2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При проведении различных исследований приходится изучать объекты, характеристики которых изменяются во времени. Эти характеристики могут иметь определенные (детерминированные) тенденции, на которые накладываются случайные составляющие.

уСО = f (t, x(t)) + e(t), t = 0, 1, 2,..., T. (55)

Здесь переменная t означает время, выраженное в условных единицах (месяц, год и т.д.), у(t) задает наблюдаемую переменную, которая зависит от детерминированной составляющей x(t) и случайной составляющей e(t). Предполагается, что вид функции f (t, x(t)) известен, быть может, с точностью до входящих в нее параметров, а M(e(t)) = 0, В общем случае могут иметь место более сложные зависимости, описывающие изменение переменной у(t) во времени, В некоторых ситуациях форма зависимости вообще может быть неизвестной, и ее следует получить путем предварительного анализа результатов наблюдений (измерений).

Примем, что имеется набор данных

у(*1), У(t2), у^з),...,у(0, (56)

которые получены в результате наблюдения объекта V в моменты времени

t = t1 < t2 < t3 < ... < tn. (57)

Данные (56) являются исходной информацией, на основании которой можно решать различные задачи относительно переменной у (t). Основными из этих задач являются следующие:

установление наиболее простой зависимости, достаточно хорошо описывающей набор данных (56);

оценка параметров установленной зависимости, построение доверительных интервалов для них;

проведение расчетов с целью получения возможных значений переменной у(t) в заданный период времени t > T = tn.

Первые две задачи решаются в рамках анализа временных рядов, который опирается на определенный набор математических моделей, описывающих данные (56), Типичными представителями здесь являются трендовая модель, модель распределенных лагов, модель взаимосвязи двух рядов. Третья задача связана с предсказанием значений переменной у(t) при t > T, Сущность предсказания состоит в том, что для переменной у (t) указываются верхняя и нижняя границы ее возможных значений с заданным уровнем вероятности.

Особенность переменной у(t) состоит в том, что она является случайной функцией времени (в другой терминологии - случайным процессом). Это означает, что в

каждый фиксированный момент t = t* перемениая y(t*) представляет собой случай-ную величину с заданной функцией распределения

F*(x) = P{y(t*) < x}. (58)

Однако этим не исчерпывается описание y(t). Главная информация находится в

y(t) t1

t2,..., tfc, то есть в функции

F(x1, x2,..., xfc) = P{y(t1) < x1, y(t2) < x2,..., y(tk) < xfc}. (59)

Знание такой функции позволяет, например, предсказывать значения переменной y (tk) по известным значениям

y(t1),y(t2),...,y(tk-1), t1 Множество всех значений составной величины {y(t1), y(t2),... ,y(tk)} образует генеральную совокупность, соответствующую функции распределения (59), Каждая конкретная составная величина {y(t1), y(t2),... ,y(tk)} называется реализацией случайной функции y(t). В ходе изучения объекта V мы можем иметь дело с любой реализацией {y(t1), y(t2),..., y(tk)}, но фактически будем располагать только какой- то одной из них, а именно той, что представлена в наборе данных (56), Эта одна

y(t)

пых T < t < T1 (см, рис, 4, 5),