2.2. ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ

y(t)

y(t) = g(t)+ e(t), (61)

в которой g(t) - заданная функция, а переменная t принимает значения t1 < t2 < ... < tn. Функция g(t) называется трендом временного ряда, В приложениях часто используются функции вида:

а + 6t, а + 6t + ct2, ea+bt, atb, a + 6 lnt. (62)

Здесь a, 6, c - неизвестные параметры, которые должны быть найдены по набору данных (56), Говорят, что временной ряд имеет линейный тренд, если g(t) = a + 6t, Пример такого ряда приведен на рис, 4, Аналогично определяются квадратичный, экспоненциальный, степенной и логарифмический тренды.

Если вместо переменной y(t) рассматривать новую переменную y(t) — g(t), то такая операция называется устранением тренда.

Случайная составляющая e(t) предполагается такой, что

M(e(t)) = 0, D(e(t)) = a2 = const > 0, (63)

а случайные величины

e(t1),e(t2),...,e(tn) (64)

взаимно независимы и имеют нормальное распределение. Условия (63) и (64) соот-ветствуют основным предположениям МНК, Это дает возможность применить метод регрессионного анализа, описанного в первой части.

y(t)

t

Рис. 4. Реализации случайной функции y(t)

y(t)

0 T t

Рис. 5. Предсказание значений y(t): а)-исходные данные, Ь)-границы доверительных интервалов

В качестве примера рассмотрим модель с квадратичным трендом

у (t) = а + bt + ct2 + e(t), (65)

считая, что все предположения МНК выполнены. Введем новые параметры: b0 = а,

b1 = b, b2 = c, Определим новые переменные: у = у(t) x1 = t, x2 = t2, є = e(t). Зависимость (65) перепишем в форме

у = b0 + b1 Х1 + b2 X2 + є. (66)

Пусть в наборе данных (56) представлены значения

у(1) = 1.5, у(2) = 2.4, у(3) = 0.8, у(4) = 2.7, у(5) = 3.0 (67)

переменной у(t), заданной в моменты времени t = 1, 2, 3, 4, 5.

x11 = 1, x12 = 2, x13 = 3, x14 = 4, x15 = 5, (68 а)

X21 = 1, X22 = 4, X23 = 9, X24 = 16, Ж25 = 25, (68 b)

у1 = 1.5, у2 = 2.4, у3 = 0.8, у4 = 2.7, у5 = 3.0. (68 c)

Набор данных (68) представляет собой выборки значений переменных ж1; ж2, у, ко-торые используются далее в формулах раздела 1,2,3, Применение указанных формул позволяет оценить параметры b0, b1, b2 зависимости (64), а по ним - параметры тренда модели (65),

Пример 4- В приведенной ниже таблице представлены данные о почасовой ставке заработной платы у(t) (доллары США) в легкой и текстильной промышленности за

(t = 1, 2, . . . , 48) Месяц Год 1984 1985 1986 1987 Январь 5.50 5.73 5.82 5.94 Февраль 5.46 5.70 5.79 5.93 Март 5.48 5.73 5.80 5.93 Апрель 5.49 5.74 5.81 5.94 Май 5.48 5.69 5.78 5.89 Июнь 5.50 5.70 5.79 5.91 Июль 5.53 5.70 5.79 5.79 Август 5.55 5.69 5.83 5.83 Сентябрь 5.63 5.75 5.91 5.91 Октябрь 5.61 5.74 5.87 5.87 Ноябрь 5.61 5.75 5.87 5.87 Декабрь 5.68 5.80 5.90 5.90 Графический анализ данных этой таблицы показывает, что переменная у(t) имеет определенную тенденцию к возрастанию. Установим вид этой тенденции, опираясь на модель (61) и данные из таблицы за 1984-1986 годы (объем выборки n = 36), Из анализа данных всей таблицы прослеживается квадратичный тренд. Задавая g(t) = а + bt + ct2 и применяя указанный выше способ, получаем, что оценки параметров равны: а = 5.434, b = 0.019, с = -0.0002, Изучая остатки, находим, что величина d для критерия Дарбина-Уотсона равна d = 0.922, Для уровня значимости а = 5% и двух объясняющих переменных (к = 2) соответствующие статистики из таблицы ПЗ имеют значения dL = 1.35, d^ = 1.59. Поскольку выполнено неравенетво d < dL, то можно говорить о наличии положительной автокорреляции в остатках. Отсюда следует, что модель с квадратичным трендом требует доработки, в которой могут быть учтены определенные (скрытые) особенности рассматриваемых данных,