Вычисление радиуса сходимости.

Теорема. Если существует предел , то радиус сходимости ряда равен , то есть , причем считаем , если , и , если .

Доказательство.

Предположим, что , то есть рассмотрим числовой ряд , который является рядом абсолютных величин данного степенного ряда.

Тогда :

1. Пусть - конечное число, отличное от нуля, значит, . По радикальному признаку Коши ряд, составленный из абсолютных величин ряда, сходится при , отсюда следует, что . При и ряд расходится для всех значений .

В самом деле, если бы при , , ряд сходился, то по теореме Абеля для , где , он должен был бы сходиться, чего быть не может.

2. Пусть . Тогда при всяком значении , и ряд сходится для любого . Значит, ряд абсолютно сходится во всякой точке оси и .

3. Пусть . Тогда при всяком значении , , и значит, ряд не может сходиться ни при каком . На основании теоремы Абеля заключаем, что ряд во всех точках оси (кроме нулевой) расходится и .

Теорема. Если , то радиус сходимости ряда равен , то есть , причем мы считаем при и при .

Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и поэтому можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.

По признаку Даламбера:

Ряд сходится, если , отсюда радиус сходимости - .

По интегральному признаку Коши:

Ряд сходится, если , отсюда следует, что .

Пример. Найдите область сходимости рядов: 1) и 2) .

1) .

Интервал сходимости

Исследуем граничные точки.

расходится;

- сходится условно по признаку

Лейбница.

Область сходимости ряда .

2) , ряд сходится при всех .