Положительные ряды
Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому, доя его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной.
Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.Будем рассматривать два положительных ряда
(4) | |
(5) |
1°. Пусть существует номер такой, что .
Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).
Пример 4. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как , то ряд расходится.
Пример 5. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Поскольку , то ряд сходится.
2°. Пусть существует конечный или бесконечный предел .
a). Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).
b). Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).
Пример 6. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.
Пример 7. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Так как при , то ряд сходится.
Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его -го члена.
Признак Даламбера. Пусть существует предел .
Если , то ряд сходится.
Если class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1514/image/564.gif">, то ряд расходится.
Пример 8.
Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд сходится.Пример 9. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд расходится.
Признак Коши. Пусть существует предел .
Если , то ряд сходится.
Если , то ряд расходится.
Пример 10. Рассмотрим ряд . Для этого ряда По признаку Коши ряд сходится.
Пример 11. Рассмотрим ряд . Для этого ряда . Значит, ряд расходится.
Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.
Интегральный признак. Пусть ‑ положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность , сходится, то сходится и ряд .
Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.Пример 12. Рассмотрим ряд (этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).
Функция убывающая, положительная и , , .
Если , то . Так как при , то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при исследуемый ряд – гармонический, и его расходимость была доказана ранее.
Если , то .
При , ; при . Таким образом, последовательность сходится при и расходится при .
Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .
Пример 13. Рассмотрим ряд .
Функция ;
при .
Значит, ряд расходится.
Если в признаке сравнения 2° в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.
Степенной признак. Пусть при , где . Тогда при ряд расходится. При ряд сходится (условие равносильно тому, что при . Говорят, что эквивалентен при ).
Пример 14. Рассмотрим ряд . Для этого ряда , значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.
В то же время, эквивалентен , так как при . Значит, в этом случае и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.
Пример 15. Ряд имеет -й член , который эквивалентен . Значит, ряд расходится.