<<
>>

§ 60. Знакопеременные ряды

Ряд нлзьзвается знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, тяк и отрицательные. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды. Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена его противоположны по своим знакам, т.е.
ряд айда

оо

a, -oa+ea-». + <-i)n~V +- - ? (-1 )*~10ъ

где оі,аз^оз,,а?ії~ положительны.

Сходимость знакочередующегося ряда может быть установлена тео-ремой Лейбница

Теорема 37. (Теорека Лейбница,) Если члены знакочередующегося ряда ai — Аа + йз — ... 4* (—l)™^1^ + убывают по абсолютной величине; Oi > а^ > а-д > и Jim ал — 0, то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена.

Доказательство, Чтобы доказать, что рассматриваемый ряд сходится, нужно доказать, что последовательность его частичных сумм сходится. Для этого покажем, что последовательность частичных сумм возрастает, но ограничена, а если последовательность возрастает, но ограничена, то она имеет предел (см. § 15, теорему 6).

Рассмотрим частичную сумму S^n. чётного числа членов ряда, записав её в аиде

=.(ai -йз) + (as - 04) -f + (азп-і -

Так как по условию aj > > > о.2П, то каждая скобка положительная, и — возрастает при возрастании п, причём > 0. С другой стороны, S^n можно переписать в виде

S-2n — О] — (Q2 " Оз) — — — ~ — > О-

Откуда очевидно, что для любого п S^ < ai; т, е. ограничена. Таким образом, последовательность чётных частичных сумм б^ч возрастает н ограничена. Следовательно, она имеет предел, т.е.

Jim San 0Докажем, что последовательность нечетных частичных сумм также сходится к тому же числу 5, Из очевидного равенства = S^-1-

-l-ftSn+i и из того, что lim ааГІ+і =0, по условию теоремы вьгпека-

п.—юо

ет, что

lim — lim {$2п¦+ ~ ІІЇП Sin+ Um л3,н і " S 4- 0 = S.

ТІ—«ЗО ІІ-ІОО n-i« n—>oo

Тем самым мы доказали, что lim Sn в= S как при чётном ті, так к прн

п-чза

нечетном.

Следовательно, рассматриваемый ряд сходится. Его сумма не преиосходит первого члена: S < а\. Теорема доказана.

Пример 7. Исследовать сходимость следующих рядов

ЗО / ч \ П -1 OS ; ,уІ-І <х> / „ . 1 \«

а)у: в) YL (-1)"-1 (!i~) ;

ті— I тг~± ті= 1

/Л - 1 \«(п-1) пір"

'>? (-!)" U

е) f: 6 + ?гІГ; ж) ?

її—1

Решение. м

11 1 -і

а) Так как L > - > > — >... и Hm - = 0, то ряд 'У

2 II Г1-»50 п ,

11—1

сходится на оснований теоремь: Лейбница. 00

б) Ряд '— также сходится на основании теоремы Ленбни-

0.

ца, так как —— > —— > ... > > ; Ьш —^ Vl V2 vn n-м» у/п

00 / П _L I \ П

в) Ряд ^ (—l)n+l [ -j расходится, так как

не выполнено

Ііш = lim (JL+iY* = lim (\ + IY* « е ф 0 -

«—fso \ п / п —оо \ 71/

П—ЮО

необходимое условие сходимости ряда, г) Так как

_ 3nf71-M

C~ итї —

= lim с

n—1KJ

lim (ii-iy^ = ifan в(5И)-*-« = Ііш

-2u __

ті—too + 1 J n—>oo ¦ n—+»

ряд сходится.

д) lim АгЧ" = lim \/2тг7і —fp = lim =

n—им я w П-—*OQ \ e / n rt1 n—со nF

0 при p > 1/2; ряд сходится,

= ^ оо при p < 1/2; ряд расходится;

\/2тт при р = 1/2; ряд расходится.

526

5G0]

527

Знакопеременные ряды

к

е) так как ряд ? ^ сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (г "О

Лейбница, то и исходный ряд сходится/

эк) lim nlnp =

О, 1пр < 0 (0 < р < 1); ряд сходится, оо, kip ^ 0 (р ^ Ї); ряд расходится.

і

Пусть дан ряд ^ ftfc = ai + +... + a,i + ... Замена суммы ряда u = l (

Ь его частичной суммой 5П приводит к тому, что мы отбрасываем все члены ряда, начиная с ап+і. Ряд 4- ап+2 4 ... -Н ... =

ряд сходится, то сходится и остаток, и обратно, нэ сходимости остатка ряда вытекает сходимость исходного ряда.

В приближённых вычислениях (см § 32) нужно знать приближённую оценку отброшенных членов, т.е. остатка. Для случая знакочередующихся рядов мы отбросили все члены ряда, начиная с а^-ы- Но отброшенные члены, т.

е. остаток ряда, который и сам представляет собой знакочередующийся ряд, сумма которого (по только что доказанной теореме) по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда, т.е. меньше |Оп-и|, и имеет знак а^-ц. Таким образом, ошибка, совершаемая при замене S нэ іте превышает по абсолютной величине первого иэ отброшенных членов.

Обратимся теперь к вопросу о сходимости рядов, члены которого могут иметь произвольные знаки.

оо

Пусть дан знакопеременный ряд а* — с і + а2 + --- + сіп -f ... ,

h=i

т.е. его члены могут быть как положительными, так и отрицательными.

Теорема 38, Знакопеременный ряд

лі + а2 + оз + .. ¦ ап + ... (I)

сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, т.е. ряд

|ai| + M+M + - -bki|+*» (2)

.Доказательство. Обозначим Sn и Sti частичные суммы рядов (1) и (2), через — сумму всех положительны*, а через Sn — сумму всех отрицательных членов среди первых п членов данного ряда. Тогда S* = S+ - Sn = По условию теоремы ряд (2) сходится,

значит Sn = S+ + S' имеет предел. Так как — положительные

и возрастают, но ограничен^ (их сумма не превышает сумму ряда (2)),

то Sr* и имеют предел при п —> оо. Из равенства Sn — S+ — S~ следует, что Sn также имеет предел, т.с, ряд (1) сходится. Теорема доказана.

Знакопеременный ряд (I) называется абсолютно сходящимся. Однако может случиться так, что ряд, составленный из абсолютных пеличин, расходится, а сам знакопеременный ряд сходится. В этом случае он называется условно сходящимся.

Отметим, что сходящиеся ряды с положительными членами (см §57} представляют собой частный случай абсолютно сходящихся рядов. Признаки сходимости абсолютно сходящаяся рядов получаются непосредственно из признаков сходимости рядов с положительными членами, если заменить аг1 на |вп|. В частности, а формулировках

+1

а,

и

на

Кои:^ и Даламбера нужно заменить tyft^ и

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

яіііСї кіп sin Зо зіптіа

І5"

где О! — любое число

Решение, Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

sin 2о

ЫППО!

sin а ТУ

(1)

+

+

+ ¦» +

+

sin За

¦>¦2

п

ТГ~

и сравним его с рядом

(2)

Тч +

+

+ —+ п

Ряд (2) сходится (см.

пример G), Члены ряда (2) не меньше соответствую!] шх членоп ряда (1), следовательно, ряд (1) сходится Но тогда данный знакопеременный ряд сходится.

Задание. Проверить исследование на сходимость следующих рядов.

оа ¦2

1 ? (а>0).

и=0

liiu V/ЇЦ = lini - — Отсюда следует, что ряд сходится пин

it-чо v п—on а а

а > L и расходится при а ^ I,

2- ? ™ С« > 0).

Шп. Е!2±І = иш

»- .

•м (l + n)

— Иш + = Такі

я—'СО ft,

И ПІ ті~»оо \ Ті / Є

образом, ряд сходится при а < с и расходится при а > е. При а = е

оо

имеем ряд —чг, используя формулу Стирлинга при п оо п! ~

п

\f2"xn получаем, что этот ряд расходятся, так как не выполня

ется необходимый признак сходимости ( Hm ап -- Ііш ^г «1 = lim ^ s/Ьт (-Т = Ніл \/2тттг = оо).

п—I'ОО ТІ—too П n—nso n \ с / a-»»

оо . чЯ*

(

І

1 ) - е-1 < 1 — ряд СХОДИТСЯ.

п)

/ ОО J .

Так как і

i оо

г

1 + 7 І

\ =t — + 1 — интеграл сходится, СХОДИТСЯ и ряд.

5. ^ ^^ (<* > ^

т^О П + Л

їхі

f? 4- ал

Г / Л + Вп + С V

^tt + H ТІ -Ttd + ft /

ОО /

п 4 а

du —

г па + а2

= -L Г { L_ + _

За J І тг + п. ті

n \

оо

3п%/3

1 . (і3 - па 4- п' ( \ . 2п - а

— ^ Іп —;— '2 Н ai'ctg ——

6а йтпГ а\/з а\/3

Так как интеграл сходитсяt то сходится и ряд. Исследование суще-ственно упрощается, если исходный ряд сравнить со сходящимся рядом

п

Е:

Так как

zs-

1 1 < -у, а ряд ^ — сходится, то

п

п= 1

п + [ft3 /я) П

сходится и исходный ряд,

оо

№ 1 6- s т

ОО 4

Так как ряд У" —;— расходится по интегральному признаку, а п! < Н тг In ті

71-3

< ті.11 (из формулы Стирлннга к ^р^- < 1). ln(n!) < nliin, ^fol) >

> —І—, та исходный ряд расходится (см. признак сравнения), n Inn

1

lim

_ й fa>i1 О,

Следовательно. прии>1ряд сходится, при а ^ 1 ряд расходится.

7.

^^ (л>0).

а

?—' Ті П— 1

Этот ряд сходится при а > и и расходится при а ^ 0, так как

г і Г а > От О, lim —5 = <

п—С» П [ Of < yt OO

и fln+i < йп при а > О, Причём:

]) 0 < jet ^ 1 — ряд сходится условно, так как ряд, составленный из

ОО J

абсолютных величин членов у —, оасходится;

71

п=1

2) а > 1 — ряд сходится абсолютно, так как ряд, составленный из абсолютных величин членов, сводится.

9 Е 0).

71-0

U* ( CL> І, о, lim ~ <

п.—юо о I 1, 00.

Следовательно, ряд сходится при а > 1, причём абсолютно, так как ряд. составленный из абсолютных величин членов, также сходится при а >¦ > 1.

п-ь 3 \п

10.

П11ЕІ

Ряд сходится, причём абсолютно, так как ряд, составленный из абсо-

оо / f^ 4- 3 \ ^

лютньгх величин членов, и, ^ (^тГ^Т/ j также сходится;

п-1

Um ^ = lim r/piy = lim

MM rt—>hso у — 1 / П-'ОО 2n — 1 2

74

DO

11.

ЙДаї + з) рад расходится.

10

эс

n

12-

ID П n

lim lim

rt—too T n-HtH

— - < 1, ряд сходится.

їИіУ

13, s

lim jya^, - lim

и—«оо

і 1 -L- Цщ 71 - 1 — і li^M „ . 1 , . ^ 1 П + — 1 -t ¦=

n n

no

lim lim rf ^ XK= lim (l + X) * = Ііш =

tt^oo tMfio n / 1, \ л-»» V fl / n—*e*a

n VH

ряд расходится, не выполнен необходимый признак сходимости.

14. ? (оовї)"'.

Um Vfa = ІІш (сон-У = lim - Ііш = <

tl"4M) п—юо V ТІ/ ТІ—too Я-*®

<1,

ряд сходится при а ^ 0. При а = 0 cos ~ — 1. и ряд 1+1+1+1+1+ + ... — расходится ( Вт ап ^0).

? т

п-1

Ііш ^ = Jim fn^iY1- = Іїт сГ2^ •¦= -4 < 1,

П—ЮО п-юо \Ti-h І / п—с

ряд СХОДИТСЯ,

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 60. Знакопеременные ряды:

  1. 1.1.1. Экспериментальные и натурные исследования зонального разрушения горных пород в массиве вокруг подземных выработок
  2. 5.4. МНОГОУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДОГОВОРАМИ
  3. § 60. Знакопеременные ряды
  4. Вопросы для самопроверки
  5. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  6. Содержание дисциплины
  7. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.
  8. Абсолютная и условная сходимость рядов.
  9. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
  10. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  11. 3.Абсолютная и условная сходимость ряда.
  12. 10. Применение степенных рядов.
  13. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  14. 7. Практическое занятие №7 "Определение сходимости рядов"
  15. 7.2. Признаки сходимости рядов