уравнения (2.23) по времени t, получим интегральное уравнение

q(t) = f f(q(s))ds + Г g(q(s))Јsds. (2.24)

Jto Jto

Смысл последнего члена в уравнении (2.24) требует дополнительного определения в виде стохастического интеграла Ито [95] или Стратоновича [165]. Подробное рассмотрение математических аспектов СДУ можно найти, например, в монографии [212].

Марковские процессы Большую роль в физических приложениях играют случайные процессы без памяти - марковские процессы, - т.е. процессы, текущее состояние которых целиком определяет их последующую эволюцию. Мате-матическое определение марковского процесса можно дать используя понятие "поведение случайного процесса в прошлом". Пусть & - состояние процесса f в текущий момент времени. Тогда, под историей процесса Јt мы будем понимать совокупность всех состояний процесса f до момента времени t. Марковским называют случайный процесс, эволюция которого, т.е. вероятность перехода из состояния в состояние ft, t > s, не зависит от поведения случайного процесса в прошлом, предшествующем моменту времени S.

Более формально, случайный процесс Є в},в Є [<о> С R называют марковским процессом, если при всех to Р(6 Є B\A[t0,s}) = Є (2.25)

где А [/о, s} есть наименьшее сг-поле, содержащее совокупность всех историй процесса т.е.

{А\А = Н&И Є В},т Є [«о, s], BeU}.

Независимость марковского процесса от предыдущей истории говорит о том, что переход марковского процесса из состояния Ха в состояние Yt,t > s может быть осуществлено в два этапа: (і) переход из состояния Х3 в промежуточное состояние Zt',t' > s, (ii) переход из промежуточного состояния Zt> в состояние Yt. Для условной вероятности P(B,t\X,s) = P(Xt Є В\Х3), называемой иначе вероятностью перехода, это утверждение формулируется в виде уравнения Колмогорова-Чепмена:

P(B,t\x,s)= \ P{B,t\z,t')P(dz,t'\x,s), (2.26)

jr

36

определяюшего вероятность перехода марковского процесса из начального состояния Х3 в область В Є U, как сумму вероятностей перехода через все возможные промежуточные состояния.

Стационарные процессы Случайная функция называется однородной (а в случае временного аргумента - стационарной), если все ее статистические характеристики инвариантны относительно сдвига на постоянный вектор

р(хх + а,... ,х„ + а) = р(хь... ,хп); (2.27)

здесь р - плотность вероятности. Корреляционные функции однородной случайной функции (соответственно - стационарного случайного процесса) зависят лишь от разности координат

(J(xl)f{x2)) = Bf{x1-x2).

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 2.2 Случайные процессы и СДУ:

  1. 1.2.3 Математическое описание случайных процессов Классификация случайных процессов
  2. Глава 3. Элементы общей теории случайных процессов. Точечные случайные процессы.
  3. §6 Точечные случайные процессы. Формула Ито для считающих процессов. Компенсаторы.
  4. Эргодические случайные процессы
  5. Нестационарные случайные процессы
  6. Стационарные случайные процессы
  7. 1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов
  8. §14 Случайные меры и мультивариантные точечные процессы.
  9. Теория массового обслуживания. Случайные процессы.
  10. 1.2.5 Приближенное описание случайных процессов
  11. 1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)
  12. §7 Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.
  13. Глава З.Многомасштабные случайные процессы
  14. Теория случайных процессов. Лекция, 2017
  15. Нормализация стационарных случайных процессов линейными динамическими системами