Теоремы сравнения положительных рядов.

Пусть даны два положительных ряда:

и .

Теорема 1. Если выполняется неравенство: , начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.

Доказательство:

Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что

Для частичных сумм этих рядов выполняется

Пусть ряд сходится, тогда и тем более значит ряд - сходится.

Пусть расходится, тогда , значит и ряд расходится.

Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов , , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды

1) сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда , так как , исследуемый ряд расходится.

2) Ряд сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда есть , постоянное число.

3) Сравним этот ряд с рядом , который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно, сходится.

Так как исследуемый ряд сходится.

4) Ряд сравним с рядом , который является расходящимся рядом. с учетом того, что .

Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:

1.

2.

3.

4.

<< | >>
Источник: Числовые ряды.Лекция. 2017

Еще по теме Теоремы сравнения положительных рядов.:

  1. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
  2. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Признак Даламбера.
  3. Теорема 15 Заблуждение не есть нечто положительное.
  4. Теорема 33. Идеи называются ложными не вследствие чего-либо положительного, в них находящегося.
  5. 2.Ряд (А) называется положительным, если все члены его ряда положительны.
  6. Теорема 1. Ничто из того, что заключает в себе ложная идея положительного, не уничтожается наличностью истинного, поскольку оно истинно.
  7. 2.1.4. Сравнение темпов роста доходов СЭО в сравнении с темпами роста средней заработной платы населения и инфляции.
  8. Свойства рядов.
  9. 7.2. Признаки сходимости рядов
  10. Свойства степенных рядов.