15.Постановка задач математической физики. Начальные и граничные условия. Понятие о корректности задачи.

Задача математической физики считается поставленной, если задано уравнение, описывающее данный физический процесс и даны граничные и начальные условия.

Граничные и начальные условия.

ДУ с частными производными имеют бесчисленное множество решений. Поэтому в этом случае, для однозначной характеристики процесса необходимо к ДУ присоединить некоторые дополнительные условия.

Рассмотрим сперва простейшую задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче u(x, t) дает отклонение струны от оси х. Если концы струны закреплены, то должны выполняться граничные условия.

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия.

φ(х) и ψ(y) – заданные функции точки.

Понятие о корректности задачи:

Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u). Задача называется корректной задачей, если выполнены следующие условия 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения); 2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи); 3) решение устойчиво.