<<
>>

7. Метод собственных функций для задач теории колебаний

7.1. Свободные колебания однородной струны. Вернемся теперь к задаче о струне и рассмотрим более детально решение этой задачи не только для свободных, но и для вынужденных колебаний.

Функция u(x;t), описывающая колебания струны длины I с закреп-ленными концами, удовлетворяет уравнению

д2и 2д 2и ,, .

где f(x,t) — плотность внешней силы, однородным краевым условиям

Л

первого рода и начальным условиям ы|,=о = ф(*)> тг — VM- Соответ-

ot /=о

ствующая задача о собственных значениях имеет уравнение +Xv = 0 9*

Для такого уравнения и краевых условий Дирихле задача о собственных значениях была решена в разделе 2. Собственные значения и собственные функции имеют вид А.,, = n2n2/l2, v„ = sin (міх/l). Будем искать решение нашей задачи в виде ряда Фурье

Е

, ч . ппх

w„(t) sin—. /1=1 '

Умножим исходное уравнение на (2//) sin (ппх/1) и проинтегрируем от О до /. Тогда

d2wn п2п2а2

—ГТ + —1T~W" = dr г

где а„ — коэффициенты Фурье правой части /. Начальные условия для w„ имеют вид

і і 2 [ , ч . ппх , , 9w„(0) 2 Г . . . лтис , w„(0) = - І ф(х) sin — dx = b„, d, = у J W sin — dx = c„.

о о

Решая уравнение для vv„, найдем решение и нашей задачи в виде ряда

Фурье. Каждое отдельное слагаемое ряда Фурье является стоячей волной

на нашей струне. Разберем несколько конкретных примеров.

Пример 1. f{x\t) = = 0, т.е. задача о свободных колебаниях струны, вызванных только начальной деформацией. В этом случае и>„ = = bncos(nnajl)t и u(x;t) = ^J)i_lb„cos(nna/l)tsin(nnx/l).

Пример 2. ф(дг) = = 0, /(*; t) = F(x) sin cor, т. е. колебания струны, вынуждаемые синусоидальной силой с плотностью амплитуды Г(х). В этом случае

/ ^ t \ ¦ ппх u{x-,t) = 2j w„(/)sin- a„l2 г . со/ . nnat] nna

где

, . а„Г г . Ш . ппагл . пп

W„(t) = 2 2 2 272 sinCOr —;— '

aVn -ОГГ L nna I J I

I

2 f ч • nnx ,

a„ = -¦ I F{x)sm — dx Если же со = (kna/l) при некотором п = k, то w* = (2i/2(02)[sin(0f - — cor cos сог].

В этом случае говорят, что внешняя сила находится в резонансе с к-й частотой струны.

Пример 3. ф(л) = 0, f(x; t) = О,

О, х<хо — 8,

у(дг) = { ч/(х) >0, -со - 6 < х < хо + 5, 0, *>*о + 5,

лч>+5

причем I \j/(jc) dx = A. Задача описывает свободные колебания струны, Jxo-S

возникшие под влиянием начального импульса А, сосредоточенного вблизи точки хо (8 считаем весьма малым). В этом случае решение задачи представится в виде ряда

. . 2А ^ 1 . mtxo . nnat . nitx

u(x-,t) = — > -sin—-—sin sin——.

па I I I

7.2. Колебания струны с подвижным концом. Перейдем к задаче с неоднородными краевыми условиями. Рассмотрим колебания струны, находившейся в покое при t — 0, правый конец которой при t > 0 вынужден двигаться по закону u(l, t) = %(t), в то время как левый конец ее закреплен. Никаких сил, распределенных по длине струны, нет.

Собственные значения и собственные функции здесь те же, что и в предыдущей задаче, и решение ищем по-прежнему в виде ряда Фурье. Уравнение для wn будет иметь вид

,, п2112а2 2ппа2. ... . .

< + —р— w» = —jr-M)х(0.

а начальные условия будут wn (0) = и/(0) = 0.

Пусть для конкретности х(0 = Л sin cor. Тогда, если со ф ппа/1, будем иметь 2пла2А = 2~2 ' 272 (- 0

со/ . ппаП

sin cor sin —¦—I

una I J

nitx

u(x;t) = X "'„(/jsin — n= і 1

Если же одна из собственных частот, например, к-я, резонирует с вынужденным колебанием конца струны (т.е. если со = кпа/l), то соответствующими слагаемыми ряда будут

кпх ы а г . і . кпх

Wi(r)sin—— = (-1V — A sin cor - со/ cos со/ sin——. / /со J /

ди дх

- ^ х=0 Эх

= 0.

В этой задаче функция и означает уплотнение газа. Задача о собственных значениях при таких краевых условиях решена в разделе 2. Собственные значения и собственные функции будут иметь вид А.,, = (п2п2/12), и = 0,1,..., мо = 1/2, и„ = cos(ппх/1), /1=1,2,... Поэтому для п = = 0,1,2,... имеем

7.3. Задача акустики о свободных колебаниях газа.

Разберем теперь задачу о свободных колебаниях газа в закрытой тонкой трубке. Матема-тическая модель этой задачи отличается от предыдущей только краевыми условиями, которые теперь имеют вид

2 Г . . ппх , 2 Г . . ппх ,

а„ = О, b„=- I ф(х) cos — dx, Си — у / VW cos — dx.

о о

Решение и будем искать в форме

u(x;t) = ^w0(r)+ ? w„(/)cos^.

1 и=1 '

Как и в п. 7.1, для коэффициентов и>„ получим уравнение и начальные условия.

Рассмотрим простой конкретный пример колебаний, вызванных только начальным уплотнением = 0). В этом случае w„ = bncos(nnat/l), и поэтому

1 nnat ппх

u(x;t) = -bo-\- 2j Oh COS—— cos —. ^ n=l It

Заметим, что колебания газа можно рассматривать как результат наложения прямых и обратных полуволн, отражающихся от концов трубы, однако здесь отражение происходит без изменения знака.

7.4. Колебания мембраны с закрепленным краем. Рассмотрим прямоугольную мембрану со сторонами р и q с закрепленным краем. Функция и, описывающая колебания такой мембраны, удовлетворяет уравнению

d2U 2 а

-j-a'Au = F(x, у), д Г — и = и = и = 0 дг=0 х=р у=0 y=q где F — плотность внешней силы, краевым условиям и

и начальным условиям

ди

= А (х,у), — /г(х,у),

t=o at t=о

где /і (начальная деформация) и /г (начальная скорость частиц мембраны) — заданные функции.

Соответствующая прямоугольнику и краевым условиям система собственных функций имеет вид

. тпх . ппу vm „ = sin sin .

р я

Найдем коэффициенты Фурье функций F, /і, f2 по функциям этой системы и обозначим их через аШі„, bm>n, cm,„ соответственно. Будем искать решение задачи в виде ряда Фурье по этим же функциям

Умножая уравнение на (4/pq) sin (тих/р) sin (ппу/q) и интегрируя по прямоугольнику й, найдем после обычных преобразований уравнение для

иЧ»(0

d2wm,n , 2—2 f"2 , "21

— 1-ая I т" -1 j I Wm „ = а,„ „

dr L/r ^J

и начальные условия

dwm„

w„

— Ьт,п і

t—0

1=0 dt

Определив отсюда wm „ и подставив его в ряд Фурье, получим искомое решение.

В качестве примера рассмотрим свободное колебание мембраны под влиянием одной только начальной деформации: F = О, /2=0.

В этом случае ат<п — ст,„ — 0 уравнение для wm^„ сведется к следующему виду: и 1

+ — wm<„ =0.

a' J

т п

7 я

" . 2_2 wm,„+a "

Его общее решение имеет вид

/22 /22 т п _ т п

WMN — ncosaTi\j -J + —2 * + Вт „s'malti —T + ^T.

V p Я V P Я

Начальные условия дают Вт п = 0, Л„, „ = Ьт „. Поэтому

, /от2 и2 . тих . ппу и = > bmncosalt\ -у + —zt sin sin .

m% і ' V P Я P Я

Таким образом, частотами, соответствующими каждой стоячей волне, являются числа

1т2 п2 Ш/и,и = аЩ / —г + ~2-

V Р Я

Если со,,,,,, одинаковы при двух различных парах т и и, то имеем две стоячие волны с одинаковой частотой. Их сумма также дает стоячую волну с той же частотой.

7.5. Задача о колебании круглой мембраны. Рассмотрим колебание круглой мембраны радиуса R с закрепленным краем. Эта задача решается так же, как и предыдущая, с той лишь разницей, что для круга будем иметь систему собственных функций

v2m— 1 ,и = j,n fajj) sin/Пф, V2,„,„ = Jm {К COS/Иф,

соответствующих собственным значениям Л-2/л — I,н = А.2,„,„ = (х^)2//?2, где — корень уравнения Jm(x) = 0. Будем искать и в форме

п=0

+

о©

? [W2m-l,„(0sin/n1

Для wkn получаем уравнение (И"1)2

(к = 2т — 1; * = 2т)

R

и начальное условие wM(0) = , = ск<11.

Если внешняя сила отсутствует, то ак<„ = 0, и поэтому

V" у>а

Wkn(t)=Akcosa-2-t + Bks\na-2-t (к = 2т-\, к —2т). ' R R

Таким образом, числа ax%/R являются частотами собственных колебаний

мембраны.

Заметим теперь, что если начальная деформация, начальная скорость и внешняя сила обладают центральной симметрией (т.е. не зависят от (р), то при к > 0 akt„, bk 0, а ряд Фурье сводится к

V woAO , ( ог\

<< | >>
Источник: Агошков, Валерий Иванович. Методы решения задач математической физики:. 2002

Еще по теме 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний:

  1. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  2. Задачи и методы структурного анализа поэтического текста
  3. 1.3. Методический инструмент анализа логистического обеспечения развития сбытовых процессов на предприятии
  4. ДЕСКРИПЦИЯ И МЕТОД. ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ ИЗДАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ИДЕИ ЧИСТОЙ ФЕНОМЕНОЛОГИИ И ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ
  5. ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ЯЗЫКА РУССКОЙ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
  6. § 3. Место и роль теории государства и правав системе других наук 3. 1. Место и роль теории государства и правав системе гуманитарных наук
  7. Приложение I (для коммунистов): "Перлы" диалектики марксизма
  8. Основные понятия и категории курса «Экономическая теория»
  9. Галилей выделил два основных метода исследования природы:
  10. § 4. СТРУКТУРА И ФУНКЦИИ НАУЧНОЙ ТЕОРИИ. ЗАКОН КАК КЛЮЧЕВОЙ ЕЕ ЭЛЕМЕНТ
  11. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  12. 2. Задачи на собственные значения
  13. 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
  14. 36. Нарушения внимания при локальных поражениях мозга. Методы исследования нарушений внимания.
  15. Сущность, функции и структура рынка ценных бумаг
  16. КНИГА ПЯТАЯ ДЕНЕЖНАЯ ЗАРАБОТНАЯ ПЛАТА И ЦЕНЫ
  17. КНИГА ШЕСТАЯ КРАТКИЕ ЗАМЕТКИ B СВЯЗИ C ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ
  18. Б. Мальмберг ПРОБЛЕМА МЕТОДА В СИНХРОННОЙ ФОНЕТИКЕ[247]
  19. Глава 16 ИЗУЧЕНИЕ ОЦЕНОК РЕЧИ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ В ОБЛАСТИ КУЛЬТУРЫ РЕЧИ