7.2. Признаки сходимости рядов

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд (1) сходится, то

. (3)

Этот признак сходимости является необходимым, но не достаточным.

Так, для гармонического ряда , но тем не менее ряд расходиться.

Достаточный признак расходимости.

Если для ряда (1) предел или не существует, то ряд расходится.

ü Ряды с положительными членами

? Признак сравнения рядов (первый признак сравнения).

Пусть даны два ряда

,

и

,

причем

Тогда:

а) если сходится ряд , то будет сходиться и ряд ;

б) если расходится ряд , то будет расходиться и ряд .

? Признак сравнения в предельной форме (второй признак сравнения).

Если существует конечный и отличный от нуля предел

, то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

? Признак Даламбера.

Если для ряда (1)существует

(4)

то при D>1 ряд расходится, при D 1 ряд расходится, при C = 1 Вопрос остается нерешенным.

? Интегральный признак Коши.

Если F(x) при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция,

то ряд , где , сходиться или расходится в зависимости от того, сходиться или расходится

. (6)

В случае сходимости ряда остаток удовлетворяет неравенству: .

ü Знакопеременные ряды

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака.

Знакопеременный ряд сходиться, если сходится ряд

(7)

В этом случае исходный ряд называется абсолютно-сходящимся.

Операции над абсолютно-сходящимися рядами:

Если в абсолютно-сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный

ряд так же будет абсолютно сходиться, а сумма его будет равна сумме исходного.

Абсолютно-сходящиеся ряды можно перемножать.

Пусть даны два абсолютно-сходящихся ряда:

и

Соответственно с суммами S и t.

Тогда ряд, членами которого являются все произведения любого члена первого ряда на любой член второго ряда, также сходится абсолютно и сумма его равна произведению St.

ü Знакочередующиеся ряды

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

(8)

где (n = 1, 2, 3, …)

? Признак сходимости Лейбница

Знакочередующийся ряд (8) сходится, если выполняются следующие два условия:

- абсолютные величины его членов монотонно убывают:;

- .

Для знакочередующегося ряд (8), удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, остаток не превосходит абсолютной величины своего первого члена, т.е.

Признак Лейбница является не только достаточным, но и необходимым признаком сходимости для знакочередующихся рядов с монотонно убывающими членами.

Алгоритм исследования на сходимость знакопеременных рядов

° Исследовать на сходимость ряд, составленный из модулей членов данного ряда, используя

какой-либо признак сравнения.

° Сделать вывод об абсолютной или условной сходимости этого ряда.

° Выяснить, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.

Для этого:

- Проверить, выполняется ли равенство для абсолютных величин членов ряда

- Найти предел общего члена ряда

- Сделать вывод о сходимости данного исходного ряда