6. Равномерносходящиеся функциональные ряды

-- функциональный ряд, где -- функции, заданные на

Если фиксировать , то получим -- числовой ряд.

-- сумма ряда. Если ряд равномерно сходится, то будет непрерывной

1) -- равномерно сходящийся к своей предельной функции на , если выполняется следующее условие:

Теорема6: пусть члены функционального ряда есть функции непрерывные на множестве и данный ряд равномерно сходится на этом множестве, тогда сумма этого ряда есть функция, непрерывная на множестве

Возьмём . Тогда:

-- непрерывность функций

-- равномерная сходимость

Так как , то она непрерывна как сумма конечного числа непрерывных функций.

Теорема7 (критерий Коши для равномерной сходимости функциональных рядов): чтобы равномерно сходился на ,

Теорема8 (признак Вейерштрасса)

Пусть и -- сходится

Тогда равномерно сходится на

Сравнивать комплексные числа мы не можем, поэтому нет признаков Абеля и Дирихле)