4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
Рассмотрим вопрос о сравнении приведенных сходимостей последовательностей измеримых функций. Приведем пример.
Пример 1. Пусть последовательность функций fn(x) на числовой прямой задана равенством: 
.
Таким образом, в общем случае из сходимости почти всюду не вытекает сходимость по мере. Однако критерий сходимости почти всюду позволяет легко установить следующую теорему.
Теорема 7 (Лебега). Если m(Х) < ¥ и последовательность функций fn(x) ® f(x) почти всюду на X, то fn(x) ? f(x).
Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия сходимости функциональных последовательностей по мере и почти всюду на множествах конечной меры? Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Пример 2 (Рисса). Существует последовательность, сходящаяся по мере на отрезке [0, 1], но не сходящаяся почти всюду.
Для n = 0, 1,... и k = 0, 1,.. .2n – 1 положим
.
Геометрически эта последовательность строится по пачкам (по различным n).
Следующая 4 пачка будет состоять уже из 8 функций, которые будут принимать значения 1 на отрезках длины 1/23. Вообще n-ая пачка будет состоять 2n – 1 функций, которые равны 1 на отрезке длины 1/2n – 1, а в остальных точках они нули.
Ясно, что для любого e > 0 (будем еще считать, что e < 1) и любой функции gn(x) из n-ой пачки выполняется равенство m{x Î [0, 1]: |gn(x)| > e} = 1/2n – 1. Это означает, что построенная последовательность функций
сходится по мере к нулевой функции. Вместе с тем данная последовательность не сходится к 0 ни в одной точке. Действительно, не трудно видеть, что для любой точки х0 Î[0, 1] в каждой пачке найдется функция, которая в этой точке обращается в 1. Теорема 8 (теорема Рисса). Пусть (X, S, m) –пространство с s-конечной мерой и последовательность fn(x) ? f(x) на X. Тогда существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}, что 
® f(x) при п ® ¥ почти всюду на X.
Доказательство. Сначала предположим, что m(Х) < ¥. Возьмем n0 = 1 и для k = 1, 2,... выберем натуральное пk > пk - 1 так, чтобы
.
В силу сходимости по мере такая последовательность индексов найдется.
Докажем, что последовательность ® f(x) почти всюду на X. Действительно, если заданы e > 0 и d > 0, то подберем m0 так, чтобы 
и 
. Тогда при т>т0 имеем
Применяя теорему 3, убеждаемся в справедливости доказываемого утверждения в случае конечной меры.
Пусть теперь мера s-конечна на X, т. е. X = 
где m(Xn) < ¥ при n = 1, 2,... Поскольку fn(x) ? f(x) на X, для любого i последовательность fn(x) ? f(x) на Xi. Согласно уже доказанному, можно выделить подпоследовательность f1,n(1) ® f(x) почти всюду на X1. Поскольку эта подпоследовательность по-прежнему сходится по мере на любом Xi., из нее, в свою очередь, можно выделить подпоследовательность f2,n(2) ® f(x) почти всюду на X2. Продолжая этот процесс дальше, и рассматривая диагональную последовательность { fk,n(k) }k=1¥, видим, что для любого i эта последовательность сходится почти всюду на Xi., т. е. почти всюду на X, что и требовалось доказать.