Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе: 
Определение.
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)–e
0 x0–D x0 x0+D x
Пример разрывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)–e
x0 x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство 
.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x)
где a(х) – бесконечно малая при х®х0.
Еще по теме Непрерывность функции в точке.:
- Связь между непрерывностью функции в точке и ее дифференцируемостью в этой точке.
- Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
- Свойства функций непрерывных в точке.
- 9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
- Непрерывность в точке
- Определение непрерывности функции. Свойства непрерывной функции, заданной на компактном множестве (показать на примере).
- 1.2.10. Определение. Если существует производная функциив точке , то она называется первой вариацией функционала в точке при данной вариации аргумента, и обозначается :
- §5. Предел функции в точке. Свойства функций,имеющих предел в точке. Предел на бесконечности.
- Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
- Односторонние производные функции в точке.
- Определение области. Линии уровня функции. Направление наибольшего возрастания (убывания) функции в точке. Градиент.
- Свойства непрерывных функций.
- Предел функции в точке.
- Тема 14. Непрерывность функции.
- § 16. Непрерывность функций
- Локальный экстремум функции. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в критической точке при отсутствии ограничений.
- § 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
- 13. Непрерывные функции
- Непрерывность функции на интервале и на отрезке.