2.4. МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛАГОВ
Модель распределенных лагов используется для построения регрессии между временными рядами у^) и x(t). Особенность такой регрессии состоит в том, что зависимая переменная у(t) учитывает не только текущие значения независимой переменной x(t), но и ее предшествующие значения:
у(t) = в + Y0 ¦ x(t) + Y1 ¦ x(t - 1) + ...
+ Yfc ¦ x(t - k) + e(t). (75)Модель (75) применяется в тех случаях, когда на значения переменной у(t) существенно влияют лаговые переменные x(t - 1), x(t - 2),..., x(t - к). Принято, что случайная составляющая e(t), входящая в (75), удовлетворяет предположениям, указанным в разделе 2,2, Коэффициенты в, Y0, Yb ...,Yfc являются параметрами модели и должны вычисляться по набору данных (56), Модель (75) позволяет прогнозировать значения у(t) на несколько шагов вперед на основе ранее полученных значений лаговых переменных. Пусть, например, по результатам обработки данных (56) установлено, что у(t) ~ в + Y2 ¦ x(t - 2)+ Y3 ¦ x(t- 3), и эта зависимость является значимой. Тогда при заданных x(t) = x2, x(t - 1) = x3 можно найти приближенное значение у(t + 2) и в + Y2X2 + Y3X3.
Работа с моделью (75) включает несколько этапов. Первый из них предполагает содержательный анализ данных, в том числе и графический. На этом этапе необ-
к
коэффициентов выбранной модели по набору данных (56), Третий этап предполагает интерпретацию полученных оценок коэффициентов модели. Пусть в модели (75) все найденные коэффициенты Y» имеют одинаковые знаки. Тогда модель (75) допускает четкую интерпретацию, состоящую в том, что переменная x(t) оказывает влияние на переменную у (t) и это влияние распространяется па определенный период времени. Здесь также используются такие понятия как средний и медианный лаг. Коэффициенты модели интерпретируются как мультипликаторы.
Если коэффициенты Y» будут иметь различные знаки, то возможно, что модель (75) или ее порядок выбраны неудачно либо взаимосвязь между у(t) и x(t) имеет достаточно сложный характер, который нужно дополнительно изучать.
Пример 6. Рассмотрим набор данных, который характеризует зависимость величины y(t) - объемов продаж компании за месяц от расходов на рекламу x(t) (млн руб.).
Эти данные представлены в следующей таблице. t x(t) y(t) t x(t) y(t) t x(t) y(t) 1 1.52 17.955 7 1.34 15.029 13 1.24 16.872 2 1.23 16.842 8 1.38 15.626 14 1.35 16.087 3 1.78 18.448 9 1.45 16.241 15 1.68 17.496 4 1.45 18.286 10 1.14 16.100 16 1.65 18.844 5 1.48 17.388 11 1.58 17.446 17 1.56 18.904 6 1.12 16.345 12 1.45 17.351 18 1.50 19.214 Графический анализ данных из этой таблицы показывает, что динамика переменных y(t) x(t) y(t) x(t)можно использовать линейную регрессионную зависимость. Зафиксируем порядок модели k = 3 и рассмотрим зависимость
y(t) = в + Y0 ¦ x(t) + Y1 ¦ x(t — 1) + 72 ¦ x(t — 2) + Y3 ¦ x(t — 3) + e(t). (76)
Введем новые переменные
y = y(t), x1 = x(t), x2 = x(t — 1), x3 = x(t — 2), x4 = x(t — 3), Є = e(t). (77)
Кроме того, зададим параметры:
60 = в, 61 = 70, 62 = 71, 63 = 72, 64 = 73. (78)
С учетом обозначений (77) и (78), зависимость (76) будет представлена в форме
y = 60 + 61 x1 + 62 x2 + 63 x3 + 64 x4 + Є. (79)
Оценка параметров (78), проверка всех предположений МНК и значимости зависимости (79) выполняются по формулам, которые аналогичны представленным в разделе 1,2,3, Выборки значений переменных (77) задаются из исходной таблицы с учетом
t=4
y1 = y(4) = 18.286, x11 = x(4) = 1.45, x21 = x(3) = 1.78,
x31 = x(2) = 1.23, x41 = x(1) = 1.52. Соответствующие оценки параметров модели (76) таковы:
Y0 = 4.68, Y = 3.72, Y2 = 2.52, Y3 = 1.08, в = —0.02.
Отсюда видно, что влияние лаговых переменных на y(t) уменьшается с ростом вели-
t— 1 t— 2
t— 3…………..