Степенные ряды

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд:

. Коэффициенты этого ряда – произвольные комплексные числа, а – фиксированное комплексное число.

Теорема Абеля

Пусть степенной ряд сходится на окружности . В этом случае он будет сходиться в любой точке, лежащей внутри этой окружности, причём сходимость будет равномерной.

Доказательство:

Рассмотрим сходящийся ряд: , который является мажорирующим для исходного ряда, так как

- сходится.