Достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой функции в интервале.
Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x10. Доказано убывание функции f на I.
Замечание 1.
Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
Замечание 2.
Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)1. Говорят, что во внутренней точке области определения функции функция имеет максимум (минимум), если
для
. Этот максимум (минимум) называют строгим (собственным), если неравенства строгие.
Необходимый признак экстремума
Теорема.
Если функция имеет экстремум в точке , то
либо не существует, либо она равна нулю.
Доказательство:
Если в точке
максимум, то по теореме Ферма, если существует
в точке
, то она равна нулю. Итак, согласно теореме, точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где
или не существует. Такие точки называется подозрительными на экстремум. Точка, в которых
еще называют стационарными. Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум.
16.