<<
>>

Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому, доя его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной.

Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда

(4)
(5)

1°. Пусть существует номер такой, что .

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример 4. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как , то ряд расходится.

Пример 5. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Поскольку , то ряд сходится.

2°. Пусть существует конечный или бесконечный предел .

a). Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

b). Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример 6. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.

Пример 7. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Так как при , то ряд сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его -го члена.

Признак Даламбера. Пусть существует предел .

Если , то ряд сходится.

Если class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1514/image/564.gif">, то ряд расходится.

Пример 8.

Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 9. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд расходится.

Признак Коши. Пусть существует предел .

Если , то ряд сходится.

Если , то ряд расходится.

Пример 10. Рассмотрим ряд . Для этого ряда По признаку Коши ряд сходится.

Пример 11. Рассмотрим ряд . Для этого ряда . Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

Интегральный признак. Пусть ‑ положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность , сходится, то сходится и ряд .

Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример 12. Рассмотрим ряд (этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и , , .

Если , то . Так как при , то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при исследуемый ряд – гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если , то .

При , ; при . Таким образом, последовательность сходится при и расходится при .

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Пример 13. Рассмотрим ряд .

Функция ;

при .

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2° в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

Степенной признак. Пусть при , где . Тогда при ряд расходится. При ряд сходится (условие равносильно тому, что при . Говорят, что эквивалентен при ).

Пример 14. Рассмотрим ряд . Для этого ряда , значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен , так как при . Значит, в этом случае и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример 15. Ряд имеет -й член , который эквивалентен . Значит, ряд расходится.

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Положительные ряды:

  1. Таким образом, коллективная собственность в условиях рынка имеет свои положительные и
  2. П. Естественно, и положительные, и отрицательные моменты влияния общины на сознание
  3. § 59. Достаточные условия сходимости ряда с неотрицательными членами
  4. § 60. Знакопеременные ряды
  5. §61. Функциональные ряды
  6. § 62. Разложение функций в степенной ряд, Применение стеленных рядон
  7. РАЗРЯДЫ ЧАСТИЦ ПО ЗНАЧЕНИЮ
  8. 2.5. Представление регулярных функций рядами
  9. 7.2. Признаки сходимости рядов
  10. § 3.8. НЕСАМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯДЫ
  11. Положительные ряды
  12. 2.0 положительном и отрицательном в диалектике Гегеля.
  13. Числовые ряды
  14. Ряды с положительными членами.
  15. Теоремы сравнения положительных рядов.
  16. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Признак Даламбера.
  17. Функциональные ряды.