17.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале
, если для любых
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
(
).
Если функция дифференцируема на интервале
и
(
) при всех
, то функция
возрастает (убывает) на
.
Точка , принадлежащая области определения
функции
, называется критической точкой функции, если в этой точке
или
не существует. Критические точки функции
разбивают её область определения
на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).
Точка называется точкой минимума (максимума) функции
, если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности выполняется неравенство
(
), а число
- минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции
, то
или
не существует.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки
, в которой
или
не существует. Тогда, если производная
, при переходе слева направо через точку
: 1) меняет знак с «+» на «
», то
- точка максимума; 2) меняет знак с знак с «
» на «+», то
- точка минимума; 3) сохраняет знак, то
не является точкой экстремума.
Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция дважды дифференцируема в точке
, в которой
,
. Тогда: 1) если
, то
- точка максимума; 2) если
, то
- точка минимума.