Определение непрерывности функции. Свойства непрерывной функции, заданной на компактном множестве (показать на примере).

Функция f(x) определенная в некоторой окрестности точки х₀, наз.непрерывной в этой точке, если предел ф-и в т.х₀ существует и =значению в этой точке lim_x→x0f(x)=f(x₀)

Св-ва:1. f(x)ограниченно сверху и снизу на К,т.е.сущ.числа С₁ и С₂такие что,С₁≤ f(x)≤С₂ для всех т.х€К. 2.Сущ.хотя бы одна т.α€К т.ч.f(α)≤f(x)для всех х€К,т.е. f(α)=m=min f(x),x€К. 3. Сущ.хотя бы одна т.β€К т.ч.f(β)≥f(x) для всех x€K,т.е. f(β)=M=max f(x), x€K. 4.Пусть С-произвольное числот.ч.m≤C≤M тогда сущ.хотя бы одна т.γ€К т.ч.f(γ)=C.

6.