2.3. МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗИ ДВУХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Рассмотрим два временных ряда у (t) x(t) и будем изучать зависимость между ними. Особенность этой задачи состоит в том, что обе переменные являются слу-

tt

согласованной форме.

у (t) = b0 + b1 x(t) + e(t) (69)

могут привести к неверным результатам и выводам. Отсюда следует, что зависимость (69) или ее аналоги напрямую применять нельзя. Один из способов проверки наличия зависимости между у(t) и x(t) состоит в том, чтобы устранить влияние основной t

Будем считать, что y(t) и x(t) описываются трендовыми моделями (61), а именно:

y(t) = g1(t)+ ?1(t), (70)

x(t) = g2(t)+ ?2(t). (71)

Используя результаты раздела 2,2, найдем тренды g1(t) g2(t) и введем новые переменные (устранение трендов):

x1 = x(t) — g2(t), У = y(t) — g1(t). (72)

t

линейную зависимость

y = 60 + 61 x1 + Є. (73)

Для анализа зависимости (73), ее значимости или не значимости применяются ре-зультаты разделов 1,2,2 и 1,2,4,

В приложениях используются и другие подходы, позволяющие изучать зависимость между временными рядами y(t) и x(t). Например, в зависимости (69) явным образом учитывают время. При таком подходе вместо формулы (69) рассматривают ее обобщение

y(t) = 60 + 61 x(t) + 621 + e(t). (74)

t

Пример 5. Имеется набор данных, отражающих изменение во времени следую-щих переменных: y = y(t) - объем реализации предприятия оптовой торговли (у.е,), x = x(t) - размер торговой площади, t - время в кварталах. Требуется найти линейные тренды в динамике x(t) и y(t), установить или опровергнуть зависимость изменения объема реализации от размера торговой площади. Необходимые данные представлены в следующей таблице. t x(t) y(t) t x(t) y(t) t x(t) y(t) 1 127.2 15.12 7 143.2 17.66 13 158.2 20.27 2 129.0 16.62 8 144.3 18.40 14 159.3 23.33 3 131.2 17.16 9 145.6 19.97 15 159.6 21.67 4 134.8 17.63 10 148.7 21.35 16 163.6 23.05 5 136.6 18.14 11 150.4 20.16 17 164.9 23.90 6 138.6 16.92 12 154.7 21.04 18 169.4 23.85 Будем считать, что выполнены все предположения МНК относительно случайных составляющих Є1 (t), e2(t) и Є, входящих в соотношения (70), (71), (72), Уровень значи-

5%

образом. Предположим, что уравнения (70) и (71) содержат линейные тренды:

g1 (t) = а0 + а11, g2(t) = С0 + С11.

Вычисляя оценки параметров этих трендов, получаем, что a0 = 15.16, a1 = 0.49, с0 = 124.4, с1 = 2.46.

x15 y5

У5 = y(5) — g1(5) = 18.14 — (15.16 + 0.49 ¦ 5) = 0.53,

x15 = x(5) - g2(5) = 136.6 - (124.4 + 2.46 ¦ 5) = -0.1.

В итоге будут сформированы выборки

Х11, Х12, . . . ,Х118; у1, у2, . . . ,у18.

Используя эти выборки, исследуем зависимость (73) для наших вспомогательных переменных x1 и у. Проводя соответствующие вычисления, получаем, что оценки параметров в формуле (73) равны b0 = -0.032, b1 = -0.178, Для проверки значимости зависимости (73) по формуле (17) вычислим величину F, Она будет равна F = 0.781. Эту величину сравним с критическим значением Fa распределения Фишера с / = 1 и /2 = 16 степенями свободы на уровне значимости а = 0.05 (см, таблицу П1), Критическое значение равно F005 = 4.49, Поскольку выполнено неравенство F < F0.05, то зависимость (73) является не значимой. Поэтому считаем, что между переменными x1 и у пет линейной зависимости. Отсюда делаем вывод о том, что отсутствует линейная связь между объемом реализации у (t) и размером торговой площади x(t). Обе переменные растут относительно согласованно, но на у(t) влияют какие-то другие (не учтенные нами) факторы,