Свойства равномерно сходящегося ряда.

1. Сумма равномерно сходящегося ряда в некоторой области , составленного из непрерывных функций, является функцией непрерывной в этой области.

2. Такой ряд можно почленно дифференцировать

.

3. Ряд можно почленно интегрировать

.

Для того чтобы определить является ли функциональный ряд равномерно сходящимся, надо воспользоваться достаточным признаком сходимости Вейерштрасса.

Определение. Функциональный ряд называется мажорируемым в некоторой области изменения , если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами, что для всех из этой области выполняются неравенства .

Признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда).

Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Другими словами, если функции в некоторой области не превосходят по абсолютной величине соответствующих положительных чисел и если числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Пример. Доказать равномерную сходимость функционального ряда .

Решение. . Заменим общий член этого ряда общим членом числового ряда, но превосходящего каждый член ряда по абсолютной величине. Для этого надо определить , при котором общий член ряда будет максимальным.

.

.

Тогда .

Полученный числовой ряд сходится, значит, функциональный ряд сходится равномерно согласно признаку Вейерштрасса.

Пример. Найдите сумму ряда .

Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии

Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно

Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной:

.

Вычислим производные:

тогда

<< | >>
Источник: Числовые ряды.Лекция. 2017

Еще по теме Свойства равномерно сходящегося ряда.:

  1. Свойства равномерно сходящихся рядов.
  2. 23. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций
  3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
  4. § 58, Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда
  5. 6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]
  6. 4.4. Равномерное распределение.
  7. Билет №10 Равномерное распределение
  8. Равномерная непрерывность
  9. Равномерное распределение.
  10. § 1.4. РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
  11. РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
  12. 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
  13. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РАВНОМЕРНОСТИ И СИНХРОННОСТИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
  14. §1.26. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ
  15. 3.Абсолютная и условная сходимость ряда.
  16. § 1.5. КООРДИНАТЫ И ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬПРИ РАВНОМЕРНОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
  17. Однородность и неоднородность членов ряда
  18. Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
  19. ВЫДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ В СОСТАВЕ РЯДА
  20. Алгоритм оптимизации ряда изделий с размерным параметром.