§61. Функциональные ряды
оо
Л (*>-/>(*)+ЛСД+-+/»(*) + '¦¦ = (!)
где Л (я),/2(?},/з(?)>-- — есть функции одного и того же аргумента х, определённые в некотором интервале
Если в ряде (1) аргументу х придать какое-либо значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), то из функционального ряда получается числовой, который может сходиться.
Совокупность тех значений а, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда, В области сходимости ряда каждому значению х соответствует определённая сумма ряда которая является функцией аргумента х. Сумма первых п членов ряда называется частичной
суммой ряда и обозначается Sn{x). Если ряд сходится и его сумма равна то ~ + ^(а;), где называется остатком
ряда, который равен
- -\-fn+2{z) + +/n+m{a:) +
Для всех значении л; о области сходимости ряда имеют м«сто соотношения lim = S(x) и lim rn(x) — lim [?(я) - ^«{я)] = S{x) —
Ti.—> OO n—(CO n—^too
— S(st) - 0, т.е. остаток сходяІДЄҐОСЯ ряда стремится к нулю при стремлении ті к бесконечности.
Пример 9. Определить области сходимости рядов с общим членом:
а) !ф) = оіпА; б) f„(x) = в) /Л(х) =
Решение.
а) fn(z) = sin fn+i(x) = sin
sin
fn + \(x) №ї
in+І
Um
П—'ОО
— Um
п.—too
<1,
BUI
a4
X
пГ+1 ~ rjfi -ГТ'
X X
так как при n оо ^ — бесконечно малая, то em
ss х ^
sin ^ ~ jp Тогда
lim
ТІ—t»
= ІІШ
n—оо
U(x)
Следовательно, ряд сходится ьсшу, т.е. при -оо < х < +оо. 6) /„(х) = fn+iix) = e-b+W*-
Hm
ті—> оо
== И пі
п—юо
0 при х > О, оо при X < 0.
= lim = /
ТІ—ttK
Прк х = 0 /„ = 1 0, ряд расходится Ряд сходится при х > 0. в) /-(ас) - /«+1W ^ Тогда
lim
ТІ—ей
— lim
шеи
(n+lj* ' nx
fn(x)
— lim T <1
it—юо Є
HJ1H e~x < e°, X > 0.
Так как прн x — 0 мы имеем ряд G + 0-f-Q+¦,,., который сходится, то областью сходимости исследуемого ряда является х > О.
§61
533
Функциональные ряды
Важнейшим частным случаем функциональных рндсш являются степенные ряды.
Степенным рядом называется ряд видаоо
= Е
71 = 0
(2)
do + aix + &2Х1 +... +
а также ряд более общего вида
10 + Оі(® - х'о) + аъ(х - аго)2 -I-... + —
*o)nh- =
оо
= 22 Т1-0
где Хо — постоянная величина. Постоянные ао, 01,03,... ^Оц, .. называются коэффициентами степенного ряда. О ряде (2) говорят, что он расположен по степеням х, в о ряде (3) — что он расположен по степеням двучлена х - SQ.
Областью сходимости степенного ряда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.
Теорема 39. (Теорема Абеля.) Если степенной ряд сходится при некотором значении х ^ аг^, то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых |я;| < \хо\ (^о ф й). и, наоборот, если он расходится при х = Ді, то расходится и при всех значениях х,- для которых > > \хі\ (зі ф О).
Доказательство, І. Пусть ряд (2) сходится при х = xq ф 0f тогда n-fi член его а^з" О при п эо (необходимый .признак сходимости). Следовательно, существует такое положительное число fi (см. определение ограниченной величины), что для всех значений п < ft< Умножим н разделим Е<аждый член ряда (2) на xq В соот-ветствующей степени
х та;2
а0 + ai^o h Яз^о-з + »¦ + а"э;о ~п + - ¦
(А)
Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов
І Ті
X
X Л(1
(В)
|во| + joi^ol — N-laa^ol
-LQ і
так как < (Л, то члены этого ряда меньше соответствующих
членов сходящегося ряда
1 U И
X і X
Хо 1 ^ I То
(С)
+,.
fi + v-
+-+Ч;
1Ф0
который представляет собой при \х\ < :ГС<Э[ (или < 1) бесконечно
1і |
убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = I — I < 1.
I 1L0 і
Поэтому, в силу признака сравнения, ряд (В) сходится (потому что сходится ряд (С)), а зто значит, что ряд (2) сходится абсолютно при всех значениях хл удовлетворяющих неравенству \х\ < |я:о|-
f Га а
534
Ряды,
2. Пусть ряд (2) расходится в некоторой точке я і.
нужно доказать, что он расходится при всех х, удовлетворяющих условию \х\ > |ф||. Действительно, если бы он сходился при некотором х, удовлетворяющим условию \х\> ІЯ71І, то он бы сходился, по только что доказашюй первой части теоремы, при всех я?і, для которых \хі \ < что противоречит условию (в точке XI - ряд расходится). Теорема доЕіазана.Доказанная теорема показывает, что область сходимости степенного ряда (2) есть некоторый интервал Я), симметричный от-носительно точки х = 0, т.е. для всех точек внутри этого интервала ряд сходится и притом абсолютно, а для точек, лежащих вне его, ряд расходится. Число Я называется радиусом сходи мости. На концах интервала (т, = ії, х = —Я) вопрос о сходимости или расходимости рассматриваемого ряда решается индивидуально для каждого конкретного
ряда.
Радиус сходимости может быть определён по формулам
lim
t; —• cjo
ИЛИ — lim \/~€Lf
И. n—oo
Если ряд сходится только в точке х = 0, то Я = 0t а если сходится во всех точках число вон оси, то радиус сходимости равен бесконечности (Я = ос). Нахождение интервала и радиуса сходимости степенного ряда рассмотрим на следующих примерах.
Пример 10. Найти интервалы и радиусы сходимости следующих рядов:
a) f>»M «) ? ¦> ? М".
n=Q rtaO 11-0 n=0
Решение.
а) применяя признак Коши, получим lim v^l^Tf — Ряд
дится при \x\ < X (Я - 1) и расходится ттрн |arj > 1. На концах при х » ±. 1 ряд расходится, так как ип — (± I}4 0. Это означает, что Fie выполняется необходимое условие сходимости.
б) применим признак Даламбера
_1L+t
п\
Т
lim
— lim
я—
— lim
tl—
= 0< I.
(ti+ 1)Т
71+ і
и*
Так как предел но зависит от х и меньше единицы, то ряд сходится при всех значениях х, радиус сходимости Я = со,
в) ряд I .+x + (2.t)a + (Зя}3 + ... расходится при всех значениях х> кроме х — 0, так как = (Tix)rt —t оо при п —? схз для всех я,
кроме аг = 0. Радиус сходимости Я - Q.
Пример 11.
Найти интервал сходимости следующих рядов:^ X™ Л Гт_ ї\2п 00 ҐЯ-rl11 ОО I оо
1> Е та»; 2) ? t^JL 3) Е 4) ? 5) ? п1"*:
я=1
Пгзі
Ї1 = 1
71=1
ЭО
Решен ие,
о
— | < Т.е. -10 < X < 10.
Ищ tfR = ,1™ №1 -
При х — -10 ап = (-1)71 — расходится, при х = 10 ап = 1 — расходится { lim ап фО)г Итак, исходный ряд сходится при — 10 <х <
<10. а
2) lim ї/га = lim < 1 или < I, отсюда ~2 < х -
п-*оо п-юо 4 2
71 ЗО
— 3<2н1<аг<5, Исследуем на концах интервала: х = 1, ж 1 — расходится; х = 5, = 1 — расходится ( lim гі„ ф D)f Итак, исходный
ряд сходится при 1 < х < 5.
3} lim dri + l = Иш Л* n-tffii 8пх'
(ІЇ
1 +
8х
т
— Hm
п-юо
< I.
($Г
1 +
7 7
Отсюда получим —- < я <
о ї>
1-1)п
При а; = — ип = —-—т^га ~ расходится, так как lim \ип\ = 1 ф 0*
^
При х — 1 Un ™ ттпг — расходится, так как lim ип — 1 ф 0-
« _ /ОЛ л—>оо
1 +
7 7
Ктак, исходный ряд сходится при — - < х <
о о
оо
4) Ряд —у сходится при х > 1 и расходится при х ^ I (см, при-
мер 6 при Q! = х), 5) art = пЬх =
п
п
расходится при — Ins ^ 1 или я; > е"" , 6) lim VW
— сходится при — lna; > 1 или 0 < я < і х 3
< 1.
Я-+СО
1 - 5*
>-1, <1,
Нужно решить систему неравенств X - 3
I - 5s де - З 1 - і / п
\. х - -J - п ¦
ОО / 1
Рпд і bL СХОДЯТСЯ по теореме Леибннца.
2.х= І ц«(§) - і™ т
Ряд ? - расходится по интегральному признаку.
_ її
п=1
Итак, исходный ряд сходится при -оо — < г < оо, так как x — 8 > 0. 4 QO При ж = ~ ряд ? (-1)" расходится, так как lim Ы — 1 0. 33 Итак, исходный ряд сходится при — < х < оо. 8) Вт = < 1. "І <ТШ<1- Решаем систему неравенств М (*-*)>* + У (х + 3)>0. І 1. -оо < т < 2. х > -. 1 J 1. х = -З, — ~т — ряд сходится по интегральному признаку, ТІ ряд сходится по теореме Лейбница. о - 1 - С-іГ J п в итоге исходный ряд сходится при —оо < x ^ —зі х ^ -и (її - iim Щ - X a 9) lim VKl = lim 0 при a> 1, ряд сходятся; оо при 0 < а < 1, ряд расходится. Исходный ряд сходится при а > 1 на всей числовой оси (-ос < х < оо). Рассмотрим вопрос об интегрировании и дифференцировании степенных рялов. Пусть дан степенной ряд, имеющий радиус сходимо 536 {4) сти R и сумму 5(л:); ао + сцх + а^х2 + ... Проинтегрировав его почленно от О до г и продифференцировав его, получим два других степенных ряда: S(x) dx; (5) ао^ + І^іХ2 + + _1_айдГ"+1 + ... = Л о П + 1 oi -h 2a?x-{-Заях* + ... Чладг™"1 +... =S\x). Вопрос о сходимости полученных степенных рядов решают следующие две теоремы. Теорема 40. Рид (5)( полученный интегрированием ряда (4) в пределах от 0 до я, имеет тот же радиус сходимости R. и сумма его 1С равна Js(z) dx, о Замечание. Если ряд {4:) сходится на концах интервала { — Я, Я), то сходится на концах интервала и ряд (5). Расходимость же ряда (4) на концах интервала может сохраняться я ряде (5), но может и нарушаться. Пример 12. Радиус сходимости геометрической прогрессии ті „2ті 1 + XJ l-x2+x4-xG + + (-1) равен единице. Проинтегрировав его почленно, получим (при < 1) ряд Гт^т = arctg я, J l+i Т У 2п+1 который сходится на конце х = 1, хотя исходный ряд при х = 1 расходится. Теорема 41, Ряд (6), полученньїй почленным дифференцированием ряда (4), имеет тот же радиус сходимости R и сумму S'(x). Замечание. Расходимость на конце интервала (—Ят Я) ряда (4) после дифференцирования его сохраняется, а сходимость может нарушаться. Пример 13, Бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 1 + х + х2 4- + ,.. - 1 - х (которая расходится при х = ±1) можно получить почленным дифференцированием ряда 1 + х + — -f + — + н + = — 1п(1 — *), хотя этот ряд при X = — 1 схо- 3 л 1 дится. 53Я _ Ряды [ГУ Пример 14, Исследовать сходимость рядов с общим членом V» г- А ,ч Г xi/x dx 0v , f «ill xdx J 7+Г' 2>4"= J TTP- о и Решение, ^ i/rt 1/n 5^71. а ряд 1) Так как < xто j — < j a?3/2 dx — - ге І J "f" 1. J 2 1 ° ° с общим членом - —_сходится, следовательно, сходится и исход- s ный ряд. 1/л 2) Аналогично ——-я- < х\ < я* (fa = —Исходный рядсхо- J х І 5п о дится. Задание. оо 1. Y, ОО » 1+1 к как | п Та пх dn = х + 1 , то интеграл сходится, если х + 1 < О о или х < —X. Следовательно, ряд сходится при —оо < х < При х = — —І ряд расходится по интегральному признаку сходимости. DO 2. ? (-1)лп* n—Q lim пх - / Х < 1 »(^ґ; 1 00- Таким образом, ряд сходится при —со < х < 0, при х = 0 ряд расходится по теореме Лейбница. оо 3. ? (-1)' п—О Цш п-х _ Г я > О, О, | ^ О ) 00. Следовательно, ряд сходится при 0 < х < оо, при х ^ 0 ряд расходятся по теореме Лейбница. 00 .TnTiJ lim П—изо
ап-и -- ІІШ
On n~»oo
хп+1(п + 1)\ аг + 1) = lim п—ищ fn+O3 1 + ЇП Х"П I а -{ „ і і, а, а < 1, оо. Функциональные ряды ^А сводится всюду (—ад < х < еж) при а > 1. Если а= 1, го имеем ряд S - тії j для которого lim Hm ІхҐгеЧ- 1}|, Отсюда следует а^ j ті—J что ряд сходится при яг 0. Итак, исходный ряд прн а > 1 сходится всюду (-со < х < оо), а для о. ~ 1 при х = 0. |П+ 1 GrL+l ! lim Тг -—» х | (Ц I „ ™ 1ппх 6. у П-1 = lim n-tco - Следовательно, ряд расходится всюду. lim v/ETf - I la ж] с 1, —1 < In я; < L, є'1 < х < е. ТІ tiO v I ) іае"1 ^ -—' ряд сходится по теореме Лебница. П=1 оо 1 2) х = е. ^Г ряд расходится по интегральному признаку. п=1 п "Таким образом, исходный ряд сходятся е-1 ^ х < е; абсолютно прн С х < е. v і ^L П V 1 — ® / 1 + г И= I , , |ш Vw= hr1 L »ОС II — 1 + X < 1 или —1 < < 1. 1-я; тг —*-sq < 1 или х(х — 1) > 0, отсюда ~оо <а:<0,1<2;< оо. О 1 +х 1 -X а) -і < или х< і. 1 — ® Объединяя решения, имеем -оо < х < 0. при X = 0 исходный ряд расходится по интегральному признаку. Итак, исходный ряд сходится прн —оа < х < О, lim = ||х (1 - х)\. тг. и—>оо * і 5 12 1) - х{1 — а) < 1. Отсюда -оо еж-, - < х < оо. J. и О Объединяя решения, имеем: ряд сходится при J - < х < ? и Щ < X < і -f При х = 1/3 и х = 2/3 получим ап - п — ряд 2 и расходится, не выполнен необходимый признак сходимости ряда, а при а; = - ± йя = (—!)"« — ряд расходится по теореме Лейбница. 2 6 - (х - 2)- ті Зп lim VM = ті—'ОС I - 2 < 1. Отсюда -3 < х - 2 < 3 или -1 < и; < 5. При х = —1 от1 — 1—-¦— сходится по теореме Лейбница; При х = 1 п „ ' = 5 10. Гг" Л--Г a v nJ < I или —е < X < е. lim = И Н—Н» V V п/ І є / I При X = —Є (-с)71 f 1 — — J , ряд расходится no теореме Лейб ница , так как Lira е" (\ — — lim ene"w = 1. n-t(» \ Ті/ rt—450 •J ( i\n «оо При зс = e e11 1 } — ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости { lim ап — 1). Итак, исходный ряд сходится при —е < х < в. № tl 11 п=0 Hrn^ ij/jein! = < 1 илн М ^ 1 При г = —1 ап — (-1)пп — ряд расходится по теореме Лейбкица. При х = I ап — пряд расходится, не выполняется необходимый признак сходимости { lim ап ¦= оо). Та-ким образом, исходный ряд сходится при —оо <х <—1,1 < л; < оо, ее 12. У (cos-V* . С 2 < 1. Ряд lim Km fcos^Y* - Jim (l- ^L ) = П—ЧЮ V n^ОС \ П} n^oo I 2n j сходится при хфО. При я =s 0 ап ~ 1 — ряд расходится„ не выполняется необходимый признак сходимости ( lim = оо). 13 ? п1п*- п^О lrL І-t-l \ rilnxdn = -Д со In Г + I Интеграл сходится при In a; -H 1 < О или 1 1иї< -I, 0 <ї < с"1 Следовательно» ряд сходится при 0 < х < і 1 ь При я; = 0 ряд сходится {ап = 0), при х ап = - — расходится по интегральному признаку с И. ? (-1)" -п1"* n^U lim и а = 0 при Jut < 0 или G < х < 1. Ряд сходится абсолютно ] ] при 0 ^ х < —; сходится условно — ^ х < 1, оа ff е ,5- S Ь- п=1 lim л/Шп\ — Id < 1. Ряд сходится при — 1 < х < 1. При х — 1 II—ни v _ ЫТ п ряд сходится условно при 0 < а ^ 1т при а > 1 сходится абсолютно. При х =¦ I а^ = п~а — ряд сходится при .а > 1 и расходится при а < 1, 16. ? >13 (ті3 Н- X) ЗЇГ = Ы < і. lim v/faJ = lim ГЗ кЛЛ * 3* Т J-W 71-+О0 n-*eo Здесь учтено, ЧТО limju3 + L) m = 1. Для того, чтобы убедиться в этом, рассмотрим lim Лп+1/Апв + О = lim (Апв ТІ—> rjo lim п—юо Пусть у =¦ (АпБ тогда Применяя правило Лопиталя, имеем ыу ш lim ti-+Do ап if lim Inu — lim — Hm — Km — — 0. ті—^со n-tM an 4- у too ct A,n +¦ С ft—*™ otn Итак, In ¦у —* 0, но тогда у —» 1. Ряд сходится при < х < X. При х = — 1 an = —, так как Vt^ + і lim \an\ = 0, то ряд сходится по теореме Лейбница, причём абсолютно, так как ряд, составленный ид абсолютных величин членов ряда, сходится, Для того, чтобы убедиться, что этот ряд сходится, достаточно сравнить его со сходящимся рядом ап =* fiПри г = 1 ряд сходится. В итоге исходный ряд сходится при \х\ ^ 1; прич&м абсолютно. 17. g (,+ !)«'. CO Г л -1 я-l " е lim iVKil = Slar + 11 < 1. Ряд сходится при 5b -Ь 1| < 1 или -- < G f—IVі \ /3^ < X < --. При X « — o.n ss і—t~ +—[-:) сходится, так как равен 5 п п \Ь/ сумме двух СХОДЯЩИХСЯ рЯДОЕ, причём СХОДИТСЯ условно. При X — —р, 1 ¦ ( Я\п ап = — — (— -) расходится, потому что равен сумме расходящегося Г( II \ О/ Ф и сходящегося рядов. Следовательно, исходный ряд с ходите Ft при -- ^ 4 G А ь ^ х < при х = — ~ сходится условно, а при х = — ^ — расходится l) J »