2.1.5.Совершенные нормальные формы

,

где дизъюнкция берется по всем наборам с=(с1, с2, …, сn) из 0 и 1, для которых F(c)=1.

Теорема (о СДНФ). Для всякой не равной тождественному нулю формулы логики высказываний F(x1, x2, …, xn) существует такая формула F1, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СДНФ относительно этого списка, что F1 выражает собой формулу F. Формула F1 определена однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Определение. Совершенной конъюнктивной формулой формулы алгебры высказываний (СКНФ) называется КНФ, в которой: различны все члены конъюнкции; различны все члены каждой дизъюнкции; ни одна дизъюнкция не содержит переменную вместе с отрицанием этой переменной; каждая дизъюнкция содержит все переменные, входящие в исходную формулу, т. е. имеет вид

,

где конъюнкция берется по всем наборам с=(с1, с2, …, сn) из 0 и 1, для которых F(c)=0.

Теорема (о СКНФ). Для всякой не равной тождественной единице формулы логики высказываний F(x1, x2, …, xn) существует такая формула F1, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СКНФ относительно этого списка, что F1 выражает собой формулу F. Формула F1 определена однозначно с точностью до перестановки конъюнктивных членов.

Опишем два способа приведения к совершенным нормальным формам.

1-й способ – аналитический.

Приведение к СДНФ. Алгоритм приведения. привести формулу с помощью равносильных преобразований к ДНФ.

Полученная формула и является СДНФ данной формулы.

Пример 27.

Привести следующие формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

1. .

2.

3.

Приведение к СКНФ. Алгоритм приведения. привести формулу с помощью равносильных преобразований к КНФ. удалить члены конъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если такие окажутся); из одинаковых членов конъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного; из одинаковых членов каждой дизъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного; если в какой-нибудь дизъюнкции не содержится переменной xi из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой дизъюнкции член и применить закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции; если в полученной конъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием из п.

Полученная формула и является СКНФ данной формулы.

Пример 28.

Привести следующие формулы к СКНФ с помощью равносильных преобразований:

1. ;

2. .

Решение.

1.

2.

2-й способ – табличный.

Составляем таблицу истинности для данной функции.

Приведение к СДНФ. Алгоритм приведения.

Строим таблицу значений формулы. Рассматриваем только те строки, в которых значение формулы равно единице. Каждой такой строке соответствует конъюнкция всех аргументов (без повторений). Причем, аргумент, принимающий значение 0, входит в нее с отрицанием, значение 1 – без отрицания. Наконец, образуем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций.

Пример 29.

Построить СДНФ для данных формул логики высказываний.

1. .

2.

Решение.

1. .

Строим таблицу истинности (табл. 13) для формулы F:

Таблица 13

№	x	y	z
0	0	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
2	0	1	0	0	0	0
3	0	1	1	0	1	0
4	1	0	0	1	1	1
5	1	0	1	1	1	1
6	1	1	0	0	0	0
7	1	1	1	0	1	1

Рассматриваем только 4, 5 и 7 наборы, так как только на этих наборах формула принимает значение равное единице.

СДНФ имеет вид:

2. 2.

Строим таблицу истинности (табл. 14) для формулы F:

Таблица 14

СДНФ (1): № 3:

F = x y.

Приведение к СКНФ. Алгоритм приведения.

Рассматриваем только те строки таблицы, где формула принимает значение 0. Каждой такой строке соответствует дизъюнкция всех переменных (без повторений). Причем аргумент, принимающий значение 0, берется без отрицания, значение 1 – с отрицанием. Наконец, образуют конъюнкцию полученных дизъюнкций.

Пример 30.

Построить СКНФ для данных формул логики высказываний.

1. .

2.

Решение. Строим таблицу значений, используя предыдущий пример (табл. 15).

Таблица 15

№	x	y	z
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

Рассматриваем только наборы, на которых формула принимает значение ноль.

СКНФ (0): № 0, 1, 2, 3, 6:

Строим таблицу значений, используя предыдущий пример (табл. 16).

Таблица 16

СКНФ (0): № 0, 1, 2: