Связь между непрерывностью функции в точке и ее дифференцируемостью в этой точке.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀, у₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Необходимо проверить, что ∆z→0, ко­гда ∆х → 0 и ∆у → 0. Этот факт устанавливается следующим вы­числением:

lim∆z = lim (dz + εр) = z'_x • lim ∆х + z' _y• lim∆у + limε • lim р = z'_х*0 + z'_у-0 + 0*0 = 0.

Lim ∆х→0, ∆у→0

8.