Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале .

Доказательство.

Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство .

Тогда данный ряд можно записать так:

В силу сделанного замечания можно записать ряд

, который образует геометрическую прогрессию со знаменателем . Если , то , и прогрессия сходится. Если больший ряд сходится, то будет сходиться и данный ряд. Теорема доказана.

Следствие. Если степенной ряд расходится при значении , то ряд расходится при всяком значении , большем по абсолютной величине , .

Из теоремы Абеля и следствия из этой теоремы вытекает следующее предположение. Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , , ряд абсолютно сходится, а для значений , , ряд расходится.

Что касается значений или , то здесь возможны ситуации, когда ряд сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной.

Определение. Число такое, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится, называется радиусом сходимости ряда, а интервал называется интервалом сходимости.

Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке


Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке


-R cx. R x

расх 0 расх

В граничных точках поведение ряда требует дополнительного исследования.

Можно указать правило для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

<< | >>
Источник: Числовые ряды.Лекция. 2017

Еще по теме Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.:

  1. 5.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
  2. § 58, Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда
  3. § 59. Достаточные условия сходимости ряда с неотрицательными членами
  4. 3.Абсолютная и условная сходимость ряда.
  5. Теоремы Абеля.
  6. Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
  7. 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
  8. 7. Степенные ряды. Теорема Адамара
  9. 3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
  10. 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
  11. 2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
  12. Лекция 5 Теорема Коши для многосвязных областей
  13. Теорема 13 Бог в высшей степени правдив и никоим образом не может быть обманщиком.
  14. Основная теорема Коши для односвязаной области
  15. Вычисление радиуса сходимости.
  16. Абсолютная и условная сходимость рядов.
  17. ВОЙТЕНКО АНАСТАСИЯ ФИЛИМОНОВНА. ЛЕКСИЧЕСКИЕ РАЗЛИЧИЯ НА ТЕРРИТОРИИ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ(ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКАЯ, ЛЕКСИКОЛОГИЧЕСКАЯ И ЛИНГВОГЕОГРАФИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА). Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора филологических наук. Москва, 1997, 1997