Свойства степенных рядов.

В силу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на , его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.

Теорема. Сумма степенного ряда – это функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Эти производные являются суммами степенных рядов, полученных из данного функционального ряда почленным дифференцированием его элементов соответствующее число раз, причем радиус сходимости каждого «производного» ряда тот же, что и у исходного функционального ряда.

Теорема. Сумма степенного ряда есть функция аналитическая в интервале сходимости.

Можно выразить коэффициенты степенного ряда через производные от функции суммы данного ряда

Таким образом, коэффициенты степенного ряда являются соответствующими коэффициентами Тейлора для функции в точке .

Если имеется некоторая функция можно ли ее представить в виде суммы некоторого степенного ряда или, другими словами, можно ли данную функцию разложить в степенной ряд.