§ 59. Достаточные условия сходимости ряда с неотрицательными членами
(1-+QQ
1. Приэяак сравнения* При решении вопроса о сходимости ряда с положительными членами полезно бывает сравнить его с другими рядами, для которых уже решён вопрос о сходимости. Одним из таких рядов чаще всего является геометрическая прогрессия.
Пусть даны два числовых ряда с положительны ми членами-
оа
Qi + аэ + + ап 4-... = «А (I)
и
к-1
ЬІ +Ь2 + .., +Ьп + ... = f; Ьк. (2)
Jfc=i
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 33, Если каждый член ряда (1), начинал с некоторого члена, не превышает соответствующего члена ряда (2), т, е. лп ^ Ьп, и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы первого и второго рядов. Ид условий an < bn следует, что < S*. Если ряд (2) сходится, то существует предел его частичной суммы и равен Sb. Так как члены рядов (I) и (2) положительные, то ^ < Sb и тогда < т.е. частичная сумма ограничена, но прн увеличении п она возрастает. Из того, что последовательность возрастает, но ограничена, следует (см. § 15), что она имеет предел. Следовательно, ряд (1) сходится, причём его сумма не превышает сумму ряда (2).
Пусть теперь известно, что ряд (1) расходится. Тогда и ряд (2) расходится, так как если бы он сходился, то по доказанной только что первой части теоремы должен бы сходиться ряд (1), а это противоречит условию.
Замечание. {Предельный признак сравнения,) Если 0 < lim ~ < , , л—^изо Ьп
< оо, то ряды (1) л (2J либо оба сходятся, либо оба расходятся
2.
Признак Даламбера.Теорема 34. Пусть в ряде с положительными членами отношение
ос имеет предел д, т е. lim —
(п + 1)-го члена к л-му при п
то если q < і, ряд сходится; если q > 1, ряд расходится. Если q = 1. то ряд может сходиться, а может расходиться. Требуется дополнительное исследование.
JO
Пример 4. Исследовать сходимость ряда ^ если:
2) ап = ^т; 3) ап = Л) ап = ¦ 5) «
Тї I
п
rt(n + 1)1
Решение
1
=
— 0 < L
Um SstL
П"» СО
Ряд сходится.
1
(n + l)\ n!(n +1) * Ііш
п-Ы 2" Г
n™oo n!(n + 1)" n-^oo n + 1 щ № n + I
і) ~ йц+j - —
lim to nil . 1 < L
n-toc In I
n-ifio a,
Ряд сходится. 3) Так как
5™ 5
— oo,
lim ttfl = lim -5 — < — !> = km —— - Um
it—¦» n tocj LoOJ її—wo 2li >w
то ряд расходится, не выполняется необходимое условие сходимости. 4) аЛ = —¦-, ОпА-1 ™
»(п + I)1
1}(п + 2)* tf._ її
lim
= 1.
lim
П,—+М Иц
ТІ—W rt + 2
Признак Даламбера не даііт возможности установить, сходится ряд или расходится, Но ранее в примере } мы установили другим путём, что ряд сходится.
fi\ д - „ - (n + 1 r+1 _ (n+J)(.tfir _ (rv± L)f'.
an — Tfj ^n-rl —
Я 4 +
(n -I- 1)1
Fif
nf(n + 1)
Ііш їііі+і = lim (l + -Y
11MOC Ot[ n—*oo \ Tl /
Ряд расходится.
Отметим, что иногда проще исследовать сходимость pядаh используя признак Даламберз, чем найти Нщ Так, например, для того, чтобы
п—
найти lim нужно воспользоваться формулой Стирлинга, которая
П—ОЙ Ті! .
С
позволяет оценить факториалы болъших^чисел, т,е, при п —J ОО п! « — ] y/2wri, тогда lim —г = lim - jL^ = со. Ряд расходится, при-
t С / tl—ч» ПІ П-Н¦» "/2ЇГП
Т1—НИ О I,
чём его общий член ап —+ оо при п оо (в то время, как аг1+- —
lim (l + =
II—«ОС V п/
3. Признан Кошн.
Теорема 35, Пусть в ряде с положительными членами Нт іул^ =
р, тогда, если р < 1, ряд сходится; если р > 1, ряд расходится.
Если j> — 1, ряд может сходиться, а может расходиться. Требуется дополнительное исследование,«3
Пример б. Исследовать сходимость ряда ^ аПі если:
n-i ,
( 2 \ 1 1 / п \п
Решение. 1) Ііїїі іуаїї — lim
— Ряд сходится.
п + 1
lim іVa^ = lim :— = 0. Ряд сходится.
iJ-^OO n^+co ІПП
2 3 п ^ ^
холится (см. ниже), но lim ап = Ііш - = 0; Ііш 1>+і — lim , .
¦— ТІ —»ОЙ П И-І» ?ln ті—*oO Jl т 1
Ряд l + J + + ^ + называется гармоническим. Он paean — urn — = и; um ¦¦ = птії —п
п—t&o
"/Г.,
— 1; lim * j n-t« У ті
Для того, чтобы доказать, что lim гУсь — 1, сделаем замену у - = Тогда — Inn И lim In у = — tini -
\1 71 ТІ ft—оо п—ОО ТІ
это неопределённость вида применяя лраэило Лопнталя, имеем: lim kry = — lim il/^2 т= — Hm — = 0.
n—tco n—*чро 1 n-tca 71
Так как їпу —»0, то у —* L Аналогично можно доказать, что
lim \/пА В — 1, где А и В — постоянные (см. § 61)
Я—ЮО
4) lim V/аї = Изп (—Т = lim (l + -Г" = є" < 1. Ряд схо-
ті—ноо ті—оо + І/ ті—юа у ft у
ДИТСЯ.
4l Интегральный признак сходимости.
Теорема 36. Пусть члены ряда положительные н не возрастают при возрастании nt тогда ряд сходится нли расходится, смотря по тому,
оо
имеет интеграл
an dn конечное или бесконечное значения.
ВС,
1 3) ап —-
Пример 6, Исследовать сходимость ряда ^ art, если: 1 1 п-
1) ап = -х; 2) ап -
гґ + 1
Решение,
ОО ^
ос
.1-й Iе0
= оо. Ряд расходится- Если сч ф 1, то f — = , , Отсюда следует,
J п 1-а к . і что если 1 — а > 0, т. е, а <1, интеграл расходится, расходится и ряд;
если 1 — л < 0, т.е. а > I, то интеграл сходится, сходится н ряд. Итак,
ОО 1
ряд ~ff сходится при or > 1 и расходится при а ^ 1.
In (Iim)j™, а — 1;
1-а
. афі. 524
I П(]пп)а \ (Ьтг)
1 -а.
ОтсЕода имеем:
а) если а, = 1, го Jim In (hi га) — оо, ряд расходится;
n—>сю
1 і 100 6} если а. < 1, то ^ (Inn) j2 ооі ряд расходится;
| ієн
в) если О > It ТО — ^ (lnn)1"4:^ - Y^CV (Ьі 2)1-сгт рПД СХОДИТСЯ.
3) J " = ^ In (n® — 1) j ^ = oo. Ряд расходится, 1