<<
>>

4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере

Рассмотрим вопрос о сравнении приведенных сходимостей последовательностей измеримых функций. Приведем пример.

Пример 1. Пусть последовательность функций fn(x) на числовой прямой задана равенством: .

Нетрудно видеть, что эта последовательность всюду сходится к единичной функции. Вместе с тем m{x Î R: |1 – fn(x)| = c(-¥, -n)È(n, +¥) > ½} = ¥ и последовательность fn(x) не сходится по мере к единичной функции.

Таким образом, в общем случае из сходимости почти всюду не вытекает сходимость по мере. Однако критерий сходимости почти всюду позволяет легко установить следующую теорему.

Теорема 7 (Лебега). Если m(Х) < ¥ и последователь­ность функций fn(x) ® f(x) почти всюду на X, то fn(x) ? f(x).

Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия сходимости функциональных последовательностей по мере и по­чти всюду на множествах конечной меры? Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.

Пример 2 (Рисса). Существует последова­тельность, сходящаяся по мере на отрезке [0, 1], но не схо­дящаяся почти всюду.

Для n = 0, 1,... и k = 0, 1,.. .2n – 1 положим

.

Геометрически эта последовательность строится по пачкам (по различным n).

Следующая 4 пачка будет состоять уже из 8 функций, которые будут принимать значения 1 на отрезках длины 1/23. Вообще n-ая пачка будет состоять 2n – 1 функций, которые равны 1 на отрезке длины 1/2n – 1, а в остальных точках они нули. Ясно, что для любого e > 0 (будем еще считать, что e < 1) и любой функции gn(x) из n-ой пачки выполняется равенство m{x Î [0, 1]: |gn(x)| > e} = 1/2n – 1. Это означает, что построенная последовательность функций сходится по мере к нулевой функции. Вместе с тем данная последовательность не сходится к 0 ни в одной точке. Действительно, не трудно видеть, что для любой точки х0 Î[0, 1] в каждой пачке найдется функция, которая в этой точке обращается в 1.

Теорема 8 (теорема Рисса). Пусть (X, S, m) –пространство с s-конечной мерой и последователь­ность fn(x) ? f(x) на X. Тогда существует такая возра­стающая последовательность натуральных чисел {nk}, что ® f(x) при п ® ¥ почти всюду на X.

Доказательство. Сначала предположим, что m(Х) < ¥. Возьмем n0 = 1 и для k = 1, 2,... выберем натуральное пk > пk - 1 так, чтобы

.

В силу сходимости по мере такая последовательность индексов найдется.

Докажем, что последовательность ® f(x) почти всю­ду на X. Действительно, если заданы e > 0 и d > 0, то подберем m0 так, чтобы и . Тогда при т>т0 имеем

Применяя теорему 3, убеждаемся в справедливости доказы­ваемого утверждения в случае конечной меры.

Пусть теперь мера s-конечна на X, т. е. X = где m(Xn) < ¥ при n = 1, 2,... Поскольку fn(x) ? f(x) на X, для любого i последовательность fn(x) ? f(x) на Xi. Со­гласно уже доказанному, можно выделить подпоследователь­ность f1,n(1) ® f(x) почти всюду на X1. Поскольку эта под­последовательность по-прежнему сходится по мере на лю­бом Xi., из нее, в свою очередь, можно выделить подпоследо­вательность f2,n(2) ® f(x) почти всюду на X2. Продолжая этот процесс дальше, и рассматривая диагональную последователь­ность { fk,n(k) }k=1¥, видим, что для любого i эта последова­тельность сходится почти всюду на Xi., т. е. почти всюду на X, что и требовалось доказать.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере:

  1. 4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере