Глава ЗМетоды разложений по собственным функциям

Ключевые слова: собственные значения, собственные функции, метод Фурье, специальные функции, метод собственных функций, ортонорми- рованные системы, ряды Фурье, сферические функции, цилиндрические функции, ортогональные полиномы, задача Штурма-Лиувилля, задачи теории электромагнитных явлений, задачи теплопроводности, задачи теории колебаний.

Основные понятия и обозначения

Собственные значения — значения параметра X, при которых однородное уравнение вида Аи = Хи, где А — оператор, имеет ненулевые решения.

Собственные функции — ненулевые решения и однородных уравнений вида Аи = Хи.

Задача на собственные значения — задача об отыскании собственных значений X и собственных функций и как решений уравнения вида Аи = = Хи, где А — оператор.

Метод собственных функций — метод отыскания решений задач путем разложения по собственным функциям.

Ортонормированная система — конечная или бесконечная система функций, в которой все функции нормированы, а две любые функции ортогональны.

Ряд Фурье — ряд, составленный из функций ортонормированной системы со специальными коэффициентами — весами.

Сферические функции — собственные функции оператора Лапласа на сфере.

Цилиндрические функции — решения уравнения Бесселя х2у" + ху' + + (х2 - п2)у - 0.

Ортогональные полиномы — полиномы, которые образуют ортогональную систему.