Тема 16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

Теорема Роля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то на существует точка такая, что .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то на существует точка такая,

что (формула Лагранжа).

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и при всех , то на интервале существует точка такая, что

(формула Коши).

Если функция дифференцируема раз в точке , то при имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано .

Если предположить существование -ой производной в окрестности точки то для любой точки из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

, где , .

Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае обычно называется формулой Маклорена.

Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.

Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где - минимальный из номеров для которых .

При вычислении пределов функций используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух дифференцируемых или бесконечно малых или бесконечно больших функций при ( - число или символ ) равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

.

Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видов и . На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.

Раскрытие неопределённостей видов , ,,, путём преобразований:

, ,

приводится к раскрытию неопределенностей видов и .