8. Приложения к некоторым задачам математической физики
8.1. Метод возмущений для квазилинейной задачи нестационарной теплопроводности. Рассмотрим начально-краевую задачу для квазилинейного уравнения теплопроводности вида
C(7*)3j-div(Lgradr)=/M), /Є(0,Т), х € Q,
dt - (43)
" д п
= 0,
Y2
где Q С Rm (1 < m < 3) — ограниченная область с кусочно гладкой границей 5Q = Yi иуг, Т = T(t,X) — неизвестная функция температуры.
Коэффициенты теплопроводности L — L(t,x) и теплоемкости С(Г), а также функции /(/,*), TQ(X), T\(t) предполагаются вещественными и достаточнот —>
гладкими, х = (*!,... ,хт) Є й, п — единичный вектор внешней нормали к 5Q, Т < оо. ^В случае т — 1, когда й — отрезок с концами Yi и Y2,
роль Шц играет производная Зр.) д п ах '
Задачи вида (43) возникают при описании процесса распространения тепла в ограниченных областях (стержнях, пластинах и т. п.), нагреваемых за счет тепловых потоков на границах, при наличии также внутренних источников или стоков [32]. В ряде задач коэффициент теплопроводности L(T) задается как функция температуры. В этом случае с использованием подстановки Кирхгофа уравнение теплопроводности легко сводится к виду (43), где L = 1.
Получим сначала возмущенную задачу. Представим теплоемкость в виде
С{Т) = d(t)r(t),
где R(T) = 1 + РГ, Р Є R. Используя эту замену переменных, уравнение теплопроводности из (43) перепишем в виде
D(T)R(T) ^ ^ - div (L ^ grad/?) = /(,,*). (44)
Пусть N Є R — некоторая постоянная такая, что N/Р > 0, которую определим ниже. Полагая
и заменяя D(T)R{T)4T из (44) на (і/дг) + є\|/(Г), 0 < є < 1, из (43) и (44), приходим к возмущенной задаче
(^ + ey(7))^-^div(Lgradtf) =/(/,*), /Є(0,Т), х є Q,
Rll=0=/o(x) = l + pr0(x), Rly =/,(/) = 1 + P7U0, |f ]Y2=0,
или, в другой записи,
f - J div (Lgrad*) + e ( N С - l) f = ВД,^
4=0=/о(*). *|їі=/і(0, f?L=o.
1 an"
При є = 1 из (45) получаем исходную задачу (43), а задачу, получающуюся из (45) при 6 = 0, будем называть невозмущенной.
В предположении достаточной гладкости исходных данных невозмущенная задача имеет единственное решение Ro, удовлетворяющее задаче
^-$div(Lgradtf0)=N/M), /Є( 0,Т), xeQ,
" Р (46)
Э/?п
Y2 = 0.
Ч=о=/°(*)' Ло|уі = /і(0, Щ
дп
Вычитая (46) из (45), запишем задачу для разности R = R — RQ между решениями возмущенной и невозмущенной задач:
757 - тг div (Lgradfl) + EF(R + Ro) = 0, /Є(0,Т), ї?Й, ™ Р (47)
У2=0,
4=о=0.
4, = °' ff «'«-(HVH*Введем конкретные ограничения на функции L(t,x), С(Т). Пусть L(t, х) не зависит от т. е. L(t, х) = L(x) и
0 < Lo < L{x) < Ц < с», 0 < С0 < С(Т) < С{ < оо, (48)
где L„ Q = const, і = 1,2.
Чтобы записать задачу в операторной формулировке, введем в рассмотрение пространство Н = L2(Q) вещественных функций и(х), интегрируемых по Лебегу с квадратом на й, и пространство X = (м(х) Є W22(Q): m|yi = 0), где W22(Q) — пространство Соболева функций из L2{Q.), которые обладают интегрируемыми с квадратом первыми и вторыми обобщенными производными. Введем в рассмотрение также Y — L2(0, Т\Н), Y{ = = Z.2(0, Т; X) — пространства абстрактных функций v(i) со значениями в Н, X и пространства W = {v Є Yt: dv/dt Є Y}, W Введем обобщенную формулировку для возмущенной задачи (47) в виде: найти функцию R&Y такую, что ~dt. Здесь А — линейный оператор, действующий из К в К с областью определения D(A) = Y\ и определенный формулой? a F(R) — оператор, определенный равенством R где (Считаем, что функция С(Т) определена при почти всех Т Є (— и /о = 0.) Лемма 10 Оператор F ограничен из Y в Лемма 11. Оператор F в любой точке R ? Y имеет производную Гато F'(R), определенную соотношением Оператор F'(R) ограничен из Y в VKf, причем ,-fc, к = sup tA , N /Я-їх і /і N„ а постоянные Co,Сі определены в (48) Теорема 2 8. Пусть Ro Є Y — решение невозмущенной задачи (46) и выполнены ограничения (48) Тогда при 0 < Є < 1 /к, где (50) к — шах | возмущенная задача имеет единственное решение R ?Y в смысле (49) Если к тому же функция С(Т) аналитическая, то решение R задачи (47) представляется в виде ряда по степеням є оо R=^e,R„ R.&Y, (51) i=i сходящегося при є < 1 /к, где функции R, могут быть вычислены с помощью алгоритма возмущений Теорема 28 дает фактически обоснование метода возмущений в применении к задаче (47). шах Р і-?сі|)<і, теорема остается справедливой, если положить є = 1. Условие (52) может быть использовано для выбора постоянных N и Р, которые до сих пор считались произвольными. Если, например, положить <ь = ії/Р и = max(|l -Со?|, |1 -Сі?|), ?>0, то решением неравенства g(?) < 1 является 0 < ? < 2/С\. (53) Это означает, что, выбирая в качестве N/Р любое число из интервала (53), можно утверждать, что при є = 1 возмущенная задача (47) имеет единственное решение, представляющееся в виде сходящегося ряда, и для ее решения можно воспользоваться алгоритмом возмущений. Подставляя ряд (51) в (47) и приравнивая члены при одинаковых степенях є, получим систему уравнений для определения поправок Л,- 1)Г - Р ^(Lgrad/?,) = - ( - С (JL-) - 1) -л, Л,|г=0=0, Лі|уі = 0, Э/?1 Э п 1 Y2 dR2 N .. . -ч /Л^ /Ro -1\ лдЙі N .. dR0 "эГ ~ р (Lgrad/?2) = ~ (р с (—) -Ох-^л"' I dR I fcLo=0, Y1=0, г4 =0 1 д п 1 Y2 и т. д. Вычислив N поправок /?,, і = 1,..., N, можно найта приближение N-ro порядка к R по формуле N R(n) — RO + і=О при этом согласно теореме 28 ||Д - /?(/v)||y < сє"+1, с — const > 0. 8.2. Метод Галеркина для задач динамики атмосферных процессов. Пусть S — сфера радиуса г. Рассмотрим задачу для двумерного уравнения баротропной атмосферы на сфере в виде [23] где . . 1 / dv dw dv dw dfi dXJ Ф = Ф(/,Л, ц), fi= sin "ц/, (Л, \|/)Є5, 0 ^+у(-Д)'ф + У(Д-,ф,ф)=/. ' Є (0, Г), ф(0) = и, (54) /(Я, t, р) — внешний источник завихренности, и — и(Х, р) — функция начального условия. В рамках этой модели атмосфера рассматривается как слой несжи-маемой жидкости постоянной плотности, толщина которого мала по срав-нению с горизонтальным масштабом движения. В случае, когда s = 1, уравнение (54) получается из обычных уравнений Навье-Стокса на сфере. «Искусственная вязкость», когда s > 0, ис-пользуется часто для доказательства теорем существования и единствен-ности, а также при численном решении задачи. о Введем Я = Ьг (S) — гильбертово пространство вещественных функций, определенных на 5, интегрируемых с квадратом и ортогональных константе, с обычным скалярным произведением (•,•) и нормой || • || = = (•, -)1/2. Оператор Лапласа-Бельтрами будем рассматривать как оператор, действующий из Я в Я с областью определения D(A) = {и Є Я: Ди Є Є Я}. С помощью степеней оператора Лапласа можно ввести пространства о Соболева Яу(5), у Є R, со скалярным произведением и нормой: 1/2 (56) -.„,„.„ ... Л'і/ч ms) if(s) "v ' " где Aj — собственные значения оператора —А, отвечающие собственным функциям (J)J, и; = (и, со,). При этом D(A) =H2(S), Я =H°(S). Определим оператор А по формуле A ; (57) о . он действует в Я с областью определения D(A) =Н (S). Для у Є R введем пространства X* =Н2у\ Kv = L2(О, Т; Xу), и W = {ф Є Н+1/2. є Є у-1/2 j с нормами 2 ч 1/2 |Ь»1|2 ГУ-'/2 Лр \ '/2 dt 'ІГГ = ( ' J "0 Для ф Є IV? определим нелинейный оператор ?(ф) по формуле Известно, что если s > 1, у> 1 /(2s) или 0 < у < (г - l)/(2s) при j> 1, то оператор F действует из К'4"1/2 в у-і/2 с областью определения D(F) = = WY, он непрерывно дифференцируем по Фреше, причем -1/2 < СЗІІФІІИЛГ, Сз = const > 0. С учетом вышесказанного задачу (54) можно записать в операторной форме ^+Аф + ?(ф)=/, t Є (0,7), ф(0) = и. (58) Это абстрактное нелинейное эволюционное уравнение. записать и в виде Лф = /, выбрав в качестве Л оператор Лф = ^ + + Аф + ?(ф), действующий из К?4-1/2 в уч~1/2 с областью определения О(Л) = {ф Є W: ф(0) =«}. Как известно, при / Є К-1/2 = L2(0,T; H~s), s > 1, U Є °L2(S) существует единственное решение ф Є W° задачи (58). Рассмотрим метод Галеркина для решения задачи (54). В качестве базисных функций рассмотрим конечный набор собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами. Приближенное решение уравнения (58) будем искать в виде N <М') = (59> Введя оператор проектирования Рц по формуле N и применяя его к уравнению (58), находим Эфы , I + Ф/v, Ф/v) = УДф/у + Pn/- (60) Отсюда получается система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций (f>Nj(t) N ] = 1,...,/V. (f>Nj{0) = (и, (Hj). Существование решения системы (61) следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и априорных оценок. На основе разрешимости системы (61) устанавливается существование и единственность решения исходной задачи (54). 8.3. Метод Ньютона в задачах вариационного усвоения данных. В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений очень важной является проблема получения и рационального использования данных измерений с целью ретроспективного анализа в различных областях знаний. Математическая модель данной проблемы может быть сформулирована как задача об усвоении и обработке многомерных (включаю- щих зависимость от временной и пространственных переменных) данных, представляющая собой одну из задач оптимального управления. Пусть рассматривается некоторый физический процесс, математическая модель которого записывается в виде нелинейной эволюционной задачи ^ = F( т S(u) = \ ||и - «obsllx + \J IIСф - ФоЬ5||* dt, (63) о где а = const > 0, H0bs Є X, ф0ь8 Є Jobs — заданные функции (данные наблюдений), y0bs — подпространство Y, С: Y —> У0ь5 — линейныи оператор. Рассмотрим следующую задачу об усвоении данных с целью восстановления начального условия: найти миф такие, что ^ = ?(ф), г Є (О, Г), ф|,=0 = м, S(u) = inf S(v). Необходимое условие оптимальности сводит задачу (64) к системе г Є (О, Г), ф|,=0=м, (65) -^--(?'(ф)Гф* = -С*(Сф-фоЬ5), t?(0,T), ф*|(=7-= 0, (66) а("-"оь8)-ф*|,=0=0 (67) с неизвестными ф, ф*, и, где (F'((f>))* — оператор, сопряженный к производной Фреше от оператора F, а С* — сопряженный к С оператор. Предполагая, что решение задачи (65)-{67) существует, рассмотрим для его отыскания метод Ньютона. Систему (65)-(67) с тремя неизвестными ф, ф*, м можно рассматривать как операторное уравнение вида 7(U) = О, (68) где U = (ф, ф*, и). Для применения метода Ньютона необходимо вычислить J'(U). Будем предполагать, что исходный оператор F дважды непрерывно дифференцируем по Фреше. Тогда метод Ньютона t/«+i = и„ - [ГШГ^Ш, и„ = (ф,„ ф*, и,,) (69) заключается в выполнении следующих шагов. 1. Находим V„ = [f (U,,)]'1 Т(Un) как решение задачи J'{Un)Vn — = J{Un) при V„ = (у„, v|/*, v„) -ф - F'(9(I)v|/„ = ^(Фл). ?«|r=o = v„ + фи|(=0-«п, (70) - (?'(Ф„))Ж = р", <|(=г= Ф;|(=г, (71) av„ - i|/*|,=o = a (и„ - uobs) - Ф,* |(=0, (72) где p'[ = (Я'(ф„)\1/„)*Ф;, " C*Cy„ - $ ~ (/Г'(Ф»))*Ф,'І + С*(Сф„ - фоьз). 2. Полагаем ?/я+1 =U„- Vn, т. е. Фн+і = Ф„ - Vn, Ф*1+і = Ф,* - V,*,, "п+1 = "/і ~ v„. (73) Поскольку Un+1 = U„ - V,,, то два шага (70)-(72) можно переформулировать так: при заданных ф„,ф*,и„ найти ф„+і,ф*+1,и/|+і такие, что *ч - /г'(ф/|)ф'<+1 = ?(Фя) - ?'(Ф«)Ф«, Ф'1+i |г=о = "п+1, (74) а(мн+1 - Mobs) - 1 |»=о = 0, (76) ГДЄ р'{ = (/="'(ф„)(фн+1 - ф„))*ф* - С*(Сфн+і - фоЬз)- Зафиксируем точку фо Є Y, вещественное число R > 0 и рассмотрим шар SR(фо) = {ф Є Y: ||ф-фо|| < Л}- Будем предполагать, что исходная математическая модель удовлетворяет при всех ф Є 5д(фо) следующим условиям: решение задачи ^-?'(ф)і|/ = /, v|/|,=0 = v удовлетворяет неравенству LLVLL <С1 (11/11 + ||v||*), С\ = ci(R, фо) > 0; (77) для решения сопряженной задачи справедливо llv'll + Hv*|r=0IU < <Ч(||Р|| + ||s||x), ^ = сПЛ,фо)>0; (78) оператор F трижды непрерывно дифференцируем по Фреше, и Н^'ЧФМ! <С2, ||/=""(Ф)||<СЗ, С* = С*(Л,ФО)>0, к = 1,2. (79) Замечание 1. Для билинейного оператора F постоянная сг не зависит от R, фо и СЗ = 0. Будем искать решение задачи (65)-(67) в шаре Sr = {(ф, ф*, м): ||ф - фо|| + Цф'11 + ||м - moIU < mqGX, Г = min(cj', R). В условиях полного наблюдения (С = Е), справедлива Теорема 2 9. Пусть ио Є X, фо € К, R > 0, = 0 и В(с2 + сзг)г\ (80) 1 + - вц( где Эф0 -Г(фо) + ||фо|,=0-"о|к + ІІФО - ФоЬбіі + сс||"0 - "оЬбПаГ, В = шах(Р,, р2, Рз), Pi = a-1 (2cict + 2с\с\ + 4cfa2) + с, + 2сіс\, р2 = а-1 (с; +cic; + 2cic;2) + ct, Рз = а_1(1 +ci + 2с\с\). Тогда система (65)-(67) имеет в шаре Sr единственное решение ф, ф", и. Начиная с фо, фд, ио, метод Ньютона сходится к ф, ф*, и. Справедлива следующая оценка скорости сходимости: (Л/2 )2"-' Л = (81) НФ - ФЯІІ+нф* - Ф;,Н+м« - И/.ІІАГ < ял ¦ l-(h/2f где h = В2Т\ (с2 + с3г) < 2. Замечание 2. Условие (80) имеет место при достаточно малых Г|, что означает, что Фо, Фо, «о достаточно близко к точному решению.