7. Степенные ряды. Теорема Адамара

-- степенной ряд

-- степенной ряд

При любой степенной ряд сходится

Теорема9 (Абеля): пусть -- сходится в точке , тогда данный ряд сходится в любой точке, что

Доказательство: пусть -- сходится

Пусть теперь .

Пусть , причём , тогда

Ряд -- сходится как геометрическая прогрессия с показателем меньше 1. Тогда по признаку сравнения наш ряд сходится

Следствие: для , что

-- радиус сходимости степенного ряда.

Теорема10 (Коши-Адамара): рассмотрим степенной ряд , тогда

Пусть , тогда можно рассмотреть 3 случая:

Во всех трёх случаях надо доказать, что