4. Методы расщепления для прикладных задач математической физики

Методы расщепления широко используются для численного решения разнообразных задач математической физики. При этом можно следовать двумя путями. Первый из них заключается в аппроксимации исходной задачи по пространственным переменным на первом этапе решения задачи и в последующем применении методов расщепления для аппроксимации задачи по временной переменной, т.

Второй путь состоит в том, что сначала метод расщепления используется для редуцирования исходной задачи к системе подзадач с более простыми операторами, которые затем решаются известными численными методами.

Преимущество первого подхода к решению задач методами расщепления — в том, что не возникает проблем с граничными условиями для подзадач на «дробных шагах». Однако здесь сохраняются трудности с построением подходящих аппроксимаций по пространственным переменным, которые значительно возрастают в многомерных задачах.

Второй подход в настоящее время широко применяется для решения сложных задач математической физики. Поскольку в нем операторы краевых подзадач на дробных (промежуточных) шагах имеют более простую структуру, то построение их численных аппроксимаций значительно проще и нередко осуществляется хорошо изученными численными методами. Однако в данном подходе одна из трудностей связана с выбором граничных условий для «промежуточных подзадач». Следует отметить, что проблема выбора граничных условий для задач на дробных шагах и корректная аппроксимация граничных условий из исходной постановки вообще свойственны методам расщепления.

Ниже приводятся некоторые из методов расщепления для уравнений теплопроводности, Навье-Стокса, мелкой воды, а также при численном моделировании морских и океанических течений.

4.1. Методы расщепления для уравнения теплопроводности.

4.1.1.

Эф

-г— — ДФ = 0 в Q х Qr,

dt * (59)

ф = 0 на dQ, q> = g в Q при t — О,

где Q = {(*,>>,г): 0 < х, у, z < 1}, Q, = (О, Т), g — заданная функция, Д = д2/дх1 + Э2/Эу2 + Э2/Эг2. Выполняя аппроксимацию (59) методом ко-нечных разностей по переменным х, у, г и учитывая при этом заданные граничные условия из (59), приходим к матричной эволюционной задаче

dф

— + Аф = 0 в Q,, ф = ? при t = О, dt

где (см. также пример из п. 2.3.1 )

А = Ax + Ay + Az,

AX=-(AXVX)=AU Ay = -(AyVy) = A2, Аг = -(Д:Уг)гЛ3, a g, ф-векторы, причем при формировании ф = ф(г) учитываются заданные граничные условия. Оператор А рассматривается в гильбертовом пространстве Ф = F с нормой

ч*= і /=і р= і Схема (44) в применении к задаче (59) имеет вид „7+1/3

ї — + Ліф7 ' = о,

т

Решение каждого уравнения из (60) можно просто осуществить методом факторизации (прогонки). Схема (60) абсолютно устойчива и имеет первый порядок аппроксимации по т, а значит, имеет место соответствующая теорема сходимости.

4.1.2. Локально-одномерные схемы Если в (43) операторы Аа (или их аппроксимации) одномерные дифференциальные, то соответствующую разностную схему называют еще локально-одномерной.

Теория локально-одномерных схем для ряда дифференциальных уравнений разработана А. А. Самарским. Сформулируем такую схему в приме-нении к задаче для уравнения теплопроводности:

Эф

тг- +Аф = / в QxQr, dt (61)

Ф|эя = Ф(г) (*>')> Ф = « в Q при f = 0,

где А = Xa=iAot' Аа = -д2/дх2, х= (хи...,хп) Є О. = {0 < ха < 1, а = = 1,...,н}. Предполагается, что задача (61) имеет единственное достаточно гладкое решение.

В случае t Є 9; = {tj < t < tj+i) будем вместо (61) решать последова-тельность уравнений

Эфа

-^-+Аафа=/а * Є Q, t Є 9;, а=1,...,л, (62)

с начальными условиями

Фі(*,0)=«, Фі (x,tj)=(f>„(x,tj), j = 1,2,...,

Фа(*,(/) = фа-і(*,(/+і), у = 0,1,..., а = 2,3,...,и,

где полагаем ф(х,г;+і) = ф„(х,/;+1).

т +ЛаФ^'=/а(0+1/2), а=1,...,и, у = 0,1,..., (63) с начальными условиями

Ф?=«. ф{=ф/< у'=1,2,...,

(64)

Фа = Фа-'l' а = 2,3,...,и, у = 0,1,...,

и граничными условиями

J+1

Фа |ЭО«=Ф(П(0+0- (65>

Каждая из задач (63)-(65) при каждом фиксированном а есть одно-мерная первая краевая задача, и решить ее можно методом прогонки.

Чтобы найти приближенные значения решения исходной задачи на слое tj+i по данным на слое tj, надо последовательно решить п одномерных задач. Локально одномерная схема (63)-(65) устойчива по начальным и граничным данным и по правой части в метрике ||Ф||с = тахх,є?ї |ф7|, т. е. равномерно. Если же решение задачи (61) имеет единственное непрерывное в ОхО, решение ф = ф(х, /) ив QxQ, существуют производные

Э2ф Э4ф Э3ф Э2/

0 < а, (3 < п,

Э/2' Э4Э*2' Э/Э*2' Эх2'

то схема (63)-(65) равномерно сходится со скоростью 0(H2 + X), т. е. имеет первый порядок точности по т, поэтому

ІІФ'-Ф№<Л*(А2 + т), у =1,2,...,

где М = const не зависит от х и Л.

4.1.3 Схемы переменных направлений Пусть требуется решить следующую краевую задачу для уравнения теплопроводности без смешанных производных:

Эф

-+ДФ = /вахЯ„ (бб)

Ф|Э?2 = Ф(Г) (*•')> Ф = «М В Й при Г = 0,

где

А = У. Аа, Аа = — - ка - , а~Г[ оха ох а

х=(хи...,х2) Є & = {0 < ха < 1, а= 1,2}, ка> 0.

Предполагается, что задача (66) имеет единственное достаточно гладкое решение.

В Q = QUдО построим равномерную по ха сетку О1' с шагами «а- Операторы Аа заменим разностными операторами

Да-' Л«ф = -(ДХа^Улаф)/(/12).

В отличие от случая постоянных коэффициентов операторы Аа положительные и самосопряженные, но не перестановочные.

^ + Лф = / в О.'1, Л = Лі + Аг, dt (67)

Ф1ЭП*=Ф(г)> (P = 8h в Qh пРИ ' = 0-

В соотношениях (67) фи/— теперь векторы, а Лі и Аг — матрицы. Будем считать, что решение ф принадлежит пространству Ф сеточных функций. В слое tj ф7+1 -fXP~ + І(Лf''У^^фО = І/Л (68)

7 = 0,1,2,...,

с начальными условиями

Ф?=«. (69)

К уравнениям (68), (69) надо добавить разностные краевые условия, которые могут быть записаны, например, в виде

Ф'+ІІао*=Ф(Г)(0+і)» Ф'+1/2Ц=Ф(г), (70)

где — сетка на гранях ха = 0 и ха = 1,

1 т

Ф(Г) = j [Ф(Г)(0+0 + Ф(Г)(0)] + -Л2[Ф(г)(0+і) -Ф(г)(0)]-

Перепишем (68) в виде

(71)

Нф>+»/2 +^+>/2^+1/2 = FJ} FJ = lyJ - ДУ+/Л

+Л f V+I =^+l/2, F^+I/2= ?ф^>/2_Д^1/2ф;+1/2 + fj

Каждая из задач (71) с соответствующими условиями из (70) является одномерной первой краевой задачей, и ее можно решить методом прогонки.

Если значение в узле ia рассчитывается, например, по формуле (*o)ia - [М*<а) +^а(хіа+і)]/2, 1 < la < Іа, то оператор Ла аппрок-симирует оператор Аа со вторым порядком, т.е. Лаф — Даф = Пусть ka = const Оператор Л самосопряжен и положителен в Ф. Введем метрику

11 = 112 = 1 11 = 1 12=1? В этой метрике схема (68)-(70) устойчива по начальным и краевым условиям и по правой части.

Пусть решение задачи (66) имеет единственное непрерывное в QxQ, решение ф = ф(д:,г) и существуют в йхй, ограниченные производные

Э3ф Э5ф Э4Ф

Тогда схема (68)-(70) сходится в сеточной норме со скоростью О [у2 + |Л2|), так что

ІІФ7 — ф(0)Ил < Л/(|А|2 -ь т2), где т — const не зависит от т и |й|.

4.2. Методы расщепления для задач гидродинамики.

4.2.1. Методы расщепления для уравнений Навье-Стокса. Рассмот-рим нестационарную задачу для уравнений Навье-Стокса

^-vAu+(u,V)u + Vp = f в й х (О, Т), at

divu = 0 в йх(0, Т), (72)

и = 0 на Г х [О, Т], и(х,0) = uo(x) в й,

где й С R" — ограниченная область с границей Г, v = const > О, u = (ui,...,u„) — вектор-функция (вектор скорости), р — скалярная функция (давление), f є (?г(й х (0, Т)))п (причем почти при всех t Є (О, Т) функция / принадлежит замыканию гладких вектор-функций v = = (vj,..., v,i) с компактным носителем в й таких, что div v = dvjdxi — 0).

о

Считаем, что ио(х) Є (W2)", а также divuo = 0.

Сформулируем некоторые из схем расщепления для (72).

,,л+1/2 ,, і

-—-—- - V Ди"+1/2 + (ип+'/2, V)u"+1/2 + - (divu"+I/2)u"+1/2 = f" в Й,

цН+1/2 _ Q на

Др"+І = -divu"+'/2 в Й, ^=0наГ, Т on

UH+1 =u,.+ i/2_TVpn+i в „-0,1,2,....yv,

где

нт

Г = І / КГ,Х)Л> т=І.

(и- 1)/т

Здесь задача для и"+1/2 есть «обычная» нелинейная задача Дирихле, а задача для p"+l есть задача Неймана для уравнения Пуассона.

Отметим, что граничные условия др/дп на Г для «истинного давления» p(t, х) не выполняются. Появление его для p"+l обусловлено ошиб-ками аппроксимации в принятой схеме расщепления.

Численное решение задач для и"+1/2, р"+[ может быть осуществлено методами конечных разностей или конечных элементов с использованием подходов, применяемых к решению нелинейных уравнений.

Вторая схема (схема переменных направлений):

„н+1/2 _ „л

— - v Ди"+1/2 + Vp"+]'2 + (u", V)u" = f"+1/2 в ?2,

т/2

divu"+1/2 = 0 в Q, и"+1/2 = 0на Г,

и"+1 _и"+1/2

+ (и"+1/2, V)u"+I - vAu"+I/2 + Vp"+1/2 = f"+I в Q,

т/2

где и0 = ио- Здесь задача для и"+1/2 есть линейная задача — «обобщенная задача Стокса», для решения которой разработаны многие эффективные алгоритмы, тогда как уравнение для u"+1 имеет первый порядок и может быть решено методом характеристик.

Третья схема (схема переменных направлений с весом):

„н+1/2 _ „н

— - 6VvAu"+1^2 + рп+х!2 — (1 - 6)vAu" + (u", V)u" = tn+x'2,

т/2

divu«+l/2 = 0 в Q и"+1/2 _ q на Г)

„п+1 _ „н+1/2

- (1 - 6)vAu"+1 + (u"+1, V)u"+1 - 6vAu"+1/2+

т/2

+Vp"+I/2 = f"+1 в Q, u"+1 = 0 на Г.

где и0 = ио, а «вес» 6 выбирается из интервала (0, 1).

Дальнейшая реализация данной схемы состоит в численном решении обобщенной задачи Стокса и нелинейной задачи Дирихле.

Исследование приведенных и ряда других схем расщепления для уравнений Навье-Стокса и разработка численных алгоритмов их реализации осуществлялись в работах А. Чорина, Р. Темама, Ф. Харлоу, Р. Гловинско- го, О.М.Белоцерковского, В.А.Гущина, В.В.Щенникова, В.М.Ковени, Г.

4.2.2. Метод дробных шагов для уравнений мелкой воды. Пусть О. С С R2 есть ограниченная область (в некоторой горизонтальной плоскости — «плоскости отсчета») с границей Г = dQ, п = (пх, пу) — единичный вектор внешней нормали к Г, т = (-пу, пх). Через х, у є Q = ?2ид?2 обозначим пространственные переменные, a t Є [О, Т] есть временная переменная. Предполагается, что Г = Гор U Гс (Гор П Гс = 0), где Гор = Um=i Гор,т (М < оо) есть открытая часть границы («жидкая граница»), тогда как Гс — замкнутая часть границы («твердая граница»).

Пусть V(JC, у, t) = (и, v)r представляет собой вектор скорости, у, t) есть уровень жидкости в ?2 относительно плоскости отсчета, —ho(x, у) — глубина жидкости под этой плоскостью, h = ?+/»<)• Рассмотрим уравнения мелкой воды в консервативной форме

^^ + V • (Aw) - V • (/t,AVv) +ghVA = hF(v,h),

dh (73) — + V • (Av) = 0,

где

F(v,A)=/(v,A)-/xv-^f, w V P

/(v, A) = gVA0+ —u - —- = (/,, /2)г, v• V = divv, p ft p

lx\=(-lv,lu)T,

g — ускорение силы тяжести, / — параметр Кориолиса, С — коэффициент Шези, w = (wA, wy)T — напряжение силы ветра, Ра — атмосферное давление на свободной поверхности, р = const - плотность воды. Отметим, что влияние изменений глубины жидкости будет иметь место, если в (73) член F(v, А) задается в виде

F(v,A)=/(v,/0-/xv-J^,

где К — коэффициент Стриккера.

В качестве граничных условий для v, А выберем следующие:

д\

v„ = 0, /лА^-т = 0 на Гсх(0, Г),

/ dvn дА(г) \ 3vT (74)

ІІІіНдї+дГ)=0' ^^=0наГорх(0,Г),

(|vn| — vh)(A(d — А) = 0 на Гор х (0, Г), где v„ = (v, n), vT = (v, т), А(Г) — заданная функция. Начальные условия для v, А есть

v = V(0), А = А(о) при / = 0, (х, у) Є ?2. (75)

Запишем (73)-(75) в слабой форме: найти

p = (v,A)eX = WxW21(?2) Vf, чтобы выполнились равенства

(|в(а)ф,ф) + Х«і(ф;ф,Ф) = І/;(ф,Ф) we (о,г), (?g)

ф = ф(0) при t = 0, V(p Є W х W2' (?2), где использованы следующие обозначения:

<р=(у,/г)Г, ф = (v, h)T = (й, v, h)T, ф = (v> h)T = (й, v, h)T, W = (v = (Й, v)r: Й, veU^Q), (v, n) = 0 на rC)(v,x) = 0 на Гор},

a

ві(ф;ф,ф) = - /*v(v, h{({V, n) + |((v, n)|)vv^r-

?2 Г

-|/v-(Av)v*rfQ, а Є [-2,2], г

?2

а3(ф;ф,ф) = J(ghV ¦ (h\) - gh(\, V)h + lh{uv- vu)) dQ +

+ n)| + (v, п))АЫГ,

г

/і (Ф; Ф) = \ JHr)(|(v, n)| - (v,n))vvrfr, г

/г(ф; Ф) = / (^V^AoP-^ + ^v^- Jni^p-(v, n) ?2 Г

/з(ф; ф) = 5 /n)|-(v, п))Л(Г)й<ЛГ, г

Г = r0urop)mfurop,out, Го = {х Є Г: (v(jt), n(x)) =0}, а Є [0, 2],

Гop,mf = {х Є Г: (v(x), п(х)) < 0}, Г0Р(0Ш = {х6 Г: (v(x), п(х)) > 0}.

Принимая ф = ф, равенства (76) можно переписать в операторной форме вида

Э 3 3

д-В(Л)ф+Хл,(ф)ф=Х/.(ф). f є (о, Г), ф(0)=ф(0)> т і=і і=і

где оператор {Л,} и функции правых частей {/,} определяются с помощью следующих соотношений:

(А,(ф)ф,ф) =а,(ф;ф,ф), (/„ф) =/,(ф;ф) Щ, фЄХ, /=1,2,3.

Пусть At > 0 есть шаг по временной переменной, ts — jAt, (у = = 0,1,...,/), атакже (p>,\J, ... есть значения ф, v, ... при t =tj. Предположим, что ф-'-1 известна, ф° = ф(0) • Тогда начально-краевую задачу для

уравнений мелкой воды можно переформулировать следующим образом: найти ф Є X (Vr Є (tj, tJ+i)), удовлетворяющую уравнениям вида

|в(Л)ф+ХЛ,(Ф)Ф = ?/,, от i=i i=i

'€(0,0+1), ф(0)=фЛ у = 0,1,...,7-і.

Легко проверить, что если а = 1, ho > 0 и С(ф) + V • (Av) /2 > 0, то (А,(ф)ф, ф) >0 Уф Є X. Эти свойства операторов {А,} позволяют сфор-мулировать схему дробных шагов:

|B(h)J+l/3 + А,= /,(ф), t Є (tj, tj+i), ф'+1/3(0)= ф>(0),

Ф'+2/3(0) = Ф'+1/3(0+І), (77)

+Аз(ф)ф'+1 =/З(Ф), t Є (0,0+1),

<ря-'(0)=Ф'+2/3(0+і)>

У = 0,1,... ,У — 1, ф"('о) = Ф(о),

где ф = (v, h)T есть аппроксимация ф на (0,0+ 0- Пусть ф = Если функции q>J+!/3, q>J+2/3, (pJ+l, определяемые посредством (77), достаточно гладкие, то схема (77) может быть переписана в терминах диф-ференциальных операторов с соответствующими граничными условиями в следующей форме:

dhvJ+1/3 + v {Ш+1/3) _ a v, 1/3 = о в

at 2

йуЯ-'/з , vJ+1/3-n = 0 на rcx((j,rj+1),

'у О

h\J+l/3 — A(r)V на Г1пГ(^)х(0,0+і), - V • (nihVvJ+2^) + (С(ф) + |V • (/iv)) v^+2/3 =

= ^V($ftop-/»e) + ^ в Qx(0,0+i).

йу^2/3 , т = 0, vJ+2/3-n на Гсх(г,,г,+1),

h 'j+i on

, Э^+2/3 Эй(п \ - Ь\1+г!г

ц\ \h ^ n+-^j=0, ціИ ^ т = 0 на Гор х (t},t}+x),

IT ,+і n dhvJ+l , /Г j+i л

—^ Ihv* + gh—?—=0, +lhuJ +gh^r—=0

от ox dt dy

, В Qx(tj,tj+1),

g-^+gV-{h\J+l) = 0 в Qx(0,0+1),

Av7+1 I = , hJ+x\t —

I * 1 * . .

'O+i

• n) = - V) на Гор x (,„ 0+1), vJ+l-n = 0 на rcx(/;,(J+i) 0 = 0,1,2 У- 1).

(/»)

Если принять а = 2 и пренебречь членами, включающими /, то уравнения для vJ+1/3, vJ+1, hJ+l из (78) сводятся соответственно к следующим уравнениям:

;w+1/3

+ (v,V)v'+1/3=0 в Qx(tj,tj+l), = А,,

v = v на Г,„/ х (tj,tj+\), \J+l/3 • n = 0 на Гс х {tJy tJ+l),

V• (h.VhJ+x) = 0 в ax(tjttj+i),

hJ+x I =/^+2/3| , = -V- (ftv;+2/3) I ,

I tj lrJ+, dt Uj lr,+ ,

T.dhJ+l , д ( +1 |v„| + v„ , Kl-M . _ , . <79> + 2 (r) 2 )= Ha Г°рх(0.0+І)'

dhJ+x ^ .

0 Ha rcx (0»0+0.

dhvJ+x

— —ghVhJ+ в Qx(0,0+1),

dt

hvJ+x I = hxJ+V3

O+i

vJ+l n = 0 на Гсх(0,0+1),

O+i

а задача для \J+2/3 имеет тот вид, что и в (78) (при а = 2). (Обратим внимание на тот факт, что в схемах расщепления (78), (79) решена также проблема выбора граничных условий для задач на «дробных шагах».)

Следующий этап численного решения исходной задачи состоит в решении начально-краевых задач из (78), (79). Для этого могут быть применены хорошо известные разностные схемы по t (явные или неявные, схемы расщепления и др.) и подходящие аппроксимации этих задач по пространственным переменным (метод конечных элементов, методы ко- иечных разностей, и т. д.). На основе результатов по теории данных схем и аппроксимаций могут быть сформулированы соответствующие утверждения для всего численного алгоритма решения уравнений мелкой воды.

Приведенные выше схемы расщепления для уравнений мелкой воды предложены и исследовались В. И. Агошковым и Ф. Салери, которыми рассмотрены также и другие типы краевых условий.

4.3. Метод расщепления для модели динамики морских и океанических течений.

4.3.1. Нестационарная модель динамики морских и океанических течений. Рассмотрим систему уравнений динамики океана

ди ди ди ди I др . Э ди

+ /v+ — — = цАи +

at ах ay oz po ox az az

dv dv dv dv , 1 dp д dv

-Г- +urr-+v— + wrr- + lu+ v = flAv + — Vtt-,

at ax dy dz po dy dz dz dp

(80)

Tz= ди dv dw

dx dy dz d T d T dT dT _ d dT

эГ + маx+v^ + wTz+yTW = ,iTAT + FzVT^ dS dS dS dS d dS

dt+udx + vd^ + wdi+ysw = fls divsdi'

p = aTT + asS.

В качестве граничных и начальных условий для системы (80) примем условия

ди -Tr dv —Ту dT , dS

(81)

Tz = ^r0> Tz-ф Э7=/з' dz = - =

1=0, | = 0, |=0, | = 0, w = 0 при z = Н, дТ dS

н = 0, v = 0, ^ = 0, ^ = 0 на 2, ^

и = и°, v = v°, Г = Г°, 5 = 5° при t = tj.

Отметим, что для системы (80) с граничными и начальными Условиями (81), (82) (а также при ряде других постановок граничных условий) имеет место единственность классического решения.

Исключим из (80) функцию р и линеаризуем полученную систему уравнений на интервале времени tj-i (83)

ВФ = BF при t = 0. Здесь и

V w

Р Т S R і -Ро 1 0 Ро 1 Ri 0 1 А = 0 0 0 д э э дх *у dz 0 0 gaTE 0 0 ga.sE Po Е 0 0 0 0 0 0 Po Е 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8_агЕ 0 Ут 0 0 0 0 0 gas

д_ дх д_

ду д_

dz

о о о

0 0

-gasE

0 0 /?4

о о

-gaTE

0 R3 0

Ф =

и0 1

V0 0 О

¦рО

5°

в =

F =

ys

R,=D0 + D„ Do = divu7-1, / Э Э\

Предполагается, что решение задачи (83) принадлежит множеству не-прерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничным ус-ловиям (81). Введем скалярное произведение соотношением

Оa,b) = YJ[a>b> dQ, i=iJ

я

где а, и Ь, — компоненты вектор-функций а и Ь. Можно убедиться, что на функциях из этого подпространства оператор А является неотрицательным.

4.3.2 Метод расщепления Представим оператор А в виде суммы двух операторов: О О О О О

о r4 О О

-gO-тЕ

О О О

А\ =

0 0 0 0 О О О /?з

ООО

о

_Э Эд: Э

ду ?

dz О О О

R1 о о о о о

О О

-gctsE

О О О

-ро IE

о о

Эу о

о

О Ро IE О

а* о

о

ООО R2 О О ООО

о —

Аг =

о

_э

dz gaTE

ga-sE первый из которых — положительно полуопределенный, а второй — антиэрмитов: A =Ai +Aj, (Ліф, ф) > 0, (ЛгФ, ф) = 0.

Рассмотрим теперь весь временной интервал 0 < t ~дї

(84)

В

-+Аіфі=0, Вц\ на интервале tj-\ 7-1 -ВфГ1

(85)

В^-М2ф 2 = 0, B,Эф3

+1

В ^ +Л1Ф3 = 0, BQ>{ = • В покомпонентной форме задача (84) имеет следующий вид: Эй]

~эГ

3vi

9иі

¦fdivu7- иі = р&щ + 3~Vi

8z Эz ' /-і » д 3vi

_ + divu7 'vi = fiAvi + тг-Vi -5-,

dt dz oz V- + divuy '51= nASi + ^-Vs-^- ot dz az

при условии

divu7-1 =0,

а также при граничных условиях (81) и начальных данных „Ґ1 = v^-1 = W-1, T{~x=Ti-\ =

на интервале tj-1 + = о, ^ + ^ + ^ =

от po ax dx dy dz

dv2 . 1 dp2 dT2

-r lu2 + j- = 0, -^г+Ут^2 = 0,

dt po dy dt '

dp? . dS2 _

-jg- = g(arT2 + asS2), -gjj- + ysw2 = 0

при условиях

w2 = 0 при z = О, W2 = 0 при z = Н, (иг)п = 0 на 2

и начальных данных

"2 — «1» — M> l2 — M' J2 —

На последнем шаге расщепления (tj-i Эиз . ,_i d du3

-г—-t-divu-' 'мз = fii Ди3 + -5-Vi —, от dz dz

dv3 Э Эуз

— h dlVU-' V3 = /І2 Д V3 + гг— V] -r ,

от аг ог

ЭГз л Э Э7з

-r— -t-divu-' '7з = IXtAT3 + ^-VT-^-, dt dz dz

+ divu7 'S3 = UsASs + ^-y/s-^- at dz dz

при условии

divu-'-1 =0,

a также при граничных условиях (81) и начальных данных

- — "J+l vi = v{+\ Ti = T'+\ S{ = S{+1

"з = "2

Решение подзадач, входящих во все этапы метода расщепления, можно осуществить методом конечных разностей или другими подходящими методами вычислительной математики.