Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной.
Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ? ïb–aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].
y
f(x)
a – 2T a a b a+2T a + 4T x
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Еще по теме Разложение в ряд Фурье непериодической функции.:
- 6) Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.
- Ряд Фурье и коэффициенты Фурье для периодической функции с периодом .
- Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- 7) Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
- § 62. Разложение функций в степенной ряд, Применение стеленных рядон
- 5) Формулировка достаточных условий разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье.
- Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
- 9. Ряд Фурье в комплексной форме.
- Ряды Фурье для функций любого периода.
- Разложение функций в тригонометрические ряды.
- Разложение функций в степенные ряды.