з. Основные уравнения и задачи математической физики

3.1. Основные уравнения математической физики. Рассмотрим характерные физические процессы, описываемые различными математическими моделями, и дифференциальные уравнения в частных производных вместе с типичными граничными условиями, входящие в эти модели.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные.

Уравнение в частных производных от неизвестной функции и перемен-ных х\,...,хп называется уравнением N-го порядка, если оно содержит хотя бы одну производную порядка N и не содержит производных более высокого порядка, т. е. уравнение вида

/ ди ди Э2и Э2и дNu\

)=0. (20)

Уравнение (20) называется линейным, если А как функция переменных

рі -чЛ'

и, ) • • •, ^дг является линейной.

Важный класс уравнений в частных производных описывается линей-ным уравнением второго порядка, имеющим вид

Au=% atJ(x) + с) ^-+a(x)u = F(x); (21)

здесь x = ,... ,x„). Функции a,j(x), i,j = 1,... ,n, a,(x), i-l,...,n, a(x) называются коэффициентами уравнения (21), а функция F(x) — свободным членом.

3.1.1 Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнение Лапласа имеет вид

Д и = 0, (22)

\2 \2

где и = и(х), х Є R", А = 4гу + • • • + v-y — оператор Лапласа в R". Соот-

дх\ охп

ветствующее неоднородное уравнение

—Дм = F (23)

(F — известная функция) называется уравнением Пуассона. Уравнения Лапласа и Пуассона возникают в разнообразных задачах. Например, ста-ционарное (т. е. не меняющееся со временем) распределение температуры в однородной среде и установившаяся форма натянутой мембраны удовлетворяют уравнению Лапласа, а аналогичное распределение температуры при наличии источников тепла (с плотностью, не меняющейся во времени) и форма мембраны при наличии стационарных внешних сил удовлетворя- ют уравнению Пуассона.

Уравнения Лапласа и Пуассона описывают стационарное состояние тех или иных объектов. Для них не нужно задавать начальных условий, а типичными граничными условиями в случае ограниченной области ?2 С С R" являются краевое условие Дирихле {условие первого рода)

«|эп=ф. (24)

условие Неймана {условие второго рода)

Г =ф <25>

дп да

и третье краевое условие {условие третьего рода)

(iiHL-* <26>

где у, ф — заданные функции на дО..

3.1.2. Уравнение колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний вида

Э2 и

p-^=div(pgradu)-qu + F(x,t), (27)

где неизвестная функция u(x,t) зависит от п (и = 1,2,3) пространственных координат, х = (хі,х2, -.. ,х„), и времени г; коэффициенты р, р и q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член F(x,t) выражает интенсивность внешнего возмущения. В уравнении (27) в соответствии с определением операторов div и grad

div(Pgrad«)=|A(^).

В случае малых поперечных колебаний струны, представляющей собой натянутую нить, не сопротивляющуюся изгибу (т. е. |Г(л:,/)| — То = const), уравнение (27) принимает вид

д2и Ъ2и

р^ = 7Ьэ?+/г' (28)

где (х,и) есть координаты плоскости, в которой струна совершает поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью х.

При F Ф 0 колебания струны называются вынужденными, а при F = = 0 — свободными.

Если плотность р постоянна, р(л) = р, то уравнение колебаний струны принимает вид

ЗВИ Агошков и др

д2и 7 Э2и „

э? а? <29)

где / = F/p, а а2 = Го/р — постоянная. Уравнение (29) называют также одномерным волновым уравнением.

Уравнение вида (27) описывает также малые продольные колебания упругого стержня

+ (30)

где S(x) — площадь поперечного сечения стержня и Е(х) — модуль Юнга в точке X.

Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны или стержня необходимо дополнительно задать величины смещения и и скорости и, в начальный момент времени (начальные условия) и режим на концах (граничные условия).

а) Если конец хо струны или стержня движется по закону fi(t), то

"!,=;«,=/*(<)•

б) Если на правый конец хо струны действует заданная сила v(/), то

Эи _ v(t) Ъх х=хо То

в) Если правый конец XQ стержня закреплен упруго и а — коэффициент жесткости закрепления, то

Эи і Е^-Ч-аи =0

ox i jc=jco

в соответствии с законом Гука.

Частным случаем уравнения (27) является также уравнение малых поперечных колебаний мембраны

д2и „ /Э2и д2и\ _

рэ? (э*5 + з»|) <31>

Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны

«)+/, (32)

Эг2 — V&T р'

называют также двумерным волновым уравнением. Трехмерное волновое уравнение

д2и , /Э2и Ъ2и Ъги\ , ._„.

+ + (33)

описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению удовлетворяют плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а так- же составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы.

Волновые уравнения (29), (32), (33), можно записать единой формулой:

OaU = f, (34)

где Ша — волновой оператор (оператор Даламбера), dt2

Da = -j-a2A (? = ?,). УравнениеГельмгольца. Пусть в волновом уравнении (34) внешнее возмущение f(x,t) периодическое с частотой (0 и амплитудой a2f(x)

f{x,t)=a2f{x)e

Если искать периодические возмущения u(x,t) с той же частотой и неизвестной амплитудой и(х): u(x,t) — u(x)e'w, то для функции и(х) получим стационарное уравнение

2

Дм + к2 и = -f{x), к2 = , (35)

а

называемое уравнением Гельмгольца.

К краевым задачам для уравнения Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Например, пусть задана приходящая (из беско-нечности) плоская волна е"3>(а'х\ \а\ = 1, к > 0, которая подвергается изменению из-за наличия некоторого препятствия на границе Э?2 огра-ниченной области ?2. Препятствие можно задавать, например, с помощью

условия u|dQ = 0 или gjj да= 0- Это препятствие порождает рассеянную

волну V(JC).

^'©^'M-')- (36)

Поэтому при |х| —» °о волна v(x) должна удовлетворять условиям вида v(*) = 0(W"'), ^ - ikv(x) = 0(|*Г'), (37)

называемым условиями излучения Зоммерфельда. Суммарное же возмущение и(х) вне области ?2 складывается из плоской и рассеянной волн:

И{Х:) =Отметим также, что функция f(s), s = щ, нз (36) называется амплитудой рассеяния.

Уравнения диффузии и теплопроводности. Процессы распространения тепла и диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии:

3'

p^ = div(pgTadu)-qu + F(x,t), (39)

где р — коэффициент пористости среды, а р и q характеризуют ее свойства.

Если рассматривается процесс распространения тепла, то u(x,t) есть температура среды в точке х — {х\,хг,х$) в момент времени t. Считая среду изотропной, обозначим через р(х), с(х) и k(x) соответственно ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности, а через F(x,t) — интенсивность источников тепла. Процесс распространения тепла описывается функцией, удовлетворяющей уравнению вида

ср|^ = div(/fcgradM) + F(jc,r). (40)

от

Если среда однородна, т. е. с, р и к — постоянные, то уравнение (40) принимает вид

^=а2Д« + /, (41)

где а = ~> / =

ср ср

Уравнение (41) называется уравнением теплопроводности. Число п пространственных переменных хі,х2,...,хп в этом уравнении может быть любым.

Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры и в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие).

Примеры граничных условий.

а) Если на границе Э?2 поддерживается заданное распределение температуры мо, то

м|эп= м0. (42)

б) Если на dQ поддерживается заданный поток тепла мі, то

, ди

~кдп

= щ. (43)

эа

в) Если на дО. происходит теплообмен согласно закону Ньютона, то

(44)

где h — коэффициент теплообмена и мо — температура среды, окружаю-щей ?2.

3.1.5.

. ^ „ „ 1Эй

divD = 4пр, rot? = — —,

С Э< . (45)

„ Л „ 4я . 1 3D v '

divfi = 0, rot// = —j +

с с at

где р — плотность электрических зарядов, с — скорость света в вакууме и в случае полей в вакууме D — E, В — Н, j = 0, а для любых изотропных сред D = гЕ, В — цН, j — оЕ + js, где в — диэлектрическая проницаемость среды, ц - магнитная проницаемость среды, а — удельная электропроводность (в, ц, а могут быть функциями от t, х), js — плотность сторонних токов, т. е. токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем или диффузией).

Система Максвелла (45) является основой теории электромагнитных волн и служит базой для всех радиотехнических расчетов, например для теории волноводов. Граничные и начальные условия для нее обычно задаются из физических соображений.

Из уравнений Максвелла, в частности, выводятся важные для электротехники телеграфные уравнения, описывающие изменение силы тока и напряжения в проводе:

Эл Э' (46)

о,

где х — координата вдоль провода, v — напряжение в данной точке провода (отсчитываемое от произвольного начального уровня), і — сила тока, R — удельное сопротивление (на единицу длины), L — удельная самоиндукция, С — удельная емкость, G — удельная утечка.

3.1.6. Уравнение переноса. Для описания процесса распространения частиц вместо уравнения диффузии используются также более точные уравнения — так называемые уравнения переноса (кинетические уравнения). Одним из представителей этого класса уравнений является односко- ростное уравнение переноса вида

+ Srad)

Si

где ф = vN(x, s, t) — поток частиц, летящих с (одной и той же) скоростью v в направлении 5 = (^ь^г, ^з)) И = 1; N(x,s,t) — плотность частиц; F(x, s, t) — плотность источников, коэффициенты а(х, г), os(x, t) характеризуют свойства среды; Sі — сфера единичного радиуса в R3.

Для полного описания процесса переноса частиц необходимо задать начальное распределение потока частиц ф в области ?2 С R3 (начальное условие) и режим на границе этой области (граничное условие).

условие вида

ф(дг, 0 = 0, х Є dQ, (і, п) < О, (48)

где п = п(х) — единичный вектор внешней нормали к границе области Q, выражает отсутствие падающего потока частиц на область извне.

Отметим, что уравнение переноса описывает процессы переноса нейтронов в ядерном реакторе, переноса лучистой энергии, прохождение у-квантов через вещество, движения газов и другие.

Уравнения газо- и гидродинамики Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости, в которой отсутствует вязкость. Пусть V(x,t) = (V1,V2,V3) — вектор скорости движения жидкости, р(л,г) — ее плотность, р(х, t) — давление, f(x, t) — интенсивность источников и F(x, t) = (F), F2, F3) — интенсивность массовых сил. Тогда эти величины удовлетворяют следующей нелинейной системе уравнений, называемых уравнениями гидродинамики (газовой динамики):

^+div(pV)=/, (49)

dV 1

gj- + (V. grad)V + - SradP=F- (50)

Уравнения (49) и (50) называются соответственно уравнением неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо еще задать связь между давлением и плотностью:

Ф(ЛР)=0, (51)

так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнение состояния имеет вид р = const, а для адиабатического движения газа

?

= const, м. = —,

Су

где Ср и Су — удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно.

В частности, если жидкость несжимаема (р = const) и ее движение потенциально (V = — grad и), то из уравнения неразрывности (49) следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона.

Классификация линейных дифференциальных уравнений При изучении линейных дифференциальных уравнений с частными производными в математической физике выделяются три основных типа уравнений: эллиптические, параболические и гиперболические. Простейшими уравне-ниями этих типов являются соответственно уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности и волновое уравнение.

Рассмотрим общее линейное уравнение второго порядка в R"

(52)

,J=1 ox, OX J

где коэффициенты atJ{x) —aj,(x) вещественны, а многоточие обозначает младшие члены ^члены, содержащие только и и J^-, но не вторые произ-водные nowj. Введем ассоциированную с уравнением (52) квадратичную форму

І a,j(x)Uj- (53)

Непосредственными вычислениями проверяется, что при замене независимых переменных у = f(x) она не меняется, если преобразовывать вектор 4= (?i>-••>?») с помощью матрицы Г'-1, транспонированной и обратной к матрице Якоби Т — f'(x), рассматриваемой в точке х. В частности, инварианты линейных преобразований квадратичной формы (ранг, число положительных коэффициентов и число отрицательных коэффициентов при квадратах в ее каноническом виде) не меняются при заменах независимых переменных в уравнении. Канонический вид квадратичной формы (53) определяется собственными значениями симметричной матрицы IM*)II?J=I- А именно, эллиптичность уравнения (52) в точке х равносильна тому, что все эти собственные значения одного знака, гиперболичность — тому, что п — 1 собственных значений одного знака, а одно имеет противоположный знак; наконец, параболичность в точке х означает, что имеется одно нулевое значение, а все остальные одного знака.

Фиксируя точку х, можно линейной заменой независимых переменных в уравнении (52) добиться того, чтобы квадратичная форма (53) приобрела канонический вид. Это означает, что само уравнение в точке х приобретет следующий канонический вид:

t±gf + - = 0, (54)

j=і dxj

где г — ранг квадратичной формы (53). В частности, если исходное уравнение было эллиптическим, то все знаки в (54) будут одинаковыми, так что, меняя в случае необходимости знак, мы придем к уравнению с главной частью в точке х, которая такая же, как у уравнения Лапласа. Для гиперболического уравнения главная часть в каноническом виде в точке х совпадает с главной частью волнового уравнения в R", а для параболического главная часть станет лапласианом по п - 1 переменным в R". (Отметим, что приведение уравнения к виду (54) описанными преобразованиями не в одной точке, а в целой области, вообще говоря, невозможно.)

Если разрешить еще умножать уравнение (52) на вещественное число, отличное от нуля (или на нигде не обращающуюся в нуль веществен- нозначную функцию), то при этом еще могут поменяться местами положительные и отрицательные коэффициенты канонического вида формы (53). Это придает смысл следующему определению.

Определение 1. а) Уравнение (52) называется эллиптическим в точке х, если канонический вид квадратичной формы (53) содержит п положительных или п отрицательных коэффициентов, т.е. форма поло- жительно или отрицательно определена.

б) Уравнение (52) называется гиперболическим в точке х, если квадратичная форма (53) имеет ранг п и ее канонический вид содержит (после возможного изменения знака) п — 1 положительных и один отрицательный коэффициентов.

в) Уравнение (52) называется параболическим в точке х, если квадратичная форма (53) имеет ранг п — 1 и после возможного изменения знака становится неотрицательно определенной, т.е. ее канонический вид содержит п — 1 положительных коэффициентов или п — 1 отрицательных коэффициентов.

Если какое-то из условий а), б), в) имеет место при всех х Є ?2, где ?2 — область в R", то говорят об эллиптичности, гиперболичности и па- раболичности в области ?2.

В математической физике встречаются также уравнения смешанного типа, т. е. уравнения, имеющие различный тип в разных точках рассматриваемой области. Например, уравнение Трикоми

уихх + Uyy = 0, (55)

рассматриваемое в R2, является эллиптическим при у > 0, гиперболи-ческим при у < 0 и параболическим на прямой у = 0. Это уравнение возникает при описании движения тела в газе с околозвуковой скоростью: область гиперболичности у < 0 соответствует движению с дозвуковой ско-ростью, а область эллиптичности у > 0 — движению со сверхзвуковой скоростью.

Рассмотрим общий линейный дифференциальный оператор

А = X а«(х)°а (56)

|а|<т

в области ?2 С R" и соответствующее уравнение

Аи = F. (57)

Введем главный символ оператора А, определяемый формулой

am{xX) = ? aa{x)t?. (58)

|a|=m

Определение 2. Оператор (56) и уравнение (57) называются эллиптическими в точке х, если ат(хХ) ф 0 при всех ? Є R"\{0}. Если это выполнено при всех х Є ?2, то оператор А и уравнение (57) называются эллиптическими в области ?2 или просто эллиптическими.

Гиперболичность уравнения или системы обычно определяется при наличии выделенной переменной (обычно это время) или хотя бы выделенного направления (при наличии выделенной переменной в качестве такого направления берется направление оси t).

Определение 3. Оператор А вида (56) и уравнение (57) называются гиперболическими в направлении вектора V (в точке) х, если am(x,v) фО (т.е. направление v нехарактеристично) и для любого вектора Е, Є R", не пропорционального v, все корни X уравнения

am(^,4 + Xv) = 0 (59)

вещественны. Оператор А и уравнение (57) называются строго гиперболическими в направлении вектора v (в точке *), если все корни уравнения (59) (их т штук, в силу условия характеристичности) вещественны и различны.

Аналогично определяется гиперболичность для матричного оператора А вида (56) (размером N xN) и соответствующей системы (57): условие нехарактеристичности имеет вид detam(x,v) ф 0, а вместо уравнения (59) в этом случае надо рассматривать уравнение

d&tam(x, ? + Xv) = 0.

Часто встречаются системы первого порядка с выделенной переменной t, имеющие вид

? + , (60,

где и - N -компонентная вектор-функция, Aj, В — матрицы N xN (зависящие от t, х), F — известная вектор-функция от Условие гиперболичности (строгой гиперболичности) такой системы (относительно направления оси t) означает, что для любых вещественных ,... ,4л все собственные значения матрицы 2"= і ^Иу вещественны (соответственно вещественны и различны). В частности, если все матрицы Aj являются симметрическими, то система (60) гиперболична (такие системы называются симметрическими гиперболическими системами).

3.2. Постановка основных задач математической физики. Сформулируем постановки основных краевых (начально-краевых) задач математической физики.

3 2 1 Классификация краевых задач Как отмечалось ранее, линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Рггт =di\(pgradu)-qu + F(x,t) (61)

дг

описывает процессы колебаний, уравнение

р = div (р grad и) - qu + F{x, t) (62)

описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение

— div(pgradw) +qu = F(x) (63)

описывает соответствующие стационарные процессы.

Пусть ?2 С R" — область, где происходит физический процесс, а дО. — ее граница, которую считаем кусочно гладкой поверхностью. Область изменения аргументов х — область ?2 — в случае уравнения (63) есть область

задания уравнения. Временную переменную t считаем из (О, Г).

Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравнений (61)-(63) не зависят от t. Далее, в соответствии с юс физическим смыслом, считаем, что р(х) > 0, р(х) > 0, q(x) >0, х Є ?2. Кроме того, в соответствии с математическим смыслом уравнений (61)-(63) необходимо считать, что

р Є С(?2), p6Cl(Q) nqeC(Q).

При сделанных предположениях, согласно введенной классификации, уравнение колебаний (61) — гиперболического типа, уравнение диффузии (62) — параболического типа и стационарное уравнение (6) — эллиптического типа.

Как уже упоминалось, чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы выделить решение, опи-сывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополни-тельные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия: начальные и граничные условия. Соответствующая задача на-зывается краевой задачей. Таким образом, краевая задача математической физики — это дифференциальное (интегро-дифференциальное) уравнение (или система уравнений) с заданными краевыми условиями.

Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений.

а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область ?2 совпадает со всем пространством R", граничные условия отсутствуют.

б) Краевая задача эллиптического типа: задаются граничные условия на границе Э?2, начальные условия отсутствуют.

в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия, ?2 / R".

Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для рассматриваемых уравнений (61)—(63).

3.2.2. Задача Коши. Для уравнения колебаний (61) (гиперболический тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию u(x,t) класса C2(t > 0) ПС1 (г > 0), удовлетворяющую уравнению (61) в полупространстве t > 0 и начальным условиям при t = +0:

(64)

При этом необходимо, чтобы F Є С (/ > 0), и0 Є C'(R"), т Є C(R")-

Для уравнения диффузии (62) (параболический тип) задача Коши ставится так: найти функцию u(x,t) класса С2 (г > 0) ПС(? > 0), удовлетворяющую уравнению (62) в полупространстве (>0и начальному условию

при t = + О:

и|,=0=иоМ- (65)

При этом необходимо, чтобы F Є C(t > 0), ио Є C(R").

Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Пусть даны квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического типа

д2и Л д2и " д2и / ди ди ди\ „„

^ = (66)

кусочно гладкая поверхность Z = [г = а(*)] и функции щ, иі на X (данные Коши). Задача Коши для уравнения (66) состоит в нахождении в некоторой части области t > a(*), примыкающей к поверхности Е, решения и(х,(), удовлетворяющего на X краевым условиям

= и ь (67)

и|?= "О,

ди

дп

где п — нормаль к L, направленная в сторону возрастающих значений t.

3.2.3 Краевая задача для уравнения эллиптического типа Краевая задача для уравнения (63) (эллиптический тип) состоит в нахождении функции и(х) класса C2(Q) П С1 (?2), удовлетворяющей в области ?2 уравнению (63) и граничному условию на дО. вида

(68)

ади

где а, 3 и v — заданные кусочно непрерывные функции на Э?2, причем а(х) > 0, 300 > 0, а(х) + |3(;с) > 0, х Є дО.. Выделяют следующие типы граничных условий (68). граничное условие первого рода (а=1, 3 = 0)

"L= "о; (69)

фаничное условие второго рода (а = 0, 3=1)

дп Эй

граничное условие третьего рода (а > 0, 3=1)

(71)

ди

аи+ . дп

Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами первого, второго и третьего рода.

Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого рода

А " = -/, и|эя=ио (72)

называется задачей Дирихле, краевая задача второго рода

ди

А" = -/,

дп

называется задачей Неймана.

Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (63) и во внешности ограниченной области Й (внешние краевые задачи). Отличие состоит в том, что помимо граничного условия (68) на Эй задаются еще условия на бесконечности. Такими условиями, например, могут быть: условия излучения Зоммерфельда — для уравнения Гельмгольца; условия вида

и(х) = O(l) или и(х) = о(1), |д:| —> оо, (74)

для уравнения Пуассона.

Смешанные задачи. Для уравнения колебаний (61) (гиперболический тип) смешанная задача ставится следующим образом: найти функцию u(x,t) класса С2(??7") Г)С' (??/-), где QT = О. х (0,7"), удовлетворяю- щукгуравнению (61) в цилиндре Qr, начальным условиям (64) при t = О, х = Й (на нижнем основании цилиндра QT) и граничному условию (68) (на боковой поверхности цилиндра QT ). При этом должны быть выполнены условия гладкости

FGC(QT), ИОЄС'(Й), «ІЄС(Й), v — кусочно непрерывна на Эй х [О, Т] и условия согласованности

0Эио| і 0Эы11 3vi

амо + З-гЧ =vl_n, аиі+р^-Ч . (75)

Эл Ida |,=0 дп 1эй dt 1/=о

(Второе из равенств (75) имеет смысл, еслн решение u(x,t) достаточно гладко вплоть до нижнего основания Qr )

Аналогично для уравнения диффузии (62) (параболический тип) смешанная задача ставится так: найти функцию u(x,t) класса C2(QR) П П C(QR), gradХИ Є C(QT), удовлетворяющая уравнению (62) в QT, начальному условию (65) и граничному условию (68).

В математической физике часто встречаются другие краевые задачи, отличающиеся от сформулированных выше (например, задача Гурса для линейного уравнения гиперболического типа, задача Зарембы для уравне-ния Лапласа и другие).

Корректность постановок задач. Теорема Коши-Ковалевской. Поскольку задачи математической физики представляют собой математические модели реальных физических процессов, то к их постановкам часто предъявляют следующие естественные требования:

а) решения должны существовать в каком-то классе функций Xi;

б) решение должно быть единственным в некотором классе функций Хг,

в) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т. д.).

Непрерывная зависимость решения и от данных задачи F означает следующее: пусть последовательность данных F* (к = 1,2,...) в каком-то смысле стремится к F и Uk (к =1,2,...), и — соответствующие решения задачи; тогда должно быть ы* —» и, к в смысле сходимости, выбранной надлежащим образом. Например, пусть задача приводится к уравнению Аи — F, где А — линейный оператор, переводящий X в Y, где X и Y — линейные нормированные пространства. В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена F будет обеспечена, если оператор А-1 существует и ограничен из Y в X. Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректно поставленной (по Адамару), а множество функций Х\ПХ2 — классом корректности. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий а)-в), называется некорректно поставленной.

К некорректно поставленным задачам часто приводят обратные задачи математической физики: по некоторой информации о решении прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физические величины (источ-ники, краевые условия, коэффициенты уравнения и т.д.), определяющие эту задачу.

Выделим довольно общий класс задач Коши, для которых решение существует и единственно. Но сначала введем два определения.

Система N дифференциальных уравнений с N неизвестными функциями U\,U2, ¦. ¦ ,И,,

д*' и

—1±=Dyj,...), i=l,2,...,N, (76) от '

называется нормальной относительно переменной t, если правые части Ф, не содержат производных порядка выше к, и производных по t порядка выше к, — 1, т. е.

ao + ai + ... + a„ < к„ ао<к,-1.

Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности нормальны относительно каждой переменной х; волновое уравнение, кроме того, нормально относительно t.

Функция /(*), х = (*i ,Х2, ¦ ¦ ¦ ,х„), называется аналитической в точке хо, еслн в некоторой окрестности этой точки она представляется в виде равномерно сходящегося степенного ряда

|a|>0 |a|>0

(точка хо может быть и комплексной). Если функция f(x) аналитична в каждой точке области О., то говорят, что она аналитична в ?2.

Для нормальной относительно t системы уравнений (76) поставим следующую задачу Коши: найти решение и\,и2,.-.,иц этой системы, удо- влетворяющее начальным условиям при t — to

= фЛ(х), k = 0,l,...,ki~ 1; «=1,2,...,^, (77)

t=io

ЭЧ dtk

где ф,/і(д:) — заданная функция в некоторой области Q С R".

Теорема 23 (теорема Коши-Ковалевской). Если все функции ф,-^*) аполитичны в некоторой окрестности точки хо и все функции Ф,(*, t,..., (и j)ao,ai,...,a„> ¦ • •) аполитичны в некоторой окрестности точки (хо, Го>---,ОаФ_/а(-*о)>---)> то задача Коши (76), (77) имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (хо, to) и притом единственное в классе аналитических функций.

Заметим, что теорема Коши-Ковалевской, несмотря на ее общий характер, полностью не решает вопроса о корректности постановки задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Эта теорема гарантирует лишь существование и единственность решения в достаточно малой окрестности, или, как говорят, в малом; обычно же эти факты требуется установить в наперед заданных (и отнюдь не малых) областях, или, как говорят, в целом. Далее, начальные данные и свободный член уравнения, как правило, оказываются неаналитическими функциями. Наконец, может вовсе не быть непрерывной зависимости решения от начальных данных (на что указывает известный пример Адамара).

3.3. Обобщенные постановки и решения задач математической физики. Изложенные в предыдущих пунктах постановки краевых задач характеризуются тем, что решения их предполагаются достаточно гладкими и они должны удовлетворять уравнению в каждой точке области задания этого уравнения. Такие решения мы будем называть классическими, а постановку соответствующей краевой задачи — классической поста-новкой. Таким образом, классические постановки задач уже предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных. Однако в наиболее интересных задачах эти данные могут иметь довольно сильные особенно-сти. Поэтому для таких задач классические постановки уже оказываются недостаточными. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от требования гладкости решения в области или вплоть до границы, вводить так называемые обобщенные решения и обобщенные постановки задач математической физики.

Одно из направлений в теории обобщенных решений и постановок краевых задач базируется на использовании функциональных пространств Соболева. При этом теоремы вложения и теоремы существования следов (граничных значений), установленные для этих пространств, позволяют придать смысл граничным условиям для уравнений математической физики, рассматривая эти условия как дополнительные уравнения в соответствующих пространствах («пространствах следов»). В ряде задач даже можно исключить явное присутствие граничных условий в обобщенной постановке задач, «включив» их вместе с основным уравнением в некоторое интегральное тождество (так называемые «естественные граничные условия»).

Сформулируем основные подходы введения обобщенных постановок задач и обобщенных решений на примерах некоторых основных задач математической физики, используя при этом пространства Соболева.

3.3.1. Обобщенные постановки и решения эллиптических задач.

Задача Дирихле. Рассмотрим простейшую эллиптическую краевую задачу — задачу Дирихле для уравнения Лапласа или уравнения Пуассона — и дадим ее обобщенную постановку. Вначале обсудим задачу для уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями:

-Au(x)=f(x), xeQ,

I n (78)

і ° і Вместо граничного условия м|3„= 0 будем писать и ЄИ^Й) (это включение в случае ограниченных областей с гладкой (или кусочно гладкой) границей равносильно тому, что и Є W2' (Q) и 0). Умножая обе ча

сти уравнения -Аи = / на v(*), где v Є C^(Q), и интегрируя по частям, получаем

M = (/,v), (79)

где (•,•) означает скалярное произведение в L.2(Q), а

a J~l 1

так что [•,•] — форма, непрерывная на пространстве W2'(Й), т.е. |[M,V]| < < СІМЦ1^) ІМЦі^), где постоянная 00 не зависит от и, v. Величина dx

ад = [«,«] = J\vu(x)\2dx = J t

о о j-1' 3

а а

называется интегралом Дирихле.

о

Равенство (79) имеет смысл для любых функций и, v ЄІУ^Й) и для / Є L2(Q). Оно И будет рассматриваться вместо задачи (78). При этом мож-

о .

но брать лишь такие функции v, что v ЄИ4(Й). В случае классического решения и (т. е. решения и Є C2(Q) задачи (78)) равенство (79) получается описанной выше процедурой при v Є Cq И затем с использованием

о

предельного перехода при v ЄИ4(Й).

Итак, приходим к следующей обобщенной постановке задачи (78): при

о

заданной функции / Є ?-г(?2) найти такую функцию и ЄИ^СЙ), что для любой функции v Є Cq(Q) выполнено (79).

о

Как уже указывалось, вместо v Є С^°(?2) можно писать v Є что

приводит к эквивалентной постановке. Кроме того, перебрасывая производные с v на и интегрированием по частям, получаем, что (79) равносильно уравнению —Аи = /, понимаемому в смысле обобщенных функций, так что сформулированная обобщенная постановка задачи эквивалентна сле-

о -

дующей: дана функция / Є Ьг(0.)\ найти такую функцию и ЄІУ^Й), что —Аи = / в смысле обобщенных функций.

Всякое решение и задачи (79) будем называть обобщенным или слабым решением (в отличие_от классического решения, о котором имеет смысл говорить при / Є С(?2)). С другой стороны, всякое классическое решение и Є С2 (?2) является обобщенным.

Заметим, что [¦,•] можно считать скалярным произведением в пространстве 1^2(?2). Это равносильно тому, что выражение ||;<||, = у/Ф(и) = = [и,и]1/2 является нормой, эквивалентной норме ||-|Ц|(а) на С^°(?2).

Ввиду очевидного соотношения = ІНІ2 + 2>(и) эквивалентность

норм 11 -11 vv1 и Mill вытекает из так называемого неравенства Стеклова

|И2<СЭД, М<ЕС0~(?2), (80)

где С > 0 не зависит от и, а ||-|| — норма в ?г(?2).

Пользуясь эквивалентностью норм ||-||w»(S2) и II-II і дая функций из

о

W2(?2) и привлекая теорему Рисса о представлении линейного ограниченного функционала, нетрудно установить следующее утверждение.

Теорема 24. Если ?2 — любая ограниченная область в R" и / Є Є ?г(?2), то обобщенное решение задачи (78) существует и единственно.

Рассмотрим теперь кратко задачу Дирихле для уравнения Лапласа:

Ди(х) = 0, х Є ?2,

і (81) м1эп=Ф-

При переходе к обобщенной постановке прежде всего возникает вопрос об интерпретации граничного условия. Если граница Э?2 является гладкой

и если ф Є И^3^2(Э?2), то, по теореме о существовании следа, существует такая функция v Є W2(?2), что v|3?2= ф. Но тогда если и Є W2 (?2) является решением задачи (81), то для w = и - v мы получим задачу вида (78) с / = —Ду Є і-2(?2), так что можно перейти к обобщенной постановке (79) и в случае ограниченной области ?2 воспользоваться теоремой 24, из которой теперь следует существование и единственность решения задачи (81). Если граница Э?2 негладкая, то можно сразу зафиксировать функцию v Є И^(?2), задающую граничное условие, и ставить задачу следующим образом: дана функция v Є W2 (Й); найти функцию и такую, что и — v Є

о

Є ^(?2), а также Аи(х) = 0 при х Є ?2.

Теорема 2 5. Если ?2 — любая ограниченная область в R" и v Є Є W2 (?2), то обобщенное решение и задачи (81) существует и единственно. Это решение имеет строго минимальный интеграл Дирихле

(D(u) среди всех функций и Є W2 (?2), для которых и — v Є 6VV2(?2). Обратно, если и является стационарной точкой интеграла Дирихле в классе всех функций и Є W2' (?2), для которых и —v ЄИ4(?2), то и — обоб-щенное решение задачи (81) {и, тем самым, интеграл Дирихле имеет строгий минимум на функции и).

Задача Неймана. Однородная задача Неймана для уравнения Пуассона имеет вид

—Аи(х) = /(*), ди

(82)

дп

= 0.

за

Для перехода к ее обобщенной постановке будем считать, что— ограниченная область с гладкой границей, и пусть сначала и Є С°° (?2). Умножая обе части уравнения —Аи — / на функцию v, где v Є С°(?2), и затем, интегрируя по ?2, воспользуемся формулой Грина

J Au{x)v{x)dx = - JVu{x)Vv{x)dx+ J v(x)^^-dSx>

Si Si Эй

где dSx — элемент площади поверхности границы. Отсюда находим, в силу (82),

M = (/,v). (83)

По непрерывности здесь вместо v Є С°°(?2) можно брать v Є W2' (?2) даже в том случае, когда известно лишь, что и Є Wj (?2) и / Є L2(i2). Это даст обобщенную постановку задачи Неймана: по функции / Є L2(Q) найти такую функцию и Є W^ (?2), чтобы (83) выполнялось для любой функции vG W2'(?2).

Решение этой задачи единственно с точностью до произвольной постоянной: если мі — другое решение задачи Неймана (с той же функцией /) и w — мі - и, то [w, v] = 0 для любой функции v Є Wj (?2). Полагая v = w, получаем, что [w, w] = 0. Это значит, что все обобщенные производные

j — 1,2,...,п, обращаются в нуль и w = const.

Обобщенное решение задачи Неймана существует для тех и только тех функций / Є L2(Q), для которых выполнено условие

(/,1) = Jf(x)dx = 0,

т.е. для функций с нулевым средним значением. Необходимость этого условия сразу вытекает из (83) при v = 1.

Для доказательства существования обобщенного решения задачи Неймана можно воспользоваться неравенством Пуанкаре

ІНі?2(й) < С (ф(м) + (J udxf) , м Є С~(?2), (84)

а

4 В И Агошков и др

где С = const не зависит от и, в силу которого на функциях из W2' (Q), ортогональных единице, нормы

эквивалентны. Привлекая теперь известную теорему Рисса, получаем существование единственного обобщенного решения и Є Wj (?2) задачи

Неймана при условиях / Є L2(Q), / f(x)dx = 0.

Ja

Краевые задачи для общих эллиптических уравнений 2-го порядка могут быть переформулированы и исследованы подходами, которые продемонстрированы выше на примере задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа.

3.3.2. Обобщенные постановки и решения гиперболических задач. Пусть ?2 — некоторая ограниченная область п -мерного пространства R" (х = (х\,х2,...,х„) — точка этого пространства). В (л + 1)-мерном пространстве R"+I = R" х {-<*> < t < +00} рассмотрим ограниченный цилиндр QT = {д: є ?2, 0 < t < Т} высоты Т > 0. Обозначим через Г7- боковую поверхность {* Є Э?2, 0 < t < Г} цилиндра QT, а через ?2т — сечение {* Є ?2, t = х) этого цилиндра плоскостью t — т; в частности, верхнее основание цилиндра Qt есть ?2т = {* Є ?2, t = 7"}, а нижнее его основание — ?2о = {*є?2, t = 0}.

В цилиндре QT при некотором Т > 0 рассмотрим гиперболическое уравнение

Lu = и„ - di\(k{x)Vu) +а(х)и = f(x, t), (85)

где Jfc(x) Є С'(ёг), Ф) Є C(QT), К(Х) > *о = const > 0.

Функция И(Х, (), принадлежащая пространству C2(QT) П С1 {QT U Г7- U U ?2о), удовлетворяющая в Qt уравнению (85), на ?2о начальным условиям

м1=о= Ф» (86)

4-o=V- (87)

а на Г7- — одному из граничных условий

м1гг=*

или

Фп+аи)1г=Ъ

где а — некоторая непрерывная на Г/- функция, называется (классическим) решением первой или соответственно третьей смешанной задачи для уравнения (85). Если а = 0 на Г7-, то третья смешанная задача называется второй смешанной задачей.

Так как случай неоднородных граничных условий легко сводится к случаю однородных граничных условий, то ограничимся рассмотрением

случая однородных граничных условии

"|Гг=0 (88)

и

(ІНІгг0- (89)

Будем считать, что коэффициент а(х) в уравнении (85) неотрицателен в QT, а функция а в граничном условии (89) зависит лишь от х и неотрицательна на Гг.

Пусть функция и(х, t) является решением одной из задач (85)-(88) или (85), (86), (87), (89), причем правая часть /(х, /) уравнения (85) принадлежит L2(QT)- Умножая (85) на v(x,t) Є W2 {QT), для которых выполнены условия (88) и v|Qj.= 0) проинтегрируем по QT С применением формулы интегрирования по частям н формулы Грина. В результате получаем тождество

J (kVuVv + auv-u,v,)dxdt = J yvdx + J fvdxdt (90) QT ПО QT

при всех v Є WJ (QT), для которых выполнены условия (88) н условие

Ийг=0, (91)

или

J (kVuVv + auv-u,v,)dxdt + JkauvdSdt = Jyvdx+ j fvdxdt (92) QT Гг По QT

при всех v Є И^1 (<2г)» для которых выполнено условие (91).

С помощью полученных тождеств введем понятие обобщенных решений рассматриваемых смешанных задач. Будем предполагать, что f(x,t) Є Є L2(QT), а l|/(*) Є L2(Q).

Принадлежащая пространству W2 (QT) функция и называется обобщенным решением в QT первой смешанной задачи (85)-(88), если она удовлетворяет начальному условию (86), граничному условию (88) и тождеству (90).

Принадлежащая пространству W2 (QT) функция и называется обоб-щенным решением в QT третьей (второй при СУ = 0) смешанной задачи (85)-(87), (89), если она удовлетворяет условию (86) и тождеству (92).

Заметим, что, как и классические решения, обобщенные решения об-ладают следующими свойствами. Если и — обобщенное решение задачи (85)-(88) или задачи (85)-(87), (89) в цилиндре QT, то оно является обобщенным решением соответствующей задачи и в цилиндре QT> при V < Т.

о

ТЕОРЕМА 26. ПУСТЬ / Є L2(Qt), у € Li(Q.), А Ф В СЛУ

чае первой смешанной задачи (85)-(88) и ф Є W2(?2) в случае третьей (второй) смешанной задачи (85) —(87), (89). Тогда обобщенное решение 4' и соответствующей задачи существует и единственно. При этом имеет место неравенство

IHIчЧОг) ^ С(1МЦ'(Я) + м\ща) + ll/ll^tflr)). (93)

В котором положительная постоянная С не зависит от <р, \|/, /.

3.3.3. Обобщенные постановки и решения параболических задач. Пусть О — ограниченная область л-мерного пространства R", а х = (;ci ,Х2,... ,х„) — точка этого пространства. Подобно смешанным задачам для гиперболических уравнений, рассмотрим в (л 4- 1)-мерном пространстве R"+1 = R" х {—оо < t < ограниченный цилиндр QT = {х Є О, О < t < Т} высоты Т > 0, и пусть Гт — боковая поверхность этого цилиндра Гг = {JC Є дО, О < t < Г}, а Ох, т Є [О, Т], - множество {JC€ О, t = т}, в частности, верхнее основание цилиндра QT есть От = {jc Є ?2, t = Г}, а нижнее его основание — ?2о = {JC Є ?2, / = 0}. Через С2'1 {QT) обозначим совокупность непрерывных в QT функций, имеющих непрерывные в QT производные ut, их<, UXIXJ, С1,0(QR U Гг) есть множество непрерывных в (CrUTr) функций с непрерывными производными их, (i,j= 1,2,...,л).

Рассмотрим в цилиндре QT при некотором Т > 0 параболическое уравнение

Lu = ut- div (k(x)V и)+а(х)и = f(x,t), (94)

где к(х) є С1 (QT), а(х) Є C(QR), k(x) >ko= const > 0.

Функция u(x, t), принадлежащая пространству C2,1(QT) П C(QT U ГГ U U Qo), удовлетворяющая в QT уравнению (94), на Ос - начальному условию

"Lo=

а на Гг — граничному условию

и\гт=*>

называется классическим решением первой смешанной задачи для уравнения (94).

Функция и(х, t), принадлежащая пространству С2,1 {QT) П C(QT U ГГ U U ?2о) ПС1,0(Сг U Гг), удовлетворяющая в QT уравнению (94), на ?2о — начальному условию (95), а на Гг — граничному условию

где CT(JC) — некоторая непрерывная на Гг функция, называется классическим решением третьей смешанной задачи для уравнения (94). Если ст = 0, то третья смешанная задача называется второй смешанной задачей.

Так как случай неоднородных граничных условий сводится к случаю однородных граничных условий, то будем рассматривать только однородные граничные условия

и,|г=0 (96)

(!+°М")1г=°- (97)

<ди

+ CT(JC)M| )г

Будем считать, что коэффициент a(jc) в уравнении (94) неотрицателен в QT, а функция ст(х) в граничном условии (97) неотрицательна на Гг-

Пусть функция и является классическим решением третьей (второй) смешанной задачи (94), (95), (97) или принадлежащим C1,0(QT U U Гг) классическим решением первой смешанной задачи (94)-(96), причем функция f(x,t) Є L2(QT)- Умножим (95) на произвольную функцию V(JC, t) Є С1 (Qt), удовлетворяющую условию

О- (98)

и проинтегрируем полученное равенство по цилиндру QT- Применяя формулы интегрирования по частям и Грина, получаем следующие утверждения.

Принадлежащее CX'°(QT U Гг) классическое решение u(x,t) первой смешанной задачи удовлетворяет интегральному тождеству

J (~uv, + kVuVv + auv)dxdt = J (f>vdx + J fvdxdt (99) QT «о QT

при всех v є CX(QT), удовлетворяющих условиям (98) и v|r^= 0, а следовательно, и для всех v Є WJ(QT), удовлетворяющих условиям (98) и

Классическое решение и(х, t) третьей (второй при а = 0) смешанной задачи удовлетворяет интегральному тождеству

J (~uv,+kVuVv + auv)dxdt + J kauvdSdt = J

QT Гг fio QT

при всех v Є CL(QT), удовлетворяющих условию (98), а следовательно, и для всех v Є W2'(<2г), удовлетворяющих условию (98).

С помощью полученных тождеств можно ввести понятие обобщенных решений рассматриваемых смешанных задач.

Будем предполагать, что f(x,t) Є L2(QT), а ф(х) Є L2(Q). Функция u(x,t), принадлежащая пространству И^2!'°(і2г)> определяемому как

(u'v^-0(QT) = / («v + V«Vv) Ас, |МЦіл(0г) = (и,и)^ьо(Єг). QT 2

называется обобщенным решением первой смешанной задачи (94)-(96), если она удовлетворяет граничному условию (96) и тождеству (99) для всех V(JC, f) Є WJ (QT), удовлетворяющих условиям (96) и (98).

Принадлежащая пространству W^iQr) функция u(x,t) называется обобщенным решением третьей (второй при а = 0) смешанной зада- чи (94), (95), (97), если она удовлетворяет тождеству (100) при всех t) Є Є W2'(QT), удовлетворяющих условию (98).

Отметим еще, что обобщенное решение смешанной задачи для параболического уравнения так же, как и классическое решение, обладает следующим свойством: если и(х, /) есть обобщенное решение смешанной задачи (94)-(96) или задачи (94), (95), (97) в цилиндре QT, ТО ОНО является обобщенным решением соответствующей задачи и в цилиндре QT> при любом V, 0 < Ґ < Т.

Теорема 27. Пусть f Є L2(QT), (Р Е L2(Q.), то каждая из смешанных задач (94)-(96) или (94), (95), (97) имеет обобщенное решение и Є W^,0(бг)- При этом имеет место неравенство

І|и|Ц''0(Єг) ^ C(IMkв котором положительная постоянная С не зависит от ф, /.

3.4. Вариационные постановки задач. Многие задачи математической физики могут быть переформулированы как вариационные задачи, представляющие собой один из подходов к введению обобщенных постановок исходных краевых задач. Рассмотрим этот подход к исследованию обобщенных постановок задач, известный еще как энергетический метод.

3.4.1. Вариационные постановки задач в случае положительно определенных операторов. Пусть задача математической физики сведена к уравнению в вещественном гильбертовом пространстве Н и записана в виде

Au = f, (102)

где и — искомый элемент некоторого функционального пространства, А — оператор краевой задачи, область определения которого плотна в Н, f — заданный элемент.

Если оператор Л симметричен и положителен, то решение уравнения (102) можно свести к решению некоторой вариационной задачи, как это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2 8. Пусть А — симметричный и положительный оператор. Если уравнение Аи = f имеет решение, то это решение сообщает функционалу

J(u) = (Au,u)-2(u,f) (103)

наименьшее значение. Обратно, если существует элемент, реализующий минимум функционала (103), то этот элемент удовлетворяет уравнению Au = f.

Метод решения краевых задач, состоящий в замене уравнения (102) задачей о минимуме функционала (103), носит в литературе название энергетического метода. Функционал (103) будем называть функциона-лом энергетического метода.

Теорема 28 не дает указаний ни на условия существования решения вариационной задачи, ни на то, как такое решение можно строить. Такие указания могут быть даны, если оператор краевой задачи положительно определенный. В этом случае введем в рассмотрение энергетическое пространство Яд, в котором (Аи, и) = |м|2. Далее, по неравенству Коши- Буняковского и неравенству ||м|| < (|и|/у) имеем |(м,/)| < ||/|| ||м|| < < ||/||/(у|«|). Это означает, что линейный функционал (и,/) ограничен в Яд; по теореме Рисса существует элемент щ Є Яд такой, что (и,/) = [U,UQ], если только и Є Яд. Теперь функционал (103) приводится к виду

J(u) = \и\2 - 2(и, f) = Iи- мої2 - М2. (104)

Из формулы (104) вытекают два простых и важных следствия:

эта формула позволяет определить функционал J(u) не только на элементах области определения оператора А, но и на всех элементах энергетического пространства НА ;

в пространстве НА функционал J(u) достигает минимума при и = ио-

Если ио Є D(A), то по теореме 28 мо есть решение уравнения Аи = = /; однако энергетическое пространство Яд, вообще говоря, шире, чем D(A), и может случиться, что элемент мо, построенный по теореме Рисса и реализующий в энергетическом пространстве минимум функционала F(u), не попадет в D(A). В этом случае можно рассматривать мо как обобщенное решение уравнения Аи — /.

3.4.2. Вариационная постановка задачи в случае положительных операторов. Рассмотрим уравнение Аи = /, предполагая, что в выбранном гильбертовом пространстве симметричный оператор А положителен, но не положительно определен. По теореме 28 наше уравнение по-прежнему равносильно задаче о минимуме функционала (103), однако в данном случае эта вариационная задача, вообще говоря, неразрешима даже в обобщенном смысле. Укажем необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи.

Как и в случае положительно определенного оператора, можно построить энергетическое пространство Яд; на этот раз оно содержит не только элементы исходного пространства, но и некоторые новые элементы. Имеем (Аи, и) = |м|2, так что

У(и) = |м|2-2(м,/).

Для того чтобы задача о минимуме функционала F(u) имела решение в НА, необходимо и достаточно, чтобы в этом пространстве был ограничен линейный функционал (u,f). В этом случае по теореме Рисса существует такой элемент мо Є Яд, что (и,/) = [и,мо], если и Є НА; элемент мо реализует минимум функционала J(u) в пространстве Яд.

К положительным операторам часто приводят краевые задачи для бесконечных областей.

То обстоятельство, что мо Є Яд, можно интерпретировать физически так, что этот элемент имеет конечную энергию; если выполнено условие ограниченности функционала (м,/) в Яд, то соответствующий элемент щ будем называть решением с конечной энергией для уравнения Аи = /.

3.4.3 Вариационные постановки основных эллиптических задач. Рас-смотрим в L2 (О) самосопряженное уравнение эллиптического типа вто-рого порядка

" Э / ди \

Аи = - X fy (Ач ц) + СМ» = /м> = А»- (105)

Коэффициенты А,; и С в общем случае суть функции координат х\, X2, ¦ ¦., х„ переменной точки х\ в частных случаях эти коэффициенты могут быть и постоянными. Будем считать, что искомая функция должна быть определена в некоторой конечной области О.

Для эллиптических уравнений чаще всего ставятся следующие задачи, различающиеся по типу краевых условий, которые будем считать одно-родными.

Задача Дирихле, или первая краевая задача:

«1эа=°- (106)

Задача Неймана, или вторая краевая задача:

ди

= 0. (107)

да

[E^cosM]

Третья краевая задача:

= 0. (108)

да

Здесь п — внешняя нормаль к поверхности Эй, а — неотрицательная и отличная от тождественного нуля функция, определенная на поверхности Эй.

Если коэффициент С(х) > 0, то при краевых условиях (106) и (108) оператор А положительно определенный. Задача Дирихле сводится к задаче о минимуме функционала

J(u) = J(±A,J^+Cu>-2fu)(dx — элемент объема) на множестве функций, удовлетворяющих условию (106); третья краевая задача сводится к задаче о минимуме несколько иного функционала

у(и) = / (X AiJ^5T+Cu2-2fu)dx+/au2ds (110)

a J'J=i ' 1 да.

в классе функций, на которых этот функционал имеет конечное значение, т. е. в классе W2' (й). Краевому условию (108) подчинять эти функции нет необходимости, так как это условие естественное.

Если коэффициент C(JC) не только неотрицателен, но и отличен от нуля, то оператор А положительно определенный, и на множестве функций, удовлетворяющих условию (107), задача Неймана равносильна вариационной задаче о минимуме интеграла (109) на функциях класса W^Q). Краевое условие (107) естественное.

Особо остановимся на задаче Неймана в случае, когда С = 0. Уравнение (105) принимает вид

= (ПО

Задача Неймана для этого уравнения в общем случае неразрешима; необходимым и достаточным условием ее разрешимости является равенство

(/.1) = Jf(x)dx = 0. (112)

С другой стороны, если задача Неймана разрешима, то она имеет бесчисленное множество решений, которые различаются на постоянное слагаемое. Можно это слагаемое подобрать так, чтобы (и, 1) = 0. Теперь можно в уравнении (111) рассматривать данную функцию f(x) и искомую и(х) как элементы подпространства, ортогонального к единице. В этом подпространстве оператор До положительно определен на множестве функций, удовлетворяющих условию (107). Задача Неймана равносильна задаче о минимуме интеграла /

V 4 ди ди и

!,]= 1 0Х< °XJ

Si

на множестве функций из 1У2! (й), удовлетворяющих условию

(и,1) = Ju(x)dx = 0, (113)

эта вариационная задача разрешима и имеет единственное решение.

Иногда рассматриваются краевые условия смешанного типа: граница дО разбивается на две, части дО' и дО", искомое решение подчиняется условиям

ди

И1Э?У=0'

%A,j йcos Xj)+Н L»=(114)

Оператор А в уравнении (105) при этом положительно определенный, и «смешанная» краевая задача равносильна задаче о минимуме функционала

J{u) = j{iA^ + Cu2-lfu)dx+ / ou*dS a до."

на множестве функций, удовлетворяющих первому из условий (114); второе из этих условий естественное.

Замечание. Энергетический метод можно часто использовать и в том случае, когда краевые условия (107), (108) исходной задачи неод-нородны.

В заключение отметим, что помимо рассмотренных выше вариационных постановок задач в математической физике широко используется ряд других вариационных принципов и вариационных методов исследования задач (метод наименьших квадратов, метод Трефтца н другие).

3.5. Интегральные уравнения. Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.

3.5.1. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода. Многие задачи математической физики сводятся к линейным интегральным уравнениям вида

Jx(x,yMy)dy = f(x), (115)

Ф(дс) = xj X(x,y)q>(y)dy + f{x) (116)

n

относительно неизвестной функции ф(;с) в области О. С R". Уравнения (115) и (116) называются интегральными уравнениями Фредгольма 1-го и 2-го родов соответственно. Известные функции %{х,у) и f(x) называются соответственно ядром и свободным членом интегрального уравнения; X — комплексный параметр.

Интегральное уравнение (116) при / = 0

q>(x)=xJx(x,yMy)dy (117)

п

называется однородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода, соответствующим уравнению (116). Интегральные уравнения Фредгольма второго рода

V(jc) = xj lC(x,y)w(y)dy + g(x), (118)

n

y{x)=xjx'{x,y)y{y)dy, (119)

n

где 3C*(JC, >0 = (у, x), называются союзными к уравнениям (116) и (117) соответственно. Ядро 9С (х, у) называется эрмитово сопряженным (союзным) ядром к ядру Х(х, у)-

Запишем интегральные уравнения (116), (117), (118) и (119) сокращенно, в операторной форме:

ф = ХКц> + /, ф = ХКц>, \|/ = XK*\\f + g, \|/ - ХК*\|/,

где интегральные операторы К v. К* определяются ядрами %{х,у) и 0С(х, у) соответственно:

(Kf)(x) = J X_{x,y)f(y)dy, (K*f)(x) = J OC{x,y)f{y)dy.

?2 q

Тогда значение X, при котором однородное интегральное уравнение (117) имеет ненулевые решения из Lz(Q), называется характеристическим числом ядра %_(х,у), а соответствующие решения — собственными функциями этого ядра, соответствующими этому характеристическому числу. Таким образом, характеристические числа ядра %{х,у) и собственные значения оператора К взаимно обратны, а их собственные функции совпадают.

3.5.2 Интегральные уравнения Волътерра Пусть п = 1, область Q есть интервал (0, а) и ядро %{х, у) обращается в нуль в треугольнике О < х < у < а. Такое ядро называется ядром Волътерра. Интегральные уравнения (115) и (116) с ядром Вольтерра принимают вид

x x

I Х(х,у)ц>{у) dy = fix), ф(дс) = \J X {х,у)ф) dy + fix) о 0

и называются интегральными уравнениями Вольтерра 1-го и 2-го родов соответственно.

Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода дифференцированием можно свести к уравнениям 2-го рода

х

КЦх,х)ф) + j ^^ФО<)*У = Пх), о

если %{х,у) и 9Ccix,y) непрерывны при 0 < у < х < а, %{х,х) ф 0, х Є Є [0, а], /ЄС1 ([0, а]) и/(0) = 0.

3.5.3. Интегральные уравнения с полярным ядром Ядро

где Of(x, у) є C(Q х Q), называется полярным ядром; если а < и/2, то %_{х, у) называется слабо полярным ядром.

Известно, что:

для того чтобы ядро !К.(х, у) было полярным, необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывным при х фу, хбй, у € Q и удовлетворяло оценке

д

IXIX,Y)\ < а<".

если xix,y) — полярные ядра,

д

|ДС.(лс,у)| < ¦ _ ' іа,' < п, /=1,2,

и область Q ограничена, то ядро

ЯСз(*,У) = J X2{x,y')Xxiy\y)dy' а

также полярно, причем

д,

_^|а,+а2-н' если а1+а 2> п,

|ЯСЗС*>;У)| 3.5.4. Теоремы Фредгольма. Основу теории интегральных уравнений Фредгольма

ф = ХАГф + / (120)

с непрерывным ядром %{х, .у) и союзных к ним уравнений

\|i = XK*y + g (121)

составляют теоремы Фредгольма, совокупность которых называется альтернативой Фредгольма.

Альтернатива Фредгольма. Если ^интегральное уравнение (120) с непрерывным ядром разрешимо в C(Q) при любом свободном члене f Є C(Q), то и союзное к нему уравнение (121) разрешимо в C(Q) при любом свободном члене g Є C(Q), причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (120) разрешимо в C(Q) не при любом свободном члене /, то:

однородные уравнения (120) и (121) имеют одно (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

для разрешимости уравнения (120) необходимо и достаточно, чтобы свободный член f был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (121) (третья теорема Фредгольма);

в каждом круге < R может находиться лишь конечное число характеристических чисел ядра у) (четвертая теорема Фредгольма).

Переформулируем альтернативу Фредгольма в терминах характеристи-ческих чисел и собственных функций.

Если ХфХь, к= 1,2,..., то интегральные уравнения (120) и (121) однозначно разрешимы при любых свободных членах.

Если Х — Х/с, то однородные уравнения

К(р — Л*ф и K*\\f =

имеют одно (конечное) число Г* > 1 линейно независимых решений — собственных функций ф?,ф/я-іі--чф/и-г*-і ядра %{х,у) и собственных функций ],..., ядра 9С (х, у), соответствующих характе

ристическим числам Х/с и Х/с (г* — кратность Х^ и Л*).

Если X = А*, то для разрешимости уравнения (120) необходимо и до-статочно, чтобы

(f,Wk+ 0 = 0, і = 0,1,...,г4- 1.

Замечание. Теоремы Фредгольма переносятся и на интегральные уравнения с полярным ядром, а все собственные функции полярного ядра 7С(х, у), принадлежащие /-г(О), принадлежат С(?2).

3.5.5. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром. Ядро (х,у) называется эрмитовым, если оно совпадает со своим эрмитово сопряженным ядром, 3Q(x, у) = 7С (х,у)- Соответствующее интегральное уравнение

Ф(дс) = xj X{x,y)v(y)dy + f{x) (122)

я

при вещественных X совпадает со своим союзным, ибо К = К*. Это уравнение удобно рассматривать в пространстве /-г(О).

Пусть К — интегральный оператор с эрмитово непрерывным ядром %{х,у). Этот оператор переводит L-i(Q) (?2 — ограниченная область) в 1.2 (?2) и эрмитов:

(Kf,g) = (f,Kg), /,*єіг(0). (123)

Обратно, если интегральный оператор К с непрерывным ядром %.(х, у) эрмитов, то это ядро эрмитово.

Теорема 29. Всякое эрмитово непрерывное ядро %,(х, у) ф 0 имеет по крайней мере одно характеристическое число, и наименьшее по модулю характеристическое число А-і удовлетворяет вариационному принципу

ВП- s"p тмг <|24>

/е^г(й) 11/11

Теорема 3 0. Множество характеристических чисел {А*} не пусто, расположено на вещественной оси, не имеет конечных предельных точек; каждое характеристическое число имеет конечную кратность, система собственных функций {ф*} может быть выбрана ортонормальной,

(Фа.Ф i)=hi- (125)

Если ХфХь, к = 1,2,..., то уравнение (122) однозначно разрешимо при любом свободном члене / Є С(?2). Если X = А*, то для разрешимости уравнения (122) необходимо и достаточно, чтобы

(/,ф*+,)=0, « = 0,1,..1, (126)

где ф?,Ф*+і,...,Ф*+г*-і — собственные функции, соответствующие характеристическому числу Xk, и г* — кратность А*.

Замечание. Все сформулированные выше утверждения для интегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром остаются справедливыми и для интегральных уравнений с эрмитовым полярным ядром.

Пусть Xi,A.2,... — характеристические числа эрмитова непрерывного ядра ДС(лг, у)^0, расположенные в порядке возрастания их модуля, |A.i| < < |Л2|< ... и фі,Ф2,... — соответствующиеортонормальныесобственные функции, (ф*,ф,) = 5ь.

Говорят, что функция /(х) истокообразно представима через ядро 2С(х, у), если существует функция h Є Lz{Q) такая, что

/(*) = / зах, y)h(y) dy, хЄП. (127)

я

Теорема 31 (теорема Гильберта-Шмидта). Если функция f{x) истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро УС(х, у), / = Kh, то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра УС(х, у) сходится регулярно (и, значит, равномерно) на О. к этой функции:

(128)

Рассмотрим неоднородное интегральное уравнение

Ф = ХА:Ф + / (129)

с эрмитовым непрерывным ядром ЯС(X, у).

На основе теоремы Гильберта-Шмидта устанавливается следующее утверждение: если ХфХ^, к= 1,2,..., и /Є С{&), то (единственное) решение ф интегрального уравнения (129) представляется в виде равномерно сходящегося на Q ряда (формулой Шмидта)

= (во)

к= 1 *

Формула (130) остается справедливой и при А. = Xj, если в соответствии с третьей теоремой Фредгольма

(/> Фі+v) — 0) І = 0,\,...,rj — 1.

В этом случае решение уравнения (129) не единственно, и его общее решение дается формулой

ФМ = ? т^гФ^М+/W + X с,ф7+,м, (131) *=1 k~AJ 1=0

h&J

где с, — произвольные постоянные.

Многие задачи математической физики сводятся к интегральным уравнениям с вещественным эрмитовым ядром. Такие ядра называются сим-метричными; они удовлетворяют соотношению 9С(х, у) = Х.ІУ, х). Для этих интегральных уравнений справедливы утверждения, сформулирован-ные ранее для уравнений с эрмитовым ядром. Однако здесь имеет место ряд специфических результатов, Так, в частности, собственные функции симметричного ядра УС(х, у) можно выбрать вещественными.

Замечание. Теорема Гильберта-Шмидта переносится и на инте-гральные уравнения с эрмитовым слабо полярным ядром

= fа<ПГ Х'(х,у)=!К{х,у).