7. Метод собственных функций для задач теории колебаний

7.1. Свободные колебания однородной струны. Вернемся теперь к задаче о струне и рассмотрим более детально решение этой задачи не только для свободных, но и для вынужденных колебаний.

Функция u(x;t), описывающая колебания струны длины I с закреп-ленными концами, удовлетворяет уравнению

д2и 2д 2и ,, .

Л

первого рода и начальным условиям ы|,=о = ф(*)> тг — VM- Соответ-

ot /=о

-Л

ствующая задача о собственных значениях имеет уравнение +Xv = 0 9*

Для такого уравнения и краевых условий Дирихле задача о собственных значениях была решена в разделе 2. Собственные значения и собственные функции имеют вид А.,, = n2n2/l2, v„ = sin (міх/l). Будем искать решение нашей задачи в виде ряда Фурье

Е

, ч . ппх

w„(t) sin—. /1=1 '

Умножим исходное уравнение на (2//) sin (ппх/1) и проинтегрируем от О до /. Тогда

d2wn п2п2а2

—ГТ + —1T~W" = dr г

где а„ — коэффициенты Фурье правой части /. Начальные условия для w„ имеют вид

і і 2 [ , ч . ппх , , 9w„(0) 2 Г . . . лтис , w„(0) = - І ф(х) sin — dx = b„, d, = у J W sin — dx = c„.

о о

Решая уравнение для vv„, найдем решение и нашей задачи в виде ряда

Фурье. Каждое отдельное слагаемое ряда Фурье является стоячей волной

на нашей струне. Разберем несколько конкретных примеров.

Пример 1. f{x\t) = = 0, т.е. задача о свободных колебаниях струны, вызванных только начальной деформацией. В этом случае и>„ = = bncos(nnajl)t и u(x;t) = ^J)i_lb„cos(nna/l)tsin(nnx/l).

Пример 2. ф(дг) = = 0, /(*; t) = F(x) sin cor, т. е. колебания струны, вынуждаемые синусоидальной силой с плотностью амплитуды Г(х). В этом случае

/ ^ t \ ¦ ппх u{x-,t) = 2j w„(/)sin- a„l2 г . со/ . nnat] nna

где

, . а„Г г . Ш . ппагл . пп

W„(t) = 2 2 2 272 sinCOr —;— '

aVn -ОГГ L nna I J I

I

2 f ч • nnx ,

a„ = -¦ I F{x)sm — dx Если же со = (kna/l) при некотором п = k, то w* = (2i/2(02)[sin(0f - — cor cos сог].

Пример 3. ф(л) = 0, f(x; t) = О,

О, х<хо — 8,

у(дг) = { ч/(х) >0, -со - 6 < х < хо + 5, 0, *>*о + 5,

лч>+5

причем I \j/(jc) dx = A. Задача описывает свободные колебания струны, Jxo-S

возникшие под влиянием начального импульса А, сосредоточенного вблизи точки хо (8 считаем весьма малым). В этом случае решение задачи представится в виде ряда

. . 2А ^ 1 . mtxo . nnat . nitx

u(x-,t) = — > -sin—-—sin sin——.

па I I I

7.2. Колебания струны с подвижным концом. Перейдем к задаче с неоднородными краевыми условиями. Рассмотрим колебания струны, находившейся в покое при t — 0, правый конец которой при t > 0 вынужден двигаться по закону u(l, t) = %(t), в то время как левый конец ее закреплен. Никаких сил, распределенных по длине струны, нет.

Собственные значения и собственные функции здесь те же, что и в предыдущей задаче, и решение ищем по-прежнему в виде ряда Фурье. Уравнение для wn будет иметь вид

,, п2112а2 2ппа2. ... . .

< + —р— w» = —jr-M)х(0.

а начальные условия будут wn (0) = и/(0) = 0.

Пусть для конкретности х(0 = Л sin cor. Тогда, если со ф ппа/1, будем иметь 2пла2А = 2~2 ' 272 (- 0

со/ . ппаП

sin cor sin —¦—I

una I J

nitx

u(x;t) = X "'„(/jsin — n= і 1

Если же одна из собственных частот, например, к-я, резонирует с вынужденным колебанием конца струны (т.е. если со = кпа/l), то соответствующими слагаемыми ряда будут

кпх ы а г . і . кпх

Wi(r)sin—— = (-1V — A sin cor - со/ cos со/ sin——. / /со J /

ди дх

- ^ х=0 Эх

= 0.

В этой задаче функция и означает уплотнение газа. Задача о собственных значениях при таких краевых условиях решена в разделе 2. Собственные значения и собственные функции будут иметь вид А.,, = (п2п2/12), и = 0,1,..., мо = 1/2, и„ = cos(ппх/1), /1=1,2,... Поэтому для п = = 0,1,2,... имеем

7.3. Задача акустики о свободных колебаниях газа.

2 Г . . ппх , 2 Г . . ппх ,

а„ = О, b„=- I ф(х) cos — dx, Си — у / VW cos — dx.

о о

Решение и будем искать в форме

u(x;t) = ^w0(r)+ ? w„(/)cos^.

1 и=1 '

Как и в п. 7.1, для коэффициентов и>„ получим уравнение и начальные условия.

Рассмотрим простой конкретный пример колебаний, вызванных только начальным уплотнением = 0). В этом случае w„ = bncos(nnat/l), и поэтому

1 nnat ппх

u(x;t) = -bo-\- 2j Oh COS—— cos —. ^ n=l It

Заметим, что колебания газа можно рассматривать как результат наложения прямых и обратных полуволн, отражающихся от концов трубы, однако здесь отражение происходит без изменения знака.

7.4. Колебания мембраны с закрепленным краем. Рассмотрим прямоугольную мембрану со сторонами р и q с закрепленным краем. Функция и, описывающая колебания такой мембраны, удовлетворяет уравнению

d2U 2 а

-j-a'Au = F(x, у), д Г — и = и = и = 0 дг=0 х=р у=0 y=q где F — плотность внешней силы, краевым условиям и

и начальным условиям

ди

= А (х,у), — /г(х,у),

t=o at t=о

где /і (начальная деформация) и /г (начальная скорость частиц мембраны) — заданные функции.

Соответствующая прямоугольнику и краевым условиям система собственных функций имеет вид

. тпх . ппу vm „ = sin sin .

р я

Найдем коэффициенты Фурье функций F, /і, f2 по функциям этой системы и обозначим их через аШі„, bm>n, cm,„ соответственно. Будем искать решение задачи в виде ряда Фурье по этим же функциям

Умножая уравнение на (4/pq) sin (тих/р) sin (ппу/q) и интегрируя по прямоугольнику й, найдем после обычных преобразований уравнение для

иЧ»(0

d2wm,n , 2—2 f"2 , "21

— 1-ая I т" -1 j I Wm „ = а,„ „

dr L/r ^J

и начальные условия

dwm„

w„

— Ьт,п і

t—0

1=0 dt

Определив отсюда wm „ и подставив его в ряд Фурье, получим искомое решение.

В качестве примера рассмотрим свободное колебание мембраны под влиянием одной только начальной деформации: F = О, /2=0.

В этом случае ат<п — ст,„ — 0 уравнение для wm^„ сведется к следующему виду: и 1

+ — wm<„ =0.

т п

7 я

" . 2_2 wm,„+a "

Его общее решение имеет вид

/22 /22 т п _ т п

WMN — ncosaTi\j -J + —2 * + Вт „s'malti —T + ^T.

V p Я V P Я

Начальные условия дают Вт п = 0, Л„, „ = Ьт „. Поэтому

, /от2 и2 . тих . ппу и = > bmncosalt\ -у + —zt sin sin .

m% і ' V P Я P Я

Таким образом, частотами, соответствующими каждой стоячей волне, являются числа

1т2 п2 Ш/и,и = аЩ / —г + ~2-

V Р Я

Если со,,,,,, одинаковы при двух различных парах т и и, то имеем две стоячие волны с одинаковой частотой. Их сумма также дает стоячую волну с той же частотой.

7.5. Задача о колебании круглой мембраны. Рассмотрим колебание круглой мембраны радиуса R с закрепленным краем. Эта задача решается так же, как и предыдущая, с той лишь разницей, что для круга будем иметь систему собственных функций

v2m— 1 ,и = j,n fajj) sin/Пф, V2,„,„ = Jm {К COS/Иф,

соответствующих собственным значениям Л-2/л — I,н = А.2,„,„ = (х^)2//?2, где — корень уравнения Jm(x) = 0. Будем искать и в форме

п=0

+

о©

? [W2m-l,„(0sin/n1

Для wkn получаем уравнение (И"1)2

(к = 2т — 1; * = 2т)

R

и начальное условие wM(0) = , = ск<11.

Если внешняя сила отсутствует, то ак<„ = 0, и поэтому

V" у>а

Wkn(t)=Akcosa-2-t + Bks\na-2-t (к = 2т-\, к —2т). ' R R

Таким образом, числа ax%/R являются частотами собственных колебаний

мембраны.

Заметим теперь, что если начальная деформация, начальная скорость и внешняя сила обладают центральной симметрией (т.е. не зависят от (р), то при к > 0 akt„, bk 0, а ряд Фурье сводится к

V woAO , ( ог\