4. Методы расщепления для прикладных задач математической физики
Методы расщепления широко используются для численного решения разнообразных задач математической физики. При этом можно следовать двумя путями. Первый из них заключается в аппроксимации исходной задачи по пространственным переменным на первом этапе решения задачи и в последующем применении методов расщепления для аппроксимации задачи по временной переменной, т.
е. метод расщепления применяется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.Второй путь состоит в том, что сначала метод расщепления используется для редуцирования исходной задачи к системе подзадач с более простыми операторами, которые затем решаются известными численными методами.
Преимущество первого подхода к решению задач методами расщепления — в том, что не возникает проблем с граничными условиями для подзадач на «дробных шагах». Однако здесь сохраняются трудности с построением подходящих аппроксимаций по пространственным переменным, которые значительно возрастают в многомерных задачах.
Второй подход в настоящее время широко применяется для решения сложных задач математической физики. Поскольку в нем операторы краевых подзадач на дробных (промежуточных) шагах имеют более простую структуру, то построение их численных аппроксимаций значительно проще и нередко осуществляется хорошо изученными численными методами. Однако в данном подходе одна из трудностей связана с выбором граничных условий для «промежуточных подзадач». Следует отметить, что проблема выбора граничных условий для задач на дробных шагах и корректная аппроксимация граничных условий из исходной постановки вообще свойственны методам расщепления.
Ниже приводятся некоторые из методов расщепления для уравнений теплопроводности, Навье-Стокса, мелкой воды, а также при численном моделировании морских и океанических течений.
4.1. Методы расщепления для уравнения теплопроводности.
4.1.1.
Метод дробных шагов. Рассмотрим трехмерную задачу для уравнения теплопроводностиЭф
-г— — ДФ = 0 в Q х Qr,
dt * (59)
ф = 0 на dQ, q> = g в Q при t — О,
где Q = {(*,>>,г): 0 < х, у, z < 1}, Q, = (О, Т), g — заданная функция, Д = д2/дх1 + Э2/Эу2 + Э2/Эг2. Выполняя аппроксимацию (59) методом ко-нечных разностей по переменным х, у, г и учитывая при этом заданные граничные условия из (59), приходим к матричной эволюционной задаче
dф
— + Аф = 0 в Q,, ф = ? при t = О, dt
где (см. также пример из п. 2.3.1 )
А = Ax + Ay + Az,
AX=-(AXVX)=AU Ay = -(AyVy) = A2, Аг = -(Д:Уг)гЛ3, a g, ф-векторы, причем при формировании ф = ф(г) учитываются заданные граничные условия. Оператор А рассматривается в гильбертовом пространстве Ф = F с нормой
ч*= і /=і р= і Схема (44) в применении к задаче (59) имеет вид „7+1/3
ї — + Ліф7 ' = о,
т
Решение каждого уравнения из (60) можно просто осуществить методом факторизации (прогонки). Схема (60) абсолютно устойчива и имеет первый порядок аппроксимации по т, а значит, имеет место соответствующая теорема сходимости.
4.1.2. Локально-одномерные схемы Если в (43) операторы Аа (или их аппроксимации) одномерные дифференциальные, то соответствующую разностную схему называют еще локально-одномерной.
Теория локально-одномерных схем для ряда дифференциальных уравнений разработана А. А. Самарским. Сформулируем такую схему в приме-нении к задаче для уравнения теплопроводности:
Эф
тг- +Аф = / в QxQr, dt (61)
Ф|эя = Ф(г) (*>')> Ф = « в Q при f = 0,
где А = Xa=iAot' Аа = -д2/дх2, х= (хи...,хп) Є О. = {0 < ха < 1, а = = 1,...,н}. Предполагается, что задача (61) имеет единственное достаточно гладкое решение.
В случае t Є 9; = {tj < t < tj+i) будем вместо (61) решать последова-тельность уравнений
Эфа
-^-+Аафа=/а * Є Q, t Є 9;, а=1,...,л, (62)
с начальными условиями
Фі(*,0)=«, Фі (x,tj)=(f>„(x,tj), j = 1,2,...,
Фа(*,(/) = фа-і(*,(/+і), у = 0,1,..., а = 2,3,...,и,
где полагаем ф(х,г;+і) = ф„(х,/;+1).
Здесь /а — некоторые функции, такие, что /а = /. Граничные условия для фа задаются лишь на части dQa границы 3Q, состоящей из граней ха = 0 и ха = 1. Введем в О. равномерную сетку по каждой переменной с шагом h. Определим разностную аппроксимацию оператора Аа ¦ Да = -(Дюс^ха)/(Л2), а = 1,...,я. Переходя от (62) к разностным аппроксимациям задач по пространствен-ным переменным, когда фа,/а — векторы, Аа — матрицы, О. — сеточная область, а дОа — сетка на гранях ха = 0 и ха = 1, и выполняя аппроксимацию по г с помощью двухслойной неявной схемы первого порядка точности по т, приходим к локально-одномерной схемет +ЛаФ^'=/а(0+1/2), а=1,...,и, у = 0,1,..., (63) с начальными условиями
Ф?=«. ф{=ф/< у'=1,2,...,
(64)
Фа = Фа-'l' а = 2,3,...,и, у = 0,1,...,
и граничными условиями
J+1
Фа |ЭО«=Ф(П(0+0- (65>
Каждая из задач (63)-(65) при каждом фиксированном а есть одно-мерная первая краевая задача, и решить ее можно методом прогонки.
Чтобы найти приближенные значения решения исходной задачи на слое tj+i по данным на слое tj, надо последовательно решить п одномерных задач. Локально одномерная схема (63)-(65) устойчива по начальным и граничным данным и по правой части в метрике ||Ф||с = тахх,є?ї |ф7|, т. е. равномерно. Если же решение задачи (61) имеет единственное непрерывное в ОхО, решение ф = ф(х, /) ив QxQ, существуют производные
Э2ф Э4ф Э3ф Э2/
0 < а, (3 < п,
Э/2' Э4Э*2' Э/Э*2' Эх2'
то схема (63)-(65) равномерно сходится со скоростью 0(H2 + X), т. е. имеет первый порядок точности по т, поэтому
ІІФ'-Ф№<Л*(А2 + т), у =1,2,...,
где М = const не зависит от х и Л.
4.1.3 Схемы переменных направлений Пусть требуется решить следующую краевую задачу для уравнения теплопроводности без смешанных производных:
Эф
-+ДФ = /вахЯ„ (бб)
Ф|Э?2 = Ф(Г) (*•')> Ф = «М В Й при Г = 0,
где
А = У. Аа, Аа = — - ка - , а~Г[ оха ох а
х=(хи...,х2) Є & = {0 < ха < 1, а= 1,2}, ка> 0.
Предполагается, что задача (66) имеет единственное достаточно гладкое решение.
В Q = QUдО построим равномерную по ха сетку О1' с шагами «а- Операторы Аа заменим разностными операторами
Да-' Л«ф = -(ДХа^Улаф)/(/12).
В отличие от случая постоянных коэффициентов операторы Аа положительные и самосопряженные, но не перестановочные.
Вместо задачи (66) рассмотрим аппроксимирующую ее задачу^ + Лф = / в О.'1, Л = Лі + Аг, dt (67)
Ф1ЭП*=Ф(г)> (P = 8h в Qh пРИ ' = 0-
В соотношениях (67) фи/— теперь векторы, а Лі и Аг — матрицы. Будем считать, что решение ф принадлежит пространству Ф сеточных функций. В слое tj 7 = 0,1,2,..., с начальными условиями Ф?=«. (69) К уравнениям (68), (69) надо добавить разностные краевые условия, которые могут быть записаны, например, в виде Ф'+ІІао*=Ф(Г)(0+і)» Ф'+1/2Ц=Ф(г), (70) где — сетка на гранях ха = 0 и ха = 1, 1 т Ф(Г) = j [Ф(Г)(0+0 + Ф(Г)(0)] + -Л2[Ф(г)(0+і) -Ф(г)(0)]- Перепишем (68) в виде (71) Нф>+»/2 +^+>/2^+1/2 = FJ} FJ = lyJ - ДУ+/Л +Л f V+I =^+l/2, F^+I/2= ?ф^>/2_Д^1/2ф;+1/2 + fj Каждая из задач (71) с соответствующими условиями из (70) является одномерной первой краевой задачей, и ее можно решить методом прогонки. Если значение в узле ia рассчитывается, например, по формуле (*o)ia - [М*<а) +^а(хіа+і)]/2, 1 < la < Іа, то оператор Ла аппрок-симирует оператор Аа со вторым порядком, т.е. Лаф — Даф = Пусть ka = const Оператор Л самосопряжен и положителен в Ф. Введем метрику 11 = 112 = 1 11 = 1 12=1? В этой метрике схема (68)-(70) устойчива по начальным и краевым условиям и по правой части. Пусть решение задачи (66) имеет единственное непрерывное в QxQ, решение ф = ф(д:,г) и существуют в йхй, ограниченные производные Э3ф Э5ф Э4Ф Тогда схема (68)-(70) сходится в сеточной норме со скоростью О [у2 + |Л2|), так что ІІФ7 — ф(0)Ил < Л/(|А|2 -ь т2), где т — const не зависит от т и |й|. 4.2. Методы расщепления для задач гидродинамики. 4.2.1. Методы расщепления для уравнений Навье-Стокса. Рассмот-рим нестационарную задачу для уравнений Навье-Стокса ^-vAu+(u,V)u + Vp = f в й х (О, Т), at divu = 0 в йх(0, Т), (72) и = 0 на Г х [О, Т], и(х,0) = uo(x) в й, где й С R" — ограниченная область с границей Г, v = const > О, u = (ui,...,u„) — вектор-функция (вектор скорости), р — скалярная функция (давление), f є (?г(й х (0, Т)))п (причем почти при всех t Є (О, Т) функция / принадлежит замыканию гладких вектор-функций v = = (vj,..., v,i) с компактным носителем в й таких, что div v = dvjdxi — 0). о Считаем, что ио(х) Є (W2)", а также divuo = 0. Сформулируем некоторые из схем расщепления для (72). ,,л+1/2 ,, і -—-—- - V Ди"+1/2 + (ип+'/2, V)u"+1/2 + - (divu"+I/2)u"+1/2 = f" в Й, цН+1/2 _ Q на Др"+І = -divu"+'/2 в Й, ^=0наГ, Т on UH+1 =u,.+ i/2_TVpn+i в „-0,1,2,....yv, где нт Г = І / КГ,Х)Л> т=І. (и- 1)/т Здесь задача для и"+1/2 есть «обычная» нелинейная задача Дирихле, а задача для p"+l есть задача Неймана для уравнения Пуассона. Отметим, что граничные условия др/дп на Г для «истинного давления» p(t, х) не выполняются. Появление его для p"+l обусловлено ошиб-ками аппроксимации в принятой схеме расщепления. Численное решение задач для и"+1/2, р"+[ может быть осуществлено методами конечных разностей или конечных элементов с использованием подходов, применяемых к решению нелинейных уравнений. Вторая схема (схема переменных направлений): „н+1/2 _ „л — - v Ди"+1/2 + Vp"+]'2 + (u", V)u" = f"+1/2 в ?2, т/2 divu"+1/2 = 0 в Q, и"+1/2 = 0на Г, и"+1 _и"+1/2 + (и"+1/2, V)u"+I - vAu"+I/2 + Vp"+1/2 = f"+I в Q, т/2 где и0 = ио- Здесь задача для и"+1/2 есть линейная задача — «обобщенная задача Стокса», для решения которой разработаны многие эффективные алгоритмы, тогда как уравнение для u"+1 имеет первый порядок и может быть решено методом характеристик. Третья схема (схема переменных направлений с весом): „н+1/2 _ „н — - 6VvAu"+1^2 + рп+х!2 — (1 - 6)vAu" + (u", V)u" = tn+x'2, т/2 divu«+l/2 = 0 в Q и"+1/2 _ q на Г) „п+1 _ „н+1/2 - (1 - 6)vAu"+1 + (u"+1, V)u"+1 - 6vAu"+1/2+ т/2 +Vp"+I/2 = f"+1 в Q, u"+1 = 0 на Г. где и0 = ио, а «вес» 6 выбирается из интервала (0, 1). Дальнейшая реализация данной схемы состоит в численном решении обобщенной задачи Стокса и нелинейной задачи Дирихле. Исследование приведенных и ряда других схем расщепления для уравнений Навье-Стокса и разработка численных алгоритмов их реализации осуществлялись в работах А. Чорина, Р. Темама, Ф. Харлоу, Р. Гловинско- го, О.М.Белоцерковского, В.А.Гущина, В.В.Щенникова, В.М.Ковени, Г. 4.2.2. Метод дробных шагов для уравнений мелкой воды. Пусть О. С С R2 есть ограниченная область (в некоторой горизонтальной плоскости — «плоскости отсчета») с границей Г = dQ, п = (пх, пу) — единичный вектор внешней нормали к Г, т = (-пу, пх). Через х, у є Q = ?2ид?2 обозначим пространственные переменные, a t Є [О, Т] есть временная переменная. Предполагается, что Г = Гор U Гс (Гор П Гс = 0), где Гор = Um=i Гор,т (М < оо) есть открытая часть границы («жидкая граница»), тогда как Гс — замкнутая часть границы («твердая граница»). Пусть V(JC, у, t) = (и, v)r представляет собой вектор скорости, у, t) есть уровень жидкости в ?2 относительно плоскости отсчета, —ho(x, у) — глубина жидкости под этой плоскостью, h = ?+/»<)• Рассмотрим уравнения мелкой воды в консервативной форме ^^ + V • (Aw) - V • (/t,AVv) +ghVA = hF(v,h), dh (73) — + V • (Av) = 0, где F(v,A)=/(v,A)-/xv-^f, w V P /(v, A) = gVA0+ —u - —- = (/,, /2)г, v• V = divv, p ft p lx\=(-lv,lu)T, g — ускорение силы тяжести, / — параметр Кориолиса, С — коэффициент Шези, w = (wA, wy)T — напряжение силы ветра, Ра — атмосферное давление на свободной поверхности, р = const - плотность воды. Отметим, что влияние изменений глубины жидкости будет иметь место, если в (73) член F(v, А) задается в виде F(v,A)=/(v,/0-/xv-J^, где К — коэффициент Стриккера. В качестве граничных условий для v, А выберем следующие: д\ v„ = 0, /лА^-т = 0 на Гсх(0, Г), / dvn дА(г) \ 3vT (74) ІІІіНдї+дГ)=0' ^^=0наГорх(0,Г), (|vn| — vh)(A(d — А) = 0 на Гор х (0, Г), где v„ = (v, n), vT = (v, т), А(Г) — заданная функция. Начальные условия для v, А есть v = V(0), А = А(о) при / = 0, (х, у) Є ?2. (75) Запишем (73)-(75) в слабой форме: найти p = (v,A)eX = WxW21(?2) Vf, чтобы выполнились равенства (|в(а)ф,ф) + Х«і(ф;ф,Ф) = І/;(ф,Ф) we (о,г), (?g) ф = ф(0) при t = 0, V(p Є W х W2' (?2), где использованы следующие обозначения: <р=(у,/г)Г, ф = (v, h)T = (й, v, h)T, ф = (v> h)T = (й, v, h)T, W = (v = (Й, v)r: Й, veU^Q), (v, n) = 0 на rC)(v,x) = 0 на Гор}, a ві(ф;ф,ф) = - /*v(v, h{({V, n) + |((v, n)|)vv^r- ?2 Г -|/v-(Av)v*rfQ, а Є [-2,2], г ?2 а3(ф;ф,ф) = J(ghV ¦ (h\) - gh(\, V)h + lh{uv- vu)) dQ + + n)| + (v, п))АЫГ, г /і (Ф; Ф) = \ JHr)(|(v, n)| - (v,n))vvrfr, г /г(ф; Ф) = / (^V^AoP-^ + ^v^- Jni^p-(v, n) ?2 Г /з(ф; ф) = 5 /n)|-(v, п))Л(Г)й<ЛГ, г Г = r0urop)mfurop,out, Го = {х Є Г: (v(jt), n(x)) =0}, а Є [0, 2], Гop,mf = {х Є Г: (v(x), п(х)) < 0}, Г0Р(0Ш = {х6 Г: (v(x), п(х)) > 0}. Принимая ф = ф, равенства (76) можно переписать в операторной форме вида Э 3 3 д-В(Л)ф+Хл,(ф)ф=Х/.(ф). f є (о, Г), ф(0)=ф(0)> т і=і і=і где оператор {Л,} и функции правых частей {/,} определяются с помощью следующих соотношений: (А,(ф)ф,ф) =а,(ф;ф,ф), (/„ф) =/,(ф;ф) Щ, фЄХ, /=1,2,3. Пусть At > 0 есть шаг по временной переменной, ts — jAt, (у = = 0,1,...,/), атакже (p>,\J, ... есть значения ф, v, ... при t =tj. Предположим, что ф-'-1 известна, ф° = ф(0) • Тогда начально-краевую задачу для уравнений мелкой воды можно переформулировать следующим образом: найти ф Є X (Vr Є (tj, tJ+i)), удовлетворяющую уравнениям вида |в(Л)ф+ХЛ,(Ф)Ф = ?/,, от i=i i=i '€(0,0+1), ф(0)=фЛ у = 0,1,...,7-і. Легко проверить, что если а = 1, ho > 0 и С(ф) + V • (Av) /2 > 0, то (А,(ф)ф, ф) >0 Уф Є X. Эти свойства операторов {А,} позволяют сфор-мулировать схему дробных шагов: |B(h) Ф'+2/3(0) = Ф'+1/3(0+І), (77) +Аз(ф)ф'+1 =/З(Ф), t Є (0,0+1), <ря-'(0)=Ф'+2/3(0+і)> У = 0,1,... ,У — 1, ф"('о) = Ф(о), где ф = (v, h)T есть аппроксимация ф на (0,0+ 0- Пусть ф = dhvJ+1/3 + v {Ш+1/3) _ a v, 1/3 = о в at 2 йуЯ-'/з , vJ+1/3-n = 0 на rcx((j,rj+1), 'у О h\J+l/3 — A(r)V на Г1пГ(^)х(0,0+і), - V • (nihVvJ+2^) + (С(ф) + |V • (/iv)) v^+2/3 = = ^V($ftop-/»e) + ^ в Qx(0,0+i). йу^2/3 , т = 0, vJ+2/3-n на Гсх(г,,г,+1), h 'j+i on , Э^+2/3 Эй(п \ - Ь\1+г!г ц\ \h ^ n+-^j=0, ціИ ^ т = 0 на Гор х (t},t}+x), IT ,+і n dhvJ+l , /Г j+i л —^ Ihv* + gh—?—=0, +lhuJ +gh^r—=0 от ox dt dy , В Qx(tj,tj+1), g-^+gV-{h\J+l) = 0 в Qx(0,0+1), Av7+1 I = , hJ+x\t — I * 1 * . . 'O+i • n) = - V) на Гор x (,„ 0+1), vJ+l-n = 0 на rcx(/;,(J+i) 0 = 0,1,2 У- 1). (/») Если принять а = 2 и пренебречь членами, включающими /, то уравнения для vJ+1/3, vJ+1, hJ+l из (78) сводятся соответственно к следующим уравнениям: ;w+1/3 + (v,V)v'+1/3=0 в Qx(tj,tj+l), = А,, v = v на Г,„/ х (tj,tj+\), \J+l/3 • n = 0 на Гс х {tJy tJ+l), V• (h.VhJ+x) = 0 в ax(tjttj+i), hJ+x I =/^+2/3| , = -V- (ftv;+2/3) I , I tj lrJ+, dt Uj lr,+ , T.dhJ+l , д ( +1 |v„| + v„ , Kl-M . _ , . <79> + 2 (r) 2 )= Ha Г°рх(0.0+І)' dhJ+x ^ . 0 Ha rcx (0»0+0. dhvJ+x — —ghVhJ+ в Qx(0,0+1), dt hvJ+x I = hxJ+V3 O+i vJ+l n = 0 на Гсх(0,0+1), O+i а задача для \J+2/3 имеет тот вид, что и в (78) (при а = 2). (Обратим внимание на тот факт, что в схемах расщепления (78), (79) решена также проблема выбора граничных условий для задач на «дробных шагах».) Следующий этап численного решения исходной задачи состоит в решении начально-краевых задач из (78), (79). Для этого могут быть применены хорошо известные разностные схемы по t (явные или неявные, схемы расщепления и др.) и подходящие аппроксимации этих задач по пространственным переменным (метод конечных элементов, методы ко- иечных разностей, и т. д.). На основе результатов по теории данных схем и аппроксимаций могут быть сформулированы соответствующие утверждения для всего численного алгоритма решения уравнений мелкой воды. Приведенные выше схемы расщепления для уравнений мелкой воды предложены и исследовались В. И. Агошковым и Ф. Салери, которыми рассмотрены также и другие типы краевых условий. 4.3. Метод расщепления для модели динамики морских и океанических течений. 4.3.1. Нестационарная модель динамики морских и океанических течений. Рассмотрим систему уравнений динамики океана ди ди ди ди I др . Э ди + /v+ — — = цАи + at ах ay oz po ox az az dv dv dv dv , 1 dp д dv -Г- +urr-+v— + wrr- + lu+ v = flAv + — Vtt-, at ax dy dz po dy dz dz dp (80) Tz= ди dv dw dx dy dz d T d T dT dT _ d dT эГ + маx+v^ + wTz+yTW = ,iTAT + FzVT^ dS dS dS dS d dS dt+udx + vd^ + wdi+ysw = fls divsdi' p = aTT + asS. В качестве граничных и начальных условий для системы (80) примем условия ди -Tr dv —Ту dT , dS (81) Tz = ^r0> Tz-ф Э7=/з' dz = - = 1=0, | = 0, |=0, | = 0, w = 0 при z = Н, дТ dS н = 0, v = 0, ^ = 0, ^ = 0 на 2, ^ и = и°, v = v°, Г = Г°, 5 = 5° при t = tj. Отметим, что для системы (80) с граничными и начальными Условиями (81), (82) (а также при ряде других постановок граничных условий) имеет место единственность классического решения. Исключим из (80) функцию р и линеаризуем полученную систему уравнений на интервале времени tj-i ВФ = BF при t = 0. Здесь и V w Р Т S R і -Ро 1 0 Ро 1 Ri 0 1 А = 0 0 0 д э э дх *у dz 0 0 gaTE 0 0 ga.sE Po Е 0 0 0 0 0 0 Po Е 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8_агЕ 0 Ут 0 0 0 0 0 gas д_ дх д_ ду д_ dz о о о 0 0 -gasE 0 0 /?4 о о -gaTE 0 R3 0 Ф = и0 1 V0 0 О ¦рО 5° в = F = ys R,=D0 + D„ Do = divu7-1, / Э Э\ Предполагается, что решение задачи (83) принадлежит множеству не-прерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничным ус-ловиям (81). Введем скалярное произведение соотношением Оa,b) = YJ[a>b> dQ, i=iJ я где а, и Ь, — компоненты вектор-функций а и Ь. Можно убедиться, что на функциях из этого подпространства оператор А является неотрицательным. 4.3.2 Метод расщепления Представим оператор А в виде суммы двух операторов: О О О О О о r4 О О -gO-тЕ О О О А\ = 0 0 0 0 О О О /?з ООО о _Э Эд: Э ду ? dz О О О R1 о о о о о О О -gctsE О О О -ро IE о о Эу о о О Ро IE О а* о о ООО R2 О О ООО о — Аг = о _э dz gaTE ga-sE первый из которых — положительно полуопределенный, а второй — антиэрмитов: A =Ai +Aj, (Ліф, ф) > 0, (ЛгФ, ф) = 0. Рассмотрим теперь весь временной интервал 0 (84) В -+Аіфі=0, Вц\ на интервале tj-\ (85) В^-М2ф 2 = 0, B +1 В ^ +Л1Ф3 = 0, BQ>{ = • В покомпонентной форме задача (84) имеет следующий вид: Эй] ~эГ 3vi 9иі ¦fdivu7- иі = р&щ + 3~Vi 8z Эz ' /-і » д 3vi _ + divu7 'vi = fiAvi + тг-Vi -5-, dt dz oz V- + divuy '51= nASi + ^-Vs-^- ot dz az при условии divu7-1 =0, а также при граничных условиях (81) и начальных данных „Ґ1 = v^-1 = W-1, T{~x=Ti-\ = на интервале tj-1 от po ax dx dy dz dv2 . 1 dp2 dT2 -r lu2 + j- = 0, -^г+Ут^2 = 0, dt po dy dt ' dp? . dS2 _ -jg- = g(arT2 + asS2), -gjj- + ysw2 = 0 при условиях w2 = 0 при z = О, W2 = 0 при z = Н, (иг)п = 0 на 2 и начальных данных "2 — «1» — M> l2 — M' J2 — На последнем шаге расщепления (tj-i -г—-t-divu-' 'мз = fii Ди3 + -5-Vi —, от dz dz dv3 Э Эуз — h dlVU-' V3 = /І2 Д V3 + гг— V] -r , от аг ог ЭГз л Э Э7з -r— -t-divu-' '7з = IXtAT3 + ^-VT-^-, dt dz dz + divu7 'S3 = UsASs + ^-y/s-^- at dz dz при условии divu-'-1 =0, a также при граничных условиях (81) и начальных данных - — "J+l vi = v{+\ Ti = T'+\ S{ = S{+1 "з = "2 Решение подзадач, входящих во все этапы метода расщепления, можно осуществить методом конечных разностей или другими подходящими методами вычислительной математики.