Достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой функции в интервале.
Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x10. Доказано убывание функции f на I.
Замечание 1.
Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
Замечание 2.
Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)1. Говорят, что во внутренней точке области определения функции 
функция имеет максимум (минимум), если 
для 
. Этот максимум (минимум) называют строгим (собственным), если неравенства строгие.
Необходимый признак экстремума
Теорема.
Если функция имеет экстремум в точке , то 
либо не существует, либо она равна нулю.
Доказательство:
Если в точке максимум, то по теореме Ферма, если существует в точке , то она равна нулю. Итак, согласно теореме, точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где 
или не существует. Такие точки называется подозрительными на экстремум. Точка, в которых еще называют стационарными. Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум. 
16.
Еще по теме Достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой функции в интервале.:
- Необходимое условие возрастания и убывания дифференцируемой функции в интервале.
- 22. Теорема(достаточное условие возрастания и убывания ф-ий):
- § 33. Условия возрастания и убывания функций
- 17.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- Возрастание и убывание функций.
- Определение области. Линии уровня функции. Направление наибольшего возрастания (убывания) функции в точке. Градиент.
- Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
- 15. Локальный экстремум функции. Необходимое условие безусловного экстремума дифференцируемой функции.
- 29. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия для функции двух переменных.
- Локальный экстремум функции. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в критической точке при отсутствии ограничений.
- 5) Формулировка достаточных условий разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье.
- Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости вогнутости кривой.
- Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
- Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.