Разложение функций в степенные ряды.

Определение. Функцию можно разложить в степенной ряд по степеням разности , то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.

,

где - остаточный член в форме Лагранжа, где .

Необходимым условием разложения функции в ряд Тейлора является дифференцируемость функции бесконечное число раз.

Для того, чтобы ряд Тейлора сходился к данной функции , абсолютные величины всех производных функции должны быть ограничены одним и тем же числом , где - постоянная не зависящая от . Остаточный член определяется неравенством .