2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа

2.1. Точечные множества. Классы функций CP(Q), CP(Q). 2 1 1 Точечные множества Пусть R" (R1 = R) есть и-мерное вещественное евклидово пространство, х — (дгі, ,х„) — точка в R", где х„ і = 1,2, ,п, — координаты точки х Скалярное произведение и норму {длину) в R" обозначим соответственно через (д:,;у) = х,у,, |д:| =

= (Л,*)1/2 = (Х"=1Л'2)'/2 Тогда число |JC — есть евклидово расстояние между точками х и у

Множество точек х из R", удовлетворяющих неравенству |JC — jcol < R, называется открытым шаром радиуса R с центром в точке JCO Этот шар будем обозначать U(xo,R), UR = U(0,R)

Множество называется ограниченным в R", если существует шар, содержащий это множество

Точка хо называется внутренней точкой множества, если существует шар и(хоЛ), содержащийся в этом множестве Множество называется открытым, если все его точки внутренние Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кусочно гладкой кривой, лежащей в этом множестве Связное открытое множество называется областью Точка JCO называется предельной точкой множества А, если существует последовательность х/., k = 1,2, , такая, что х/.

Функция ХА(Х), равная 1 при х Є А и 0 при А, называется харак-теристической функцией множества А. _

Пусть Й — область. Точки замыкания Q, не принадлежащие Й, образуют замкнутое множество Эй, называемое границей области Й, так что ЭЙ = Й\Й.

Будем говорить, что поверхность ЭЙ принадлежит классу Ср, р > 1, если в некоторой окрестности каждой точки лго Є ЭЙ она представляется уравнением <0*0(х) = 0, причем gradcoX0(x) ф 0 и функция со^х) непрерывна вместе со всеми производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности.

Если Эй является кусочно гладкой класса С1 (или даже липшицевой), то почти во всех точках х є Эй существует единичный вектор внешней нормали п(х) к ЭЙ.

Пусть точка *о лежит на кусочно гладкой поверхности ЭЙ. Окрестностью точки лго на поверхности ЭЙ называется та связная часть множества dQ.C\U{xo\R), которая содержит точку лго-

Ограниченная область Й' называется подобластью, строго лежащей в области Й, если й' с Й; при этом пишут Й'Daf(x)

D°f(x)=f(xy,

Для низших производных употребляют обозначения fx,, fx,xj ¦ Пользуются также следующими сокращенными обозначениями:

п.

2.1.2. Классы С(Й), С(Й). Пусть а= (аі,А2,...,а„) — целочисленный вектор с неотрицательными составляющими aj (мультииндекс). Через Daf{х) обозначают производную функции f(x) порядка |а| = аі + + а2 + ... + а„: всех непрерывных функций в Q, а класс С(?2) = С0 (?2) можно отождествить с множеством всех непрерывных функций на Q.

Пусть функция f(x) задана на некотором множестве, содержащем область Q. В этом случае принадлежность / классу C(Q) означает, что сужение f на Q принадлежит Ср(О).

Введенные классы функций представляют собой линейные множества, т. е. из принадлежности функций / и g какому-либо из этих классов следует принадлежность этому же классу и любой их линейной комбинации Xf + ng, где X и ц — произвольные комплексные числа.

Функция / называется кусочно непрерывной в R", если существует конечное или счетное число областей Qk, к = 1,2,..., без общих точек с кусочно гладкими границами таких^что каждыйшар покрывается конеч-ным числом замкнутых областей {Q*} и / Є С(Й*)> к — 1,2,...

Кусочно непрерывная функция называется финитной, если она обращается в нуль вне некоторого шара.

Пусть ф € C(R").

Через C^°(R") обозначают множество бесконечно дифференцируемых функций с финитными носителями, а через CQ(Q.) — те из них, носители которых принадлежат Q С R".

2.2. Сведения из теории линейных пространств. Пространства

С(Й), С (Й), LP(Q).

2.2.1. Нормированные пространства. Пусть X есть линейное множество. Говорят, что на X введена норма ||-||х, если каждому элементу / Є X поставлено в соответствие неотрицательное число ||/||x (норма /) так, что выполнены следующие три аксиомы:

а) 11/11* - 11/11 х = 0 тогда и только тогда, когда f — 0;

б) Мх = |Л| ||/||х > ГДе ^ — любое комплексное число;

в) ІІ/ + ЯІІХ < її/її* + Ы\х (неравенство треугольника).

Всякое линейное множество, снабженное нормой, называется линейным нормированным пространством.

Пусть X — линейное нормированное пространство. Последовательность х„ Є X называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого є > 0 существует такое N = N(E), что для любого П> N и для всех натуральных р выполняется неравенство \\fn+p — /„ || < е. Пространство X называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Пусть X — линейное нормированное пространство. Множество Ac X называется компактным, если каждая последовательность его элементов содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из X.

Две нормы ІІ/Ц [ и ||/|І2 в линейном пространстве X называются экви-валентными, если существуют такие числа а > 0, Р > 0, что для любого / € X выполняется неравенство а||/||, < ||/||2 < P||/||i.

Линейные нормированные пространства X и Y называются изоморфными, если на всем X определено отображение J: X У, являющееся линейным, осуществляющее изоморфизм X и Y как линейных пространств и такое, что существуют такие постоянные а > О, Р > О, что для любого / є X выполняется неравенство а||/||х < ||7(/)||j/ < РІІ/Ц*.

Линейное нормированное пространство X называется вложенным в линейное нормированное пространство Y, если на всем X определено отображение J: X Y, являющееся линейным и взаимно однозначным на области значений, причем существует такая постоянная Р > О, что для любого / є X выполняется неравенство ||У(/)||у < РИ/Н* •

Банахово пространство X называется пополнением линейного нормированного пространства X, если X — линейное многообразие, всюду плотное в пространстве X.

Теорема 1. Каждое линейное нормированное пространство X имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометри-ческого отображения, переводящего X в себя.

2.2.2. Пространство непрерывных функций С (О.). Пусть Q — область из R". Множество непрерывных на ?2 = dQ U ?2 функций, для которых конечна норма

11/Нс(й) = sup|/(*)|,

jceQ

называют нормированным пространством С (О.). Известно, что пространство С(?2) банахово. Очевидно, сходимость —> /, к -> в C(Q) эквивалентна равномерной сходимости последовательности функций к = 1,2,..., к функции f(x) на множестве ?2. Справедлива также следующая

Теорема 2_ (теорема Вейерштрасса). Если О. — ограниченная область и f є С(?2), то для любого є > 0 существует полином Р такой, что

||Daf - DaP\\c < є при всех |<х| < р.

Ряд, составленный из функций Є С(?2), называется регулярно сходящимся на ?2, если ряд из абсолютных величин |/*(*)| сходится в С(?2), т. е. сходится равномерно на ?2. _

Множество М С С(?2) называется равностепенно непрерывным на ?2, если для любого є > 0 существует такое число 5е, что при всех / є М имеет место неравенство |/(*i) —/(дгг)| < є, как только |*i - хг\ < 8е, xi,Х2 Є ?2. _

Условия компактности множества из С(?2) определяются следующей теоремой.

Теорема 3_ (теорема Арцела-Асколи). Для компактности множества М С С (О.) необходимо и достаточно, чтобы оно было:

а) равномерно ограниченным, т. е ||/|| < К для любой функции / Є М',

б) равностепенно непрерывным на О,.

Пространства Q).

Л th\ftj\- / f{x + he,)-f(x) при [x,x + e,h]cQ,

0 при [XjJC + ejA]^Q.

Определим норму

IMI плі + Y c„n 1A'W/(*)1 ІІ/ІІсЦп) = ll/llqn) + 2, os"P к |,,х, •

i=lJtefi, |Л|<8 |Я|

Множество функций / Є C(Q), для которых норма ||/||сл.(й) конечна, образует гёльдерово пространство C*(Q). Из теоремы Арцела-Асколи следует, что множество функций, ограниченное в CX(Q), будет компактно в C(Qg), где Qg — множество точек х є ?2, для которых p(x,3Q) = = infj,e3Q [jc - > 5 = const > 0.

Если Ai = ... = X„ = X = 1, то функция f{x) называется непрерывной no Липшицу на Q. (f(x) липшицева на Q).

Пространство Lp{Q). Множество М С [а,Ь] имеет меру нуль, если для любого є > 0 существует такая конечная или счетная система отрезков [а„,Р„], что М С Ща„,Р„], Х„(Рн - а«) < е- Если Для последовательности /„(f) (п € N) всюду на [а,Ь], за исключением, быть может, множества меры нуль, существует предел, равный /(f),то говорят, что /,(f) сходятся к /(f) почти всюду на [а,Ь], и записывают lim„_> =/„(?) = /(f).

Пусть L\ [a,b] — пространство непрерывных на [а,Ь] функций с нормой

ь

11/11 = /1/(01*;

а

сходимость по этой норме называется сходимостью в среднем. Пространство L\[a,b] не полное; его пополнение называется пространством Лебега и обозначается L\[a,b]. Функция /(f) называется интегрируемой по Лебегу на отрезке [а, Ь], если существует такая фундаментальная в среднем последовательность непрерывных функций /„(f) (п є N), что

1ІП1/ЛО "=/(')•

Тогда интегралом Лебега по [а,Ь] от функции f(t) называется число

ь ь

J f(t)dt = \imj fn(t)dt.

а а

Элементы пространства L\[a,b] — это функции fit), для которых

ь

J \m\dt<~.

а

Рассмотрим теперь множество А С R".

Пусть Й с R" есть область. Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду в Й, если множество точек области Й, которое не обладает этим свойством, имеет меру нуль.

Функция f(x) называется измеримой, если она совпадает почти всюду с пределом почти всюду сходящейся последовательности кусочно непрерывных функций.

Множество А С R" называется измеримым, если его характеристическая функция ХА(Х) измерима.

Пусть Й есть измеримое множество из R". Тогда по аналогии с рассмотренным ранее случаем функций от одной независимой переменной можно ввести понятие интегрируемой по Лебегу функции f(x), х ? Й на Й, определить интеграл Лебега от /(*) и пространство L\{Q) инте-грируемых (по Лебегу) функций — банахово пространство функций /(*), для которых конечна норма

И/Имя) = /

а

где / есть интеграл Лебега. JA

Функция /(*) называется локально интегрируемой по Лебегу в области Й, / Є Аос(Й), если / Є ^і(Й') для всех измеримых Й'СЕ Й.

Пусть 1 < P < ОО. Множество измеримых по Лебегу функций /(*), определенных на й, для которых конечна норма

\\f\\P = \\f\\LpW=(j\№\Pdx)4P,

а

образует пространство LP(Q). Перечислим некоторые свойства пространств LP.

Теорема 4. Пусть й — ограниченная область в R". Тогда:

Lp(Q) является полным нормированным пространством-,

множество финитных функций С^°(Й) плотно в Lp(Q)\

множество финитных функций C^(R") плотно в Lp(R");

4) всякий линейный непрерывный функционал /(ф) в Lp(Q), 1 < р представим в виде

т=J mгде f € Lp»(Q), l/p+\/p' = 1;

5) функция f(x) Є LP(Q.), 1 < p < непрерывна в целом, т.е. для любого є > 0 найдется 5(e) > О такое, что

1/р

а

как только < 5(є) (здесь f(x) = О для х ? О.).

Теорема 5 (теорема Рисса). Для компактности множества М С С Lp(Q.), где 1 < р <°°, Й — ограниченная область в R", необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

а) И/НМЯ) < /€Af;

б) множество М равностепенно непрерывно в целом, т. е. для любого є > 0 найдется такое 5(e) > 0, что

(/\Ax + y)-f(x)\Pdx)l/Pдля всех f € М, если только [у| < 5(e) (здесь f(x) — 0 для х & Q.).

Для функций из пространств Lp справедливы следующие неравенства.

Неравенство Гёльдера. Пусть /і € /2 Є V(R"), l/p + + l/p' = 1. Тогда /і • /2 интегрируема на R" и

J\f\~h\dx <\\/х\\р\\/г\\^ (|M|Lp = |M|p).

r"

Обобщенное неравенство Минковского. Пусть f{x,y) — измеримая по Лебегу функция, заданная на R" х R'", тогда

|| J f(x,y)dy ! < J ||/(*,у)||р dy, 1 < р < со.

Rm Rm

Неравенство Юнга. Пусть р, г, q — вещественные числа, 1 < р < r"

Тогда

r"

II/^МІІЩ/ІІ,- 4) Неравенство Харди. Пусть 1 < р < Тогда

Jx~r\ Jf{t)dt ^ dx I,

0 0 о < с

J x~r\J f{t)dt" dx2.3. Пространство Ь,г(0). Ортонормальные системы.

2.3.1. Гильбертовы пространства. Пусть X есть линейное множество (вещественное или комплексное). Каждой паре элементов f,gmX поставим в соответствие комплексное число (f,g)x, удовлетворяющее следующим аксиомам:

а) (/> f)x > 0; (/, f)x = 0 при / = 0 и только в этом случае;

б) (/, g)x = (g> f)x (черта означает комплексное сопряжение);

в) ё)х = М/> 8)х Для любого числа X;

г) (f + 8,h)x = (f,h)x + (g,h)x•

При выполнении аксиом а)-г) число (/, g)x называется скалярным произведением элементов /, g из X.

Если (/, g)x есть скалярное произведение, то на X можно ввести

норму, ПОЛОЖИВ Н/ЦД. = (/,/)У . Аксиомы нормы а), Б), очевидно, выполнены, а третья аксиома вытекает из неравенства Коши-Буняковского

1(/,*)*1<11/1ЫЫ1х,

справедливого для произвольного скалярного произведения (/, g)x и нор-

1 /9

мы ІІ/ІІХ = (/> f)x ' порожденной скалярным произведением (/, g)x-

Если линейное пространство X с нормой ||/||х = (/, f)lJ2 является полным относительно этой нормы, то X называется гильбертовым.

Пусть X — пространство со скалярным произведением (f,g)x¦ Если (/, g)x = 0, то элементы /, g называются ортогональными и пишут / X g. Очевидно, что нуль пространства X ортогонален любому элементу из X.

Рассмотрим в X элементы /і,...,/т, все не равные нулю. Если (fk,fi)x = 0 при любых k,l = 1,...,т (к ф /), то система элементов f},...,fm называется ортогональной системой. Данная система называется ортонормированной (ортонормальной), если

при к = I, при к ф I.

Заметим, что если fi,...,f,n — ортогональная система, то /і,...,fm линейно независимы, т.е. из соотношения X\f\ +... + Am/,„ = 0, где Х\,...,Хт — некоторые числа, следует, что А* = 0, к = 1,..., т. Если задана «бесконечная» система ft, к = 1,2,..., т —? то она называется линейно независимой, если при любом конечном т система f\,...,fm линейно независима.

Теорема 6. Пусть h\, h2, ¦¦¦ € X — линейно независимая система элементов. Тогда в X существует такая ортогональная система элементов /і,/г,..., что

fk = aklhi + ak2h2 +... + akkhk, akl Є С, akk ^ 0, k = 1,2,...,

hj=bjXfl+bj2f2 + ... + bjjfj, bj, € С, ЬпфО, j= 1,2,...,

где С ес/иь множество комплексных чисел

Построение ортогональной системы по заданной линейно независимой системе называется ортогонализацией.

Ортогональная система фьфг, - - Є X называется полной, если любой элемент из X может быть представлен в виде так называемого ряда Фу- рье f=Y,kCk ф*' где Ск ~ (/>Ф*)/Н<М|2 - коэффициенты Фурье (т.е. ряд ^ скЧ>к сходится по норме X, и его сумма равна /). Полная ортогональная система называется ортогональным базисом пространства X.

Теорема 7. Пусть М — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве X и элемент / ^ М. Тогда существует такой единственный элемент g € М, что р(/, М) = |j/ —g|| = infjeJW ||/ - . Элемент g называется проекцией элемента / на М. Приведем некоторые примеры гильбертовых пространств.

Пример 1. Евклидово пространство R". Элементами R" являются вещественные векторы х = (JCJ ,... ,*„), а скалярное произведение задается по формуле (х,у) =

Пример 2. Пространство 12. В линейном пространстве вещественных последовательностей х = , у = (л)~= р таких, что х{ < ХГ=і Уь < °°> скалярное произведение определяется по формуле {х,у) =

ЕГ=1 Wk-

Пример 3. Пространство L2[a,b\. В линейном пространстве комп- лекснозначных функций, определенных (почти всюду) на [а,Ь], скалярное

Гь

произведение задается так: = / x(t)y(t)dt, где y(t) — функция, ком-

Ja

плексно сопряженная к у(г).

2.3.2 Пространство L2(Q). Совокупность всех функций f(x), для которых функция |/(*)|2 интегрируема по Лебегу на области Q, обознача-ется через L2(Q). Скалярное произведение И норма В L2(Q) определяются соответственно по формулам

(/ 8) = / f[x)gi.x)d*> П/П = (/ \№?dx)1/2 - (/, /)1/2,

?2 Q

после чего L2(Q) превращается в линейное нормированное пространство.

Последовательность функций fk, к = 1,2,..., из L2(Q) называется сходящейся к функции / Є L2(Q) в пространстве L2(Q) (или в среднем в L2(Q)), если - /|| 0, к при этом пишут fk-*f, в L2(Q).? Следующая теорема выражает свойство полноты пространства Lz(Q).

Теорема 8 (теорема Рисса-Фишера). Если последовательность функций fa, к = 1,2,..., из bi(Q) сходится в себе в Lг(Й), т.е. — — fp\\ —> 0, к -> о®, р о®, то существует функция f Є /-г(Й) такая, что || fk — /|| —> 0, к —? при этом функция f единственна с точностью до значений меры нуль.

Пространство L2(П) является гильбертовым пространством.

Множество функций М С называется плотным в /^(Й), ес"

ли для любой / € ^г(Й) существует последовательность функций из М, сходящаяся к / в Например, множество С(Й) плотно в

отсюда следует, что и множество полиномов плотно в если Q —

ограниченная область (в силу теоремы Вейерштрасса).

2.3.3. Ортонормальные системы. Согласно общему определению в Ьг(0) для гильбертовых пространств система функций {ф*(*)} нз

называется ортонормальной, если (ф*,ф,) = / = 5*,-. Вся-

Ja

кая ортонормальная в Li(Q) система {ф*(х)} состоит из линейно независимых функций. А если \|/i,\|/2,... есть система линейно независимых в функций, то она преобразуется в ортонормальную систему фі,Ф2,... следующим процессом ортогонализации Гильберта-Шмидта: Vi

IW

ф, =

Ф2 =

?2-(?2,ФІ)ФІ ||V2-(V2,Щ - (?ьф*-і)ф*-і - ¦•¦ - (?*,фі)фі

Ф* =

\\Wk~ (?ьф*-і)ф*-і -••¦- (?ьфі)фі||

Пусть система функций ф*, k = 1,2,..., ортонормальиа в /-г(Й) и / е /-г(Й). Числа (/, ф*) называются коэффициентами Фурье, а формаль-ный ряд Х~=1(/, Ф*)Ф*(*) — рядом Фурье функции / по ортонормальной системе {щ(х)}.

Если система функций ф*, к = 1,2,..., ортонормальна в то для

каждой f €/-г(Й) и любых (комплексных) чисел а\,аг,--- N = 1,2,..., справедливо равенство

? 2

/- Zj

к= 1

n . 2 n

/-Х(/,Ф*)Ф* + ?1(/,Ф*)-а*12- *= 1 1 *=1

Полагая в этом равенстве а* = 0, к = 1,2,..., vV, получаем следующее равенство:

/-?(/,Ф*)Ф* 2 = Н/||2-ЕК/'Ф*)12'

*=1

из которого вытекает неравенство Бесселя

Е1(/Ф*)12<||/112-

Кроме того, замечаем: для того чтобы ряд Фурье сходился к функции f в L2 (?2), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство Парсеваля-Стеклова (уравнение замкнутости)

Ік/,ф*)і2 = іі/н2- *=і

Пусть система <р*, k > 1, ортонормальна в L2(?2). Если для любой / Є L.2(Q.) ее ряд Фурье по системе {<р*} сходится к / в ^г(Й), то эта система называется полной (замкнутой) в ?2(Й) (ортонормальным бази-сом в L2(?2)). ИЗ этого определения и сформулированных ранее в данном разделе утверждений вытекает

Теорема 9. Для того чтобы ортонормальная система {(p/J была полной в L,2(Q.), необходимо и достаточно, чтобы для любой функции f из L2(Q) было выполнено равенство Парсеваля-Стеклова (уравнение замкнутости).

Справедлива также следующая теорема.

Теорема 10. Для того чтобы ортонормальная система {<р*} была полной в L2 (Й), необходимо и достаточно, чтобы каждую функцию f из множества М, плотного в L2{Sl), можно было сколь угодно точно приблизить в L2(Q.) линейными комбинациями функций этой системы

Следствие. Если Q — ограниченная область, то в ?2(Й) существует счетная полная ортонормальная система полиномов

Сформулируем следующее утверждение, дающее одну из возможностей построения ортонормальных систем в случае G С R" при большом значении п.

Лемма 1. Пусть области Q С R" и DC R"' ограничены, система функций \\ij(у), j = 1,2,..., ортонормальна и полна в L2{D) и при каждом j — 1,2,... система функций (р^(х), к — 1,2,..., ортонормальна и полна в L2{?1). Тогда система функций faj = 4>kj(x)\ij(y)> k,j — 1,2,.. , ортонормальна и полна в ^(йхО).

Замечание. Все сказанное о пространстве L2(?2) переносится и на пространство L2(?2;p) или L2(3Q) со скалярными произведениями

(/, si да

где вес р Є C(Q), р(х) > 0, х Є Й и дО. — кусочно гладкая граница области Й.

2.4. Линейные операторы и функционалы.

2.4.1 Линейные операторы и функционалы Пусть X,Y — линейные нормированные пространства, D(A) — некоторое линейное множество из X, a R(A) — линейное множество из Y. Пусть по некоторому правилу (закону) элементы из D{A) переводятся в элементы R{A) Тогда говорят, что задан оператор А с областью определения D(A) и областью значе- ний R(A), действующий из X в Y, т. е. А: X -? Y. Если Af = / при всех / Є D(A), то А называется тождественным (единичным) оператором, и он обозначается через /.

Пусть X, Y — линейные нормированные пространства, А: X ^ Y — отображение, или оператор, определенный в окрестности точки /о Є X. Он называется непрерывным в точке /о, если Л (/) —М(/о) при / —> /о.

Пусть А — оператор с областью определения D(A) С X и с областью значений R(A) С Y. Он называется ограниченным, если переводит любое ограниченное множество из D(A) в множество, ограниченное в пространстве Y.

Пусть X,Y — линейные нормированные пространства, оба вещественные или оба комплексные. Оператор А: X —> Y с областью определения D(A) С X называется линейным, если D(A) — линейное многообразие в X и для любых /ь/г Є D(A) и любых Х1Д2 Є R Є С) выполняется

равенство Л(Хі/і +Х2/2) =X\Af\ +Х2Л/2.

Множество N(A) = {/ Є D(A): A(X) = 0} называется множеством нулей или ядром оператора А.

Теорема 11. Линейный оператор А: X Y, заданный на всем X и непрерывный в точке 0 Є X, непрерывен в любой точке /о Є X.

Линейный оператор А: X ^ Y с D(A) = X называется непрерывным, если он непрерывен в точке 0 Є X. Линейный оператор А: X Y с D(A) = = X называется ограниченным, если существует с Є R, с> 0, такое, что для любого / Є Si (0) = {/: ||/||х < 1} справедливо неравенство ||Л/|| < с.

Теорема 12. Линейный оператор А: X Y с D(A) = X ограничен тогда и только тогда, когда для любого f Є X выполняется неравенство W\\Теорема 13. Линейный оператор А: X Y с D(A) = X непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Нормой ограниченного линейного оператора А : X Y с D(A) — X называется число ||ЛII = sup ЦА/11-

/ех, 11/11 <1

Совокупность операторов из X в Y с конечной нормой образует линейное нормированное пространство ограниченных линейных операторов L(X,Y).

Линейный оператор из X в Y называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное множество из X в компактное множество из Y.

Пусть А — линейный оператор, определенный на множестве D(A) С С X и действующий в Y. Оператор А называется замкнутым, если для любой последовательности {/„} элементов D(A) такой, что /„ ч /о Є € X, Af„ go Є Y, будет /о Є D(A) и Afo — go- Оператор А называют слабо замкнутым, если для любой последовательности элементов {/„} такой, что /„ слабо сходится к /о Є X, а А/„ слабо сходится к go Є Y, следует, что /о € D(A) и Afo = go-

Частным случаем линейных операторов являются линейные функцио-налы. Если линейный оператор I преобразует множество элементов М С X в множество комплексных чисел If, / Є М, т.е. I: X С, то / называется линейным функционалом на множестве М, значение функционала / на элементе / — комплексное число If — будем обозначать через (/,/) = 1(f) = {/,/). Непрерывность линейного функционала / означает следующее: если /* О, /:-»«>, в М, то последовательность комплексных чисел (/,/*), к-^оо, стремится к нулю.

Пусть на линейном пространстве всех линейных функционалов на X вводится норма ||/|| = sup|^||=1 |(/,л)|. Тогда совокупность ограниченных функционалов на X, т.е. таких функционалов, у которых норма конечна, образует банахово пространство, называемое сопряженным к X и обозначаемое через X*.

Будем говорить, что последовательность /і,/г, .- линейных функционалов на М слабо сходится к (линейному) функционалу / на М, если она сходится к / на каждом элементе / из М, т.е. (/*,/) (/,/), к

Последовательность {/„} элементов из X называется слабо сходящейся к /о Є X, если lim,,_><«,(/,/„) = (/,/о) для любого І Є X*.

Приведем некоторые примеры линейных операторов и функционалов.

Пример 1. Линейный оператор вида

Kf = Jx(x,y)f(y)dy, хе Й, fl

называется (линейным) интегральным оператором, а функция х,у) — его ядром. Если ядро є х Й), т. е.

J \X(x,y)\2dxdy = C2 <°°,

?2хД

то оператор К ограничен (и, следовательно, непрерывен) из ?2(Й) в ?2(Й).

Пример 2. Линейный оператор вида

Af=JJaaDaf(x), ? М*)№. т> О,

|сс|<ш |а|=т

называется (линейным) дифференциальным оператором порядка т, а функция аа(х) — его коэффициентами. Если коэффициенты аа(х) — непрерывные функции на области Й С R", то оператор А переводит Ст(Й) = D(A) в С(Й) = /?(Л). Однако оператор А не является непрерывным из С(Й) в С(Й). Отметим также, что оператор А определен не на всем пространстве С(Й), а лишь на его части — на множестве функций Ст(Й).

Пример 3. Линейный оператор

Af= ? [/9называется (линейным) интегро-дифференциальным оператором.

Пример 4. Примером линейного непрерывного функционала I на служит скалярное произведение (/,/) = (/,#), где g — фиксированная функция из LI(Q.). Линейность этого функционала следует из линейности скалярного произведения по первому аргументу, а в силу неравенства Коши-Буняковского он ограничен: |(/,/)| = |(/,?)| < ||?|| • ||/||, и, следовательно, непрерывен.

Обратные операторы. Пусть X,Y — линейные нормированные пространства, А: X Y — линейный оператор, отображающий D(A) на R(A) взаимно однозначно. Тогда существует обратный оператор Л-1: Y чХ, отображающий R(A) на D{A) взаимно однозначно и также являющийся линейным.

Линейный оператор А : X -? Y называется непрерывно обратимым, если R(A) = Y, А-1 существует и ограничен, т. е. А-1 Є L(Y,X).

Теорема 14. Оператор А~1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной т > 0 и любого х Є D(A) выполняется неравенство ||Ах|| > т ||лг||.

Теорема 1 5. Пусть X, Y — банаховы пространства, А Є L(Y,X), R(A) = Y и А обратим. Тогда А непрерывно обратим.

Сопряженные, симметричные и самосопряженные операторы. Пусть X,Y — линейные нормированные пространства, А : X Y — линейный оператор с областью определения Ъ(А), плотной в X, возможно, неограниченный. Введем множество D" С Y* таких / Є Y\ для которых при ф € X* имеет место равенство (Ax,f) = (л, ф). Оператор А*/ = ф с областью определения D(A*) — D* С Y* и со значениями в X* называется сопряженным к оператору А. Таким образом, {Ax,f) = {x,A*f) для любого х из D(A) и любого / из D(A*).

Линейный оператор А называется симметричным, если А С А* (т.е. D(A) С D(A*) и А = А* на ?>(Л)) и замыкание D(A) совпадает с X, т.е. D(A) = X. Линейный оператор А с D(A) = X называется самосопряженным, если А—А*.

Теорема 16. А* — замкнутый линейный оператор.

Теорема 17. Равенство D(A*) = Y* имеет место тогда и только тогда, когда А ограничен на D(A). В этом случае А* Є L(X*,Y*), ||Л*|| =

= ІИІІ-

Положительные операторы и энергетическое пространство. Симметричный оператор А, действующий в некотором гильбертовом про-странстве, называется положительным, если для любого элемента из об-ласти определения оператора справедливо неравенство (Аи,и) > 0, причем знак равенства имеет место только тогда, когда и = 0, т. е. когда и — ну-левой элемент пространства.

Если А — положительный оператор, то скалярное произведение (Аи,и) называется энергией элемента и по отношению к А.

Симметричный оператор А называется положительно определенным, если существует такая положительная постоянная у, что для любого элемента и из области определения оператора А справедливо неравенство (Ли,и) > Y2!!"!!2- Со всяким положительным (в частности, положительно определенным) оператором можно связать особое гильбертово пространство, которое называют энергетическим пространством. Пусть А — положительный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве H, и пусть М = D(A) — область определения этого оператора. Введем на М новое скалярное произведение (которое будем обозначать квадратными скобками): если и и v — элементы М, то положим [и, v] = (Au,v). Величину [m,v] назовем энергетическим произведением элементов и и v. Легко проверяется, что энергетическое произведение удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

В общем случае М неполное, по норме |м| = [и,и]1/2 пополним его. Построенное таким образом новое гильбертово пространство называют энергетическим пространством и обозначают через НА-

Норму в энергетическом пространстве называют энергетической нормой и обозначают символом |и|. Для элементов области определения М оператора А энергетическая норма определяется формулой |и| = у/(Аи,и). Сходимость в энергетическом пространстве называется сходимостью по энергии.

Важную роль играет вопрос о природе тех элементов, которые служат для пополнения и построения энергетического пространства. Если оператор А положительно определенный, то имеет место теорема, в силу которой все элементы пространства НА принадлежат также исходному гильбертову пространству Я; если и — элемент пространства НА, ТО имеет место неравенство ||к|| < (1/у)|м|, где символ || • || означает норму в исходном пространстве Н.

На элементы из М часто накладываются те или иные граничные условия. Элементы из НА, которые служат для пополнения М до НА, могут не удовлетворять некоторым из граничных условий, которые в данном случае называются естественными. Те из граничных условий, которым удовлетворяют как элементы из М, так и все элементы из НА, называются главными.

Если А — положительно определенный оператор, то из сходимости некоторой последовательности по энергии вытекает также ее сходимость в норме исходного пространства: если ип€ НА, и Є НА И |и„ — и\ 0, то и ||«„-м|| 0.

Симметричные положительные операторы и соответствующие им энергетические пространства играют важную роль при исследовании ва-риационных постановок задач математической физики.

(1)

Au = F

2.4.5. Линейные уравнения. Пусть А — линейный оператор с областью определения D(A) С X и областью значений /?(Л) С У. Уравнение называется линейным (неоднородным) уравнением. В уравнении (1) за-данный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из D(A) — решением этого уравнения. Если в уравнении (1) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Аи = О (2)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (1). В силу линейности оператора А совокупность решений однородного уравнения (2) образует линейное множество; в частности, и = О всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (1) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения и соответствующего линейного однородного уравнения (2):

и-UQ + й. (3)

Отсюда непосредственно заключаем: для того чтобы решение уравнения (1) было единственным в D(A), необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (2) имело только нулевое решение в D(A).

Пусть однородное уравнение (2) имеет только нулевое решение в D(A). Тогда для любого F Є R(A) уравнение (1) имеет единственное решение и Є D(A), и тем самым задан оператор А~1 — оператор, обратный к А, так что

u=A~lF. (4)

Из соотношений (1), (4) заключаем:

AA~XF — F, F Є R(A), A~lAu = u, и Є D(A), т.е. AA~l = / и A~lA = I.

2.4.6. Задачи на собственные значения. Рассмотрим линейное одно-родное уравнение

Аи = Хм, (5)

где X — числовой параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех X. Может случиться, что при некоторых X оно имеет ненулевые решения из D(A). Те комплексные значения X, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из D(A), называются собственными значениями оператора А, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число г (1 < г < линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению X, называется кратностью этого собственного значения; если кратность г = 1, то X называется простым собственным значением.

Совокупность собственных значений (чисел) оператора А называется его точечным спектром.

Если собственному числу X соответствуют собственные элементы «1, U2, и„ уравнения (5), то их любая отличная от нулевого элемента линейная комбинация с\и\ +C2U2 + ... + спи„, где с|,...,с„ —произвольные постоянные, также есть собственный элемент того же уравнения, соответствующий тому же собственному числу X. Таким образом, дополненное нулевым элементом множество собственных элементов данного уравнения, соответствующих данному собственному числу, линейно.

В весьма широких условиях (если оператор А — XI замкнут) это множество есть подпространство, называемое собственным подпространством уравнения (5), соответствующим собственному числу X; размерность этого подпространства равна кратности собственного числа.

Если кратность г собственного значения X оператора А конечна и «і, «2> •••) и г — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

Mo = С\и\ +С2«2 + •¦ - + CrUr (6)

также является собственным элементом, соответствующим этому собст-венному значению, и формула (6) дает общее решение уравнения (5). От-сюда и из формулы (3) вытекает: если решение уравнения

Au = Xu + f (7)

существует, то его общее решение представляется формулой

г

и = и + 2 ckukt (8)

*=і

где и* — частное решение (7) и ck, k = 1,2,..., г, — произвольные постоянные.

Предположим, что множество собственных значений симметричного оператора А не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: Xj ,Хг,..., повторяя Хк столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и\, мг, • • • так, чтобы каждому собственному зна-чению соответствовала только одна собственная функция ик:

Аик = Хкик, к= 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортого- нализации Гильберта-Шмидта. При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению.

Перечислим основные свойства собственных чисел и собственных элементов симметричных операторов.

Собственные числа симметричного оператора вещественны.

Собственные элементы симметричного оператора, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Если данному собственному числу соответствует несколько линейно независимых собственных элементов, то можно, применив к этим эле- ментам процесс ортогоналнзацин, сделать их ортогональными. Имея это в виду, можно считать, что совокупность всех собственных элементов симметричного оператора образует ортогональную систему.

Симметричный оператор может иметь либо конечное, либо счетное множество собственных чисел, которые можно поэтому записать в виде конечной или счетной последовательности Xi,A2,...,X„,... Разумеется, возможен и такой случай, когда симметричный оператор вовсе не имеет собственных чисел.

Собственные элементы положительно определенного оператора ортогональны в энергетическом пространстве.

Собственные числа положительно определенного оператора поло-жительны.

Замечание. Многие из перечисленных свойств собственных чисел и собственных элементов остаются справедливыми при рассмотрении общей задачи на собственные значения (9)

Аи = ХВи где А и В — симметричные положительно определенные операторы, причем D(A) С D(B).

2.5. Обобщенные производные. Пространства Соболева.

2.5.1. Обобщенные производные. Следуя С.Л.Соболеву, определим для локально суммируемой функции обобщенную производную.

Локально суммируемую на Q функцию (0а назовем обобщенной производной функции / Є Lioc (Й) порядка а = (cXi,..., а„), ak целые неотрицательные, k = 1,... ,п, если для любой функции <р Є Со°(Й) имеет место равенство

(10)

В дальнейшем будем обозначать (0а = Daf.

Рассмотрим некоторые свойства обобщенных производных. Равенство (10) ставит в соответствие локально суммируемой функции / единственную обобщенную производную порядка а. Это следует из леммы дю Буа-Реймонда.

Лемма 2 (лемма дю Буа-Реймонда). Для того чтобы локально сум-мируемая функция / была равна нулю почти всюду в области Й, необ-ходимо и достаточно, чтобы для любой функции <р Є Й) выполнялось

а

Теорема 18 (слабая замкнутость оператора обобщенного дифференцирования). Пусть /„ — последовательность локально суммируемых на ?2 функций. Если существуют такие СОо, (0а Є Аоо что для любых

финитных функций <р Є выполняются равенства

lim I f„dx= j (Jiotydx, (11)

?2 ?2

Hm J f„Da(f>dx = (- 1)1?2 ?2 то локально суммируемая функция (Oa является обобщенной производной порядка а функции (Оо-

Следствие. Пусть последовательность f„ Є Lp(Q), 1 < р < слабо сходится к /о Є Lp(Q.), а последовательность обобщенных производных Dafn Є Lp(Q.) слабо сходится к (0а Є LP(Q). Тогда /о имеет обобщенную производную порядка а и

Dafo = (йа. (13)

2.5.2. Пространства Соболева. Из теоремы 18 следует, что обобщенные производные по Соболеву можно рассматривать как предельные элементы сходящихся в LP(Q) последовательностей производных от гладких функций. Это свойство обобщенных производных широко используется в различных краевых задачах математической физики. Рассматриваемые задачи, как правило, сводятся к исследованию некоторого оператора, первоначально заданного на гладких функциях, который надо расширить до замкнутого оператора в некотором нормированном пространстве. Широкие классы дифференциальных операторов, рассматриваемых в пространстве типа Lp, будут замкнутыми, если их расширить на функции, имеющие обобщенные производные. Эта методика, предложенная в работах С. JI. Соболева и К. О. Фридрихса, позволила решить много трудных задач в теории дифференциальных уравнений и стала в настоящее время классической. Особенно важную роль здесь получили введенные С.Л.Соболевым классы функций Wp(Q,).

Определим классы Wj,(Q.) Соболева, где / = (/),.. .,/„), /, > 0, — целые числа, 1 < р < оо. Пусть функция / Є LP(Q) имеет несмешанные обобщенные производные Dlf Є Lp(Q.), і = 1,... ,п. Для таких функций определим норму Dl>f

(14)

МП)

Ііяцц, = пяімо, + S

(=1

Множество функций / Є LP(Q), имеющих обобщенные производные D'f, і= 1,...,л, для которых норма (14) конечна, назовем пространством Wp(Q.) Соболева. Впервые пространства Wp(Q.) были введены и изучены С. Л. Соболевым при lj = /,, /',/ = 1,... ,п.

Сформулируем некоторые из свойств пространств Wp(Q.), считая Q. ограниченной областью из R".

Теорема 19. Пространство Wp(Q,), / = (1\,...,1п), является полным нормированным пространством.

Множество М С Lp{Q), 1 < р называется слабо компактным, если каждая последовательность /„ С М содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой функции /о Є LP(Q).

Лемма 3. Всякое ограниченное множество М С Lp(Q.), 1 <р<°°, слабо компактно.

Будем говорить, что последовательность fm є Wlp(Q.), I = (l\,...l„), 1 < p < слабо сходится в Wp(Q.) к /о Є Wp(Q,), если:

fm слабо сходится в Lp(Q.) к /о Є Lp(Q);

обобщенные производные /У'/т слабо сходятся в LP(Q) к D1'/о Є Є Lp(Q) для і= 1,...,л.

Множество М С Wp(Q.)} I = (/i,...,/„), 1 < р < «>, называется слабо компактным, если каждая последовательность fm С М содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся в Wp(Q.) к некоторой функции

/о Є

Теорема 20. Всякое ограниченное множество М С И^(Й), / = = (/l ,...,/„), 1 < р < слабо компактно.

о . ,

Обозначим через Wp(Q) подпространство из Wp(Q), состоящее из пределов последовательностей функций из по норме |HU*(o). При

р = 2 пространства являются гильбертовыми со скалярным

произведением

(«.vW)= X [DauD^dx N<*n

и нормой

иц*(о) = (Е ІІ0<ХиіЬ(П))1/2

|<х|<*

(которая эквивалентна норме для И^(Й), введенной ранее).

Теорема 21. Пусть ?2 С R" есть ограниченная область с липшицевой границей Эй.

Если 1 < р, то существует постоянная С такая, что

11«ПМэй)<С||«|Ц1(П) Уиес'(й).

Если п < kp, X < к — п/р, то существует С такая, что

ll"llc*(Q) Если и Є и Dau = 0 на ЭЙ для |а| < к - 1, то и ЄИ^(Й).

Существует линейный ограниченный оператор Lext, отображающий Wp(Й) в (R"), так что Lextu(x) = и(х) при х Є Й.

5. Существует постоянная С = С(?2, к) такая, что

1ИЦ*(0)<С|И1^(0)11<"(*оГ 0 2.5.3. Формула Грина. Пусть ?2 Є R" есть ограниченная область с лип- шицевой границей Э?2, п(х) — единичный вектор внешней нормали к Э?2. Рассмотрим функцию и(х) из класса С1 (?2) (или даже из (?2)). Тогда справедлива формула интегрирования по частям

j Djudx= J unjdT (15)

а да

где nj — j-я координата вектора п(х).

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор А порядка т:

А = 2 ааГГ. (16)

|a|Пусть т = 2 и оператор А представим в виде

А = D* + 5У D; + a, a* = akJ. (17)

Тогда формально сопряженный (транспонированный) оператор есть

АТ = ^Dj{a'kDk) + Dj(a'j) +а, (18)

где ajk є С2, а' Є С1 и a'i = ^Dkajk — а-*. Везде суммирование осуществляется по j, k=l,...,n. Поскольку vAu - uATv = ^(Dj(vaJkDku - ua

то, применяя формулу интегрирования по частям, получаем следующее известное утверждение.

Теорема 22. Если Q есть ограниченная область с Липшиц евой границей и коэффициентами аа в дифференциальном операторе второго порядка А из класса C'a'(Q), то для произвольных функций u,v Є И^1 (О) справедлива формула Грина

J(vAu-uArv)dx= f (ao(v^-u~)+atuv}dr, (19) п да

где ао = (^(X^V/) ) ^ , а* — — и Nk = "^a^nj/ao есть ком

поненты конормали к дО, соответствующей оператору А.

Формула Грина широко используется при анализе и разработке численных методов решения самых разнообразных задач математической физики.