5.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.

Пусть на некотором множестве х задана последовательность функции: .(1). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функциональная последовательность.

Степ ряд-это частный случай функцион-го ряда, члены кот явл ф-ей вида Т.о. степ. ряд имеет вид (3),где - центр ряда. При х0=0 степенной ряд будет записан виде . Из вида (3) всегда можно придти к виду (4) заменой на любую переменную z=x-x0. Будем исследовать степенное ряды в виде (4). Область сходимости степенного ряда: всегда есть не пустое множество т.к. при х=0 ((4)) и х=х0 ((3)) ряд сходится.

Теорема (о радиусе сходимости степенного ряда):

Д/произв-го степенного ряда вида (4) справедливо:

1. область сходимости Дс этого ряда есть промежуток вида , где R≥0

2. число или

3. Внутри промежутка сходимости степенной ряд сходится абсолютно.

Замеч:Согласно теореме область сходимости степ-го ряда есть промежуток так что д/уточнения всей области сходимости необходимо отдельно выяснить сходимость ряда в т.х0 = R.