5.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
Пусть на некотором множестве х задана последовательность функции: 
.(1). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функциональная последовательность.
(2) Подставляя в (1) любое 
получаем числовую последов-сть 
при этом ряд 
будет числовой. 
. Если этот ряд сходится, то говорят, что ряд (2) сходится в т.
.Областью сходимости ряда (2) называется подмножество из множества Х таких х при которых соответствующий числовой ряд сходится. Степ ряд-это частный случай функцион-го ряда, члены кот явл ф-ей вида 
Т.о. степ. ряд имеет вид 
(3),где 
- центр ряда. При х0=0 степенной ряд будет записан виде 
. Из вида (3) всегда можно придти к виду (4) заменой на любую переменную z=x-x0. Будем исследовать степенное ряды в виде (4). Область сходимости степенного ряда: всегда есть не пустое множество т.к. при х=0 ((4)) и х=х0 ((3)) ряд сходится.
Теорема (о радиусе сходимости степенного ряда):
Д/произв-го степенного ряда вида (4) справедливо:
1. область сходимости Дс этого ряда есть промежуток вида 
, где R≥0
2. число 
или 
3. Внутри промежутка сходимости степенной ряд сходится абсолютно.
Замеч:Согласно теореме область сходимости степ-го ряда есть промежуток так что д/уточнения всей области сходимости необходимо отдельно выяснить сходимость ряда в т.х0 = 
R.