4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений

Рассмотрим итерационное решение уравнения Ланжевена (4.1) для конкретных моделей, возникающих в квантовой теории поля. Начнем с теории поля с кубическим самодействием в cf-мерном евклидовом пространстве. $3-Теория является наиболее простой квантовополевой моделью, вместе с тем, имеющей конкретные физические приложения, как в физике высоких энергий, так и в физике конденсированного состояния. Действие 3-модели имеет вид: ddx

(4.10)

= J Соответствующее уравнение Ланжевена для (d + 1)-мерной стохастической теории, как это следует из формулы стохастического квантования (4.1), запишется в виде

ЩїА-^-.^ф + ї.ф^ф^ (4.11)

где г] - гауссов белый шум (4.2):

(ф, т)ф', т')> = a26d(x - х'Щт - т').

106

Используя преобразование Фурье

ф{к,т) = J й*хеікхф{х,т)

и применяя к уравнению (4.11) описанную в 3.3 итерационную технику решения стохастических дифференциальных уравнений, приходим к уравнению

{дт + + т2)ф(к)Т) = J **0ф(р,т)ф(д,т)5(к -p-q). (4.12)

Решение уравнения (4.12) отличается от рассмотренного ранее итерационного решения уравнения КПЗ (3.35) лишь видом запаздывающей функции Грина и отсутствием импульса (к V) в вершине взаимодействия.

Запаздывающая функция Грина, являющаяся решением уравнения для свободных полей (Л = 0) в теории массивного скалярного поля (4.11), удовлетворяет уравнению

с граничным условием G(k, т < 0) = 0, и имеет вид

G(k,t) = e^k4m2)te(r). (4.13)

Это приводит к решению уравнения Ланжевена для свободных полей

/

оо

dsG(k, т - s)r)(k, s) + c е-{кЧт2)т,

оо

в котором константа интегрирования с определяется начальными условиями.

Дальнейшее итерационное решение уравнения Ланжевена (4.12) полностью аналогично рассмотренному ранее уравнению КПЗ (3.35) и может быть записано в интегральном виде

ф(к,т) = ? J ^ф(р,т)ф(д,т)5(к-р-д)]. (4.14)

В символической форме выражение для решения ф{к,т), получаемое в виде швингеровского ряда, будет таким:

107

Рис. 4.1: Стохастические диаграммы для теории ф3.

(Ф) = < + ...

Таким образом, диаграммная техника для стохастического квантования ев-клидовой полевой модели с действием SE[$\ идентична обычной диаграммной технике Фейнмана для той же модели, за тем исключением, что каждой диа-грамме исходной теории соответствует сумма целой серии стохастических диаграмм, отличающихся друг от друга усреднениями по парным корреляторам шума, вставленным в различные линии исходной не-стохастической диаграммы.

Естественно, что в пределе термодинамического равновесия т —> 0, сумма серии стохастических диаграмм должна давать тот же вклад, что и соответствующая диаграмма в обычной теории.

В нулевом порядке теории возмущений, для парного коррелятора стохасти-

108

ческих полей (первая диаграмма в разложении (фф) на рис. 4.1) имеем: Со{Кт,т') = (ф(к,т)ф(к,т%

= Г ds Ґ W)(r'-S') s)T]{k,} gl))

Jo Jo

/•min(r,r')

= [2n)d2a25d{k + k') / dse-(fe2+m2)(r+r'-2a)

Jo

= ff2(2ir)d5d{k + k/) г _1т_т,|(к2+т2) _ e_(T+r-)(fc2+m2)-|^ k2 + m2 '

При совпадающих "временах" (г = т') нулевой вклад в парную корреляционную функцию приобретает вид

С0(к, г, г') = a^)df(k + k') _ e_2T(fe2+^)] f (4Л5)

К -р ТП,

так что, в пределе термодинамического равновесия, т—>оо, имеем

lim (ф{к,т)ф{к,т)) = а 2

т-оо + ш

Для удобства перехода к термодинамическому пределу обычно все вычисления в стохастической теории возмущений выполняются в пространстве фурье-образов. В этом случае стохастическая функция Грина свободных полей имеет вид

ад(4-16>

Как мы знаем, стохастические процессы часто обладают самоподобием. Процедура перенормировки, используемая для устранения расходимостей в квантовой теории поля, также связана с самоподобием. Таким образом, представляется вполне естественным совместить процедуру стохастического квантования, направленную на устранение расходимостей, и вейвлет-разложение случайных процессов, тесно связанное со свойствами самоподобия. В следующих парагра-фах мы рассмотрим применение вейвлет преобразования к процедуре стохастического квантования Паризи и By [140], что обеспечивает стохастическую регуляризацию и не требует введения в теорию дополнительных вершин.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений:

  1. 4.1 О методе стохастического квантования
  2. 4.4 Многомасштабное стохастическое квантование
  3. Глава 4.Стохастическое квантование
  4. Глава 6 Стохастические интегралы. Стохастические уравнения.
  5. 7. Метод возмущений
  6. Адаптивное управление по возмущению
  7. § 3.8.3. Моделирование «возмущенных» климатических условий.
  8. §7. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.
  9. 3.3 Многомасштабная стохастическая динамика 3.3.1 Уравнение Ланжевена
  10. 3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой